第三章 基本体及表面交线的投影
第一节 基本体的投影
立体按其表面的构成不同可分为平面立体和曲面立体。表面全部由平面围成的立体称为平面立体；表面由曲面或曲面和平面共同围成的立体称为曲面立体。
一、平面立体的投影
工程中常用的平面立体是棱柱和棱锥。由于平面立体由若干多边形平面所围成，则画平面立体的投影，就是画各个多边形的投影。多边形的边线是立体相邻表面的交线，即为平面立体的轮廓线。当轮廓线可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。
（一）棱柱
棱柱由一个顶面、一个底面和几个侧棱面组成。棱面与棱面的交线称为棱线，棱柱的棱线是相互平行的。棱线垂直于底面的棱柱称为直棱柱；棱线与底面斜交的棱柱称为斜棱柱；底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱。按棱柱棱线数目可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等。
1.棱柱的投影
如图3-1（a）所示，正六棱柱的顶面和底面都是水平面，它们的边分别是四条水平线和两条侧垂线。侧棱面是四个铅垂面和两个正平面，棱线是六条铅垂线。
图3-1 棱柱的投影及表面取点
（a）立体图；（b）投影图
作图步骤：
（1）先画出棱柱的水平投影正六边形，六棱柱的顶面和底面是水平面，正六边形是六棱柱顶面、底面重合的实形，顶面和底面的边线均反映实长。六棱柱六个棱面的水平投影积聚在六边形的六条边上，六条侧棱的水平投影积聚在六边形的六个顶点上。该投影为棱柱的形状特征投影。
（2）根据六棱柱的高度尺寸，画出六棱柱顶面和底面有积聚性的正面、侧面投影。
（3）按照投影关系分别画出六条侧棱线的正面、侧面投影，即得到六棱柱的六个侧棱面的投影，如图3-1（b）所示。六棱柱的前后侧棱面为正平面，正面投影反映实形，侧面投影均积聚为两条直线段。另外四个侧棱面为铅垂面，正面和侧面投影均为类似形。
2.棱柱表面上取点
因为棱柱表面都是平面，所以在棱柱表面上取点与在平面上取点的方法相同。作图时，应首先确定点所在的平面的投影位置，然后利用平面上点的投影作图规律求作该点的投影。
在图3-1（b）中，已知棱柱表面上点K的正面投影k'，求k和k″ 。
因为k'是可见的，所以点K在棱柱的左前棱面上，该棱面的水平投影积聚成一条线，它是六边形的一条边，k就在此边上。再按投影关系，可求得点K的侧面投影k″。
（二）棱锥
棱锥有一个底面和几个侧棱面，棱锥的全部棱线交于锥顶。当棱锥的底面为正多边形，顶点在底面的投影位于多边形中心的棱锥称为正棱锥。按棱锥棱线数的不同可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、六棱锥等。
1.棱锥的投影
如图3-2（a）所示，三棱锥底面是水平面，底面的边线分别是两条水平线和一条侧垂线；左、右侧棱面是一般位置平面；后棱面是侧垂面。前棱线是侧平线，另外两条棱线是一般位置直线。
图3-2 棱锥的投影及表面取点
（a）立体图；（b）投影图
作图步骤：
（1）先画出三棱锥底面的三面投影，水平投影△abc反映底面实形，正面投影和侧面投影分别积聚成一直线。
（2）根据棱锥的高度尺寸画出锥顶S的三面投影。
（3）过锥顶向底面各顶点连线，画出三棱锥的三条侧棱的三面投影，即得到三棱锥三个侧棱面的投影。如图3-2（b）所示，左、右两棱面△SAB、△SBC为一般位置平面，三面投影都是类似的三角形；侧面投影s″a″b″和s″c″b″重合；后棱面△SAC是侧垂面，侧面投影积聚为一直线s″a″（c″），水平投影和正面投影都是其类似形。
2.棱锥表面上取点
如图3-2（b）所示，已知棱锥表面一点K的正面投影k' ，试求点K的水平和侧面投影。
由于k'可见，可以断定点K在△SAB棱面上，在一般位置棱面上找点，需作辅助线。过K点的已知投影在△SAB棱面上作一辅助直线，然后在辅助线的投影上求出点的投影。
