第一节　矩阵的概念

本节我们来阐述矩阵概念的产生，介绍若干种特殊的矩阵并给出矩阵的一个应用案例。

一、高斯消元法与矩阵

在很多实际问题中，我们常常会碰到具有m个方程n个未知数的最一般形式的线性方程组：

　　 （2.1） 　　

在初等数学中，常用消元法解二元、三元一次方程组。消元法的基本思想是通过消元变形把已知方程组化成容易求解的同解方程组。在解未知数较多的方程组时，需要使消元法步骤规范而又简便。下面通过例子说明消元法的具体做法，并从消元过程引入矩阵的概念。

【例2.1】　解线性方程组

　　 （2.2） 　　

解　将第一个方程与第二个方程交换位置，得

把第一方程的两端乘以（-2），（-1），并分别加到第二个、第三个方程上去，得

再把第二个方程加到第三个方程上去，又在第二个方程两端同乘以（-1），则得

　　 （2.3） 　　

容易证明这个方程组与原方程组是同解的。形如式（2.3）的方程组称为阶梯形方程组。在这个方程组中，未知数x3，x4可以任意取定它们的值［比如设为k1，k2（k1，k2 ∈ R）］，从式（2.3）的第二个方程求出x2的值，代入第一个方程中又得到x1的值。这样得到的一组x1，x2，x3，x4即为原方程组（2.2）的解。

在上述对方程组（2.2）的消元变形过程中，实际上对方程组施行了下列三种变换：

（1）交换两个方程在方程组中的位置；

（2）一个方程的两端同乘以一个不等于零的数；

（3）一个方程的两端乘以同一个数后加到另一个方程上去。

称这三种变换为线性方程组的初等变换。

不难看出，对方程组施行初等变换后得到的是原方程组的同解方程组。对方程组施行初等变换的目的是逐步消去位于后面方程中的未知元，使其成为易于求解的阶梯形方程组。

对方程组施行初等变换，实际上可以通过只对方程组中未知量的系数与常数项进行相应的运算而实现。因此可以把方程组的系数与常数项放在一起排成一个矩形数表，例如由上述方程组的系数与常数项排成的数表有3行5列，即

这个数表就是一个矩阵，又称它为非齐次线性方程组的增广矩阵（Augmented matrix）。

方程组的初等变换就可以简化为对数表的运算，而且对方程组的初等变换与对数表施行相应的变换过程相似，作用相同，其结果也是等价的。因而在前述例2.1中，对方程组施行的初等变换可用矩阵方法表述如下

由最后一个矩阵不难写出与该矩阵对应的线性方程组，并进而求出原方程组的解。可见，用矩阵来表述方程组的消元求解过程更加简便。

定义2.1　由m×n个数排成的m行n列的矩形数表。

称为一个m×n矩阵（Matrix），其中aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）表示矩阵中第i行第j列位置上的数，称为矩阵的元素（Entry of a matrix）。元素为实数的矩阵称为实矩阵。元素为复数的矩阵则称为复矩阵。

矩阵数表外面用圆括号（也可以用方括号）括起来。通常用大写英文字母A，B等表示矩阵，即矩阵可简记为

A=（aij）m×n或A=［aij］m×n

括号右下角的m×n表示矩阵是m行n列的矩阵。

二、几种特殊的矩阵

下面介绍一些常用的矩阵。

1.行矩阵、列矩阵与方阵

仅有一行的矩阵称为行矩阵（Row matrix）（也称为行向量），记为

A=（a1，a2，…，an）或A=（a1 a2 … an）

仅有一列的矩阵称为列矩阵（Column matrix）（也称为列向量），记为

行数与列数相等的矩阵称为方阵（Square matrix）。例如

为n×n方阵，常称为n阶方阵或n阶矩阵，简记为A=（aij）n。

按方阵A的元素的排列方式所构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为｜A｜或detA。在n阶方阵A中，元素a11，a22，…，ann所在的对角线称为主对角线（Main diagonal of a quare matrix）。主对角线上的元素称为主对角元。

2.零矩阵、对角矩阵

若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩阵为零矩阵（Zero matrix或Null matrix）。例如，一个m×n的零矩阵可记为

在不会引起混淆的情况下，也可记为O。

主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵（Diagonal matrix）。如

为n阶对角矩阵，其中未标记出的元素全为零，即aij=0，i≠j，i，j=1，2，…，n。对角矩阵常记为A=diag（a11，a22，…，ann）。

主对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵（Scalar matrix）。例如

为一n阶数量矩阵。特别地，当数量矩阵主对角元c等于1时，这样的矩阵称为单位矩阵（Identity matrix）。n阶单位矩阵一般记为En（或In），即

3.上（下）三角矩阵

主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵（Upper（Lower）triangular matrix）。例如

为n阶上三角矩阵。而

为n阶下三角矩阵。

4.对称与反对称矩阵

在方阵A=（aij）n中，如果aij=aji（i，j=1，2，…，n），则称A为对称矩阵（Symmetric matrix）。如果aij=-aji（i，j=1，2，…，n），则称A为反对称矩阵（Skew symmetric matrix）。例如

分别是对称矩阵和反对称矩阵。

矩阵A=（aij）m×n与B=（aij）p×q，如果满足m=p且n=q，则称这两个矩阵A，B为同规模（或同类型）的矩阵（Matrices of the same type）。

定义2.2　两个同规模的矩阵A=（aij）m×n与B=（bij）m×n，如果它们的对应元素相等，即aij=bijCi=1，2，…，m；j=1，2，…，n），则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。