6　用重弦法计算螺旋桨轴扭转振动固有频率

6.1　瑞利法和重弦法的简介

在所有具有无穷自由度的问题中，弦是最简单的问题，虽然对于弦问题能求得固有频率的正确解答。但是对于一般具有分布质量和分布柔顺性的系统来说就不可能求得。因此获得一种求取最低频率或基本频率的近似法就显得极重要，并且这种方法要有较广泛应用。瑞利曾发表此法。

简单地说，瑞利法是对第一正常弹性曲线假定一种形状；用这种假定来把最大势能和动能计算出并使它们相等。如果所取作为计算根据的曲线形状是正确的形状，那所计算出的频率当然是正确的。如果所取的一种形状略不同于正确曲线，那么所得到频率就是一个非常有用的近似值。因为已经知道弦的正确解答，所以就选择它来作为解释瑞利法的一个例子．这使我们能够判断近似结果的误差。

在计算势能时，我们观察到已变位弦的长度大大超过直线弦长，弦总是受到张力T，所以，在到达变位形状时必须在弦上做功，这个功以势能形态储藏在弦中，在计算长度的增加量中，我们可以观察到一个小单元长度ds，如图6.1所示。

这个小元ds的长度增量是

所以势能

　　（6.1）

上述结果可进一步地推导，但我们在此处作了省略，可参看引用文献［1］中的详细推导。从以上推导中，可知右边的表示单位弦长的向下力，设想用一个静载荷q(x)使弦得到它的变位形状，q(x)正比于变位y(x),q(x)作用在单元dx上使它到得完全变位的位置y(x)时，q(x)所做的功是q(x)y(x)dx，而势能是

因为q(x)=，所以

　　（6.2）

用部分积分法可以证明上式是等于方程（6.1）的

上式中第一项为零，因为在0和处y为零，第二项积分可写成

总动能是各个单元的动能=的和

与单自由度的情况相同，表达式（6.1）和式（6.2）都是最大能量；最大势能出现在最大变位位置上，而最大动能出现在不变形位置上，在不变形位置上速度达到最大，使这两能量相等，就可求出频率

用这个公式所得出的值决定于我们假定的形式y(x)，首先来考察正确形状

根据式（6.1），势能是

现在省略引用文献中的详细推导，若有需要者可查阅文献［1］，从以上推导中，可知势能又为

同样可求出动能

所以频率变成

上式就是单一一根弦的势能计算（如图6.1）的频率的正确值。

现在，对如下的组合问题作研究；在一根总质量为M的重弦之中点，加上一个同样质量为M的一个单一集中重量。这种问题就相当于一根杆的纵向或扭转振动，这根杆两端固定，而在中点处带有一只集中圆盘，圆盘的质量或惯性矩相等于杆的本身。

至于弹性曲线，可以说：如果没有中心质量，则曲线就是正弦曲线；而如果没有弦质量，则曲线就如图6.2所示。

实际的形状将在这两种形状之间。首先假定一根正弦曲线，注意到势能并不受具有中心质量所影响，但是，动能却增加，因为，所以这动能是弦本身的动能的2倍，因此总动能大到无中心质量的3倍，因而频率就小到倍。

式中，为弦或杆的单位长度的质量。

当弦变形成如图6.2所示时，势能又不受影响，而动能大到，即大到，即大到为前述的4倍

因此，频率为

因为后一个频率小于前一个频率，所以它是较好的近似值。这个问题的正确解为

　　（6.3）

上述正确解略为复杂。在一个单自由度系统中一端静止的条件给出，弦左部的形状确定于

式中，C和ω都是未知数，振幅C并不十分重要，而频率ω可以确定正弦波的波长。曲线如图6.3所示，弦的右半部作为左半部的镜像，中心质量M受着惯性力和弹性力的作用，而这二力必定平衡

=

=　　（6.4）

由前式（6.3）知　=

因为所得到的频率的最小值总是最佳值。因此重弦法推导出以下式（6.5）～式（6.8）所得到的近似值就比前面正常的瑞利法所得到的结果要好得多。

　　（6.5）

式（6.5）是超越方程，可用试探法（即渐近法）解得。但本章中是采用VB编程中的迭代法来求解，由结果可看出其精度之高（5轮迭代精度都达到），是其他方法无法相比拟的。详见以下程序及其运行结果。

式（6.5）的弦切线角可用式（6.6）表示

　　（6.6）

式中，未列入的可由前面例4.1求螺旋桨轴的固有频率计算中得到；，为螺旋桨的钢圆盘的惯性，cm·kg·s²，（程序代码名igx）；，为简化螺旋桨的钢圆盘的质体，kg·s²/cm；b为钢圆盘厚度；r₀为钢圆盘半径。

用试算法求式（6.6）中未知的每单位轴长的质量的惯性矩I₁

，单位轴长的质量的惯性矩；

，螺旋桨轴的惯性，cm·kg·s²（程序代码名i1l）；

=25，螺旋桨轴直径，cm；

，螺旋桨轴质体，kg·s²/cm；

，螺旋桨轴半径=60cm，轴长=5000，cm；

，螺旋桨轴角加速度，rad²/s²；

，螺旋桨轴抗扭刚度，cm·kg；

，钢的剪切模量，MPa（程序中代码名Gjm）。

对式（6.5）用迭代法求得，再用式（6.6）即可求得角加速度

　　（6.7）

和用式（6.8）求得上例螺旋桨轴扭转振动的固有频率f。

　　（6.8）

例6.1　用重弦法求螺旋桨轴扭转振动固有频率

即把例4.1改编成用重弦法求螺旋桨轴扭转振动固有频率的计算程序（本书往后的算例基本上都是采用常用界面）。