1.3　单利与复利

利息和利率、净收益和收益率是衡量资金时间价值的尺度，计算利息是计算资金的时间价值的基本方法。计算利息的方法有两种，即单利法和复利法。

1.3.1　与资金时间价值有关的概念

为了计算资金的时间价值，利用现金流量图对现金流量进行分析和计算，需掌握资金时间价值的相关概念。

（1）时值（Time value）与时点

资金的数值由于计算利息和随着时间的延长而增值，在每个计息期期末的数值是不同的。在某个资金时间节点上的数值称为时值。现金流量图上，时间轴上的某一点称为时点。

（2）现值（P：Present value）

现值又称期初值，是指发生在时间序列起点处的资金值。时间序列的起点通常是评价时刻的点，即现金流量图的零点处。

（3）折现

将时点处资金的时值折算为现值的过程称为折现。实际上，折现是求资金等值的一种方法。

（4）年金（A：Annuity）

年金是指一定时期内每期有相等金额的收付款项，如折旧、租金、利息、保险金、养老金等通常都采取年金形式。年金有普通年金、预付年金和延期年金之分。

年金的收款、付款方式有多种。

①每期期末收款、付款的年金称为后付年金，即普通年金。

②每期期初收款、付款的年金称为预付年金，或先付年金。

③距今若干期以后发生的每期期末收款、付款的年金称为延期年金。

（5）终值（F：Future value）

即资金发生在（或折算为）某一特定时间序列终点的价值。

1.3.2　单利法

单利法是以本金为基数计算资金的时间价值（即利息），不将利息计入本金，利息不再生息，所获得利息与时间成正比。

单利计息的利息公式为：

In=i×Fn-1　　（1-3）

单利计息的本利和公式为：

F=P（1+n×i）　　（1-4）

式中　i——利率；

n——计息期数；

P——本金；

I——利息；

F——本利和，即本金和利息之和。

注：后续章节中，I，n，P，i，F符号的意义同此处。

【例1-3】　有一笔50000元的借款，借期3年，按每年8％的单利率计息，试求到期应归还的本利和。

解　用单利法计算，根据式（1-4）有：

F=P（1+n×i）=50000×（1+3×8％）=62000（元）

即到期应归还的本利和为62000元。

【例1-4】　假如某公司以单利方式在第1年初借入1000万元，年利率8％，第4年末偿还，试计算各年利息与本利和。

解　计算过程和计算结果列于表1-1。

由例1-4可见，单利的年利息额仅由本金所产生，其新生利息，不再加入本金产生利息，此即“利不生利”。由于没有反映资金随时都在“增值”的规律，即没有完全反映资金的时间价值，因此，在工程经济分析中较少使用单利。

1.3.3　复利法

复利法是在单利法的基础上发展起来的，它克服了单利法存在的缺点，其基本思想是：将前一期的本金与利息之和（本利和）作为下一期的本金来计算下一期的利息，也就是利上加利的方法。其利息计算公式为：

In=i×Fn-1　　（1-5）

式中Fn-1——第n-1期期末的本利和。

其本利和的计算公式为：

Fn=P（1+i）n　　（1-6）

式（1-6）的推导过程如表1-2所示。

【例1-5】　在例1-3中，若年利率仍为8％，按复利计息，则到期应归还的本利和是多少？

解　用复利法计算，根据式（1-6）有：

F=P（1+i）n=50000×（1+8％）3=62985.60（元）

与采用单利法计算的结果相比增加了985.60元，这个差额所反映的就是利息的资金时间价值。

【例1-6】　数据同例1-4，试按复利计算各年的利息和本利和。

解　按复利计算时，计算结果见表1-3。

比较表1-1和表1-2可以看出，同一笔借款，在利率和计息期均相同的情况下，用复利计算出的利息金额比用单利计算出的利息金额大。本金越大、利率越高、年数越多时，两者差距就越大。复利反映利息的本质特征，比较符合资金在社会生产过程中运动的实际状况。因此，在工程经济分析中，一般采用复利计算。

复利系数在建设工程投资分析与评估中的应用非常普遍，尤其是在建设工程抵押贷款、建设工程开发项目融资活动中，经常涉及利息计算、月还款额计算等问题。下面通过例题，来介绍复利系数在建设工程投资分析中的应用情况。

【例1-7】　某开发企业以15％的年利率取得了一笔开发贷款，借贷双方约定按季度计息，问该笔贷款的实际年利率是多少？

解　该笔贷款的实际利率

【例1-8】　某家庭预计在今后10年内的月收入为16000元，如果其中的30％可用于支付住房抵押贷款的月还款额，年贷款利率为12％，问该家庭有偿还能力的最大抵押贷款额是多少？

解　已知该家庭可用于支付抵押贷款的月还款额A=16000×30％=4800（元）

月利率=12％/12=1％

计息周期数n=10×12=120（月）

则该家庭有偿还能力的最大抵押贷款额

【例1-9】　某家庭欲购买一套面积为80m2的经济适用住宅，单价3500元/m2，首付款为房价的25％，其余申请公积金和商业组合抵押贷款。已知公积金和商业贷款的年利率分别为4.2％和6.6％，期限均为15年，公积金贷款最高限额10万元。问该家庭申请组合贷款后的最低月还款额是多少？

解　已知贷款总额度P=3500×80×（1-25％）=210000（元）=21（万元）

公积金月贷款利率i1=4.2％/12=0.35％；商业贷款月利率i2=6.6％/12=0.55％

计息周期数n=15×12=180（个月）

商业贷款额=21-10=11（万元）

公积金贷款月还款额：

商业贷款月还款额：

组合贷款的最低月还款额A=A1+A2=749.75+964.28=1714.03（元）

复利计算有间断复利和连续复利之分。按期（年、半年、季、月、周、日）计算复利的方法称为间断复利（即普通复利）；按瞬时计算复利的方法称为连续复利。在实际应用中，一般均采用间断复利。