作图过程如图3-2（b）所示。过k'在棱面△s'a'b'上作一水平线m'n'（也可作其他形式辅助线）与s'a'交于m'，与s'b'交于n'。如图3-2（b）所示，m'n'∥a'b'，根据平行两直线的投影特性可知，mn∥ab。由m'在sa上求出m，作mn∥ab，点的水平投影k在mn上。利用点的投影规律，可求出k″。
二、曲面立体的投影
常见的曲面立体是回转体，回转体是由回转面或回转面和平面共同围成的立体。工程中用得最多的回转体是圆柱、圆锥和圆球。绘制回转体投影，就是画回转面和平面的投影。回转面上可见面与不可见面的分界线称为转向轮廓素线。画回转面的投影，需画出回转面的转向轮廓素线和轴线的投影。
（一）圆柱
圆柱是由圆柱面、顶面和底面组成的。圆柱面是由直线绕与它相平行的轴线旋转而成。这条旋转的直线称为母线，圆柱面任一位置的母线称为素线，如图3-3（a）所示。
1.圆柱的投影
图3-3（a）所示圆柱体，其轴线为铅垂线，圆柱面垂直H面，圆柱的顶面和底面是水平面。
图3-3 圆柱的投影
（a）立体图；（b）投影图
圆柱体的投影分析如图3-3（b）所示。圆柱的顶面和底面的水平投影反映实形——圆，圆心是圆柱轴线的水平投影。画圆之前应先画出水平和垂直的两条点画线，确定圆心位置。顶面和底面的正面投影积聚成两条直线段a'b'、a'1b'1，侧面投影积聚成两条直线段d″c″ 、d″1″c″1；圆柱面垂直H面，水平投影积聚成一个圆，圆柱的素线为铅垂线。正面矩形投影的a'a'1和b'b'1是圆柱面对正面投影的转向轮廓线，它们是圆柱面上最左、最右素线的正面投影，也是正面投影可见的前半圆柱面和不可见的后半圆柱面的分界线。侧面矩形投影的c″c″1 和d″d″1是圆柱面对侧面投影的转向轮廓线，它们是圆柱面上最前、最后素线的侧面投影，也是侧面投影可见的左半圆柱面和不可见的右半圆柱面的分界线。在圆柱体的矩形投影中，应用点画线画出圆柱面轴线的投影。
作图步骤：
（1）先用点画线画出圆柱体各投影的轴线、中心线，再根据圆柱体底面的直径绘制出水平投影——圆。
（2）根据圆柱的高度尺寸，画出圆柱顶面和底面有积聚性的正面、侧面投影。
（3）在正面投影中画出圆柱最左、最右轮廓素线的投影，侧面投影中画出最前、最后轮廓素线的投影，结果如图3-3（b）所示。
2.圆柱表面上取点
如图3-4所示，已知圆柱面上点E和F的正面投影e'和（f'），求作它们的水平投影和侧面投影。
图3-4 圆柱表面上取点
由于e'可见，（f'）不可见，可知点E在前半个圆柱面上，点F在后半个圆柱面上。先由e'和（f'）引铅垂投影连线，在圆柱面有积聚性的水平投影上分别求出两点的水平投影e和f。然后，利用点的投影规律求出两点的侧面投影e″ 和（f″），由水平投影可知点E在左半圆柱面上，点F在右半圆柱面上，故e″可见，f″不可见，记为（f″）。
（二）圆锥
圆锥由圆锥面和底面围成。圆锥面是由直线绕与它相交的轴线旋转而成，这条旋转的直线称为母线，圆锥面上任一位置的母线称为素线，如图3-5（a）所示。
1.圆锥的投影
图3-5所示圆锥，其轴线为铅垂线，圆锥底面为水平面，圆锥面相对三个投影面都处于一般位置。
图3-5 圆锥的投影
（a）直观图；（b）投影图
圆锥体投影的投影分析如图3-5（b）所示。圆锥底面的水平投影反映实形，正面、侧面投影分别积聚成直线段。圆锥面的水平投影与底面水平投影相重合，圆锥面的正面和侧面投影分别为等腰三角形。正面投影三角形的边线s'a'和s'b'是圆锥面对正面投影的转向轮廓线，它们是圆锥面上最左和最右素线的正面投影，也是正面投影可见的前半圆锥面与不可见的后半圆锥面的分界线。侧面投影三角形的边线s″c″和s″d″是圆锥面对侧面投影的转向轮廓线，它们是圆锥面上最前、最后素线的侧面投影，也是侧面投影可见的左半圆锥面与不可见的右半圆锥面的分界线。
作图步骤：
（1）先用点画线画出圆锥各投影的轴线、中心线，再根据圆锥底面的半径绘制出水平投影——圆。
（2）画出圆锥底面有积聚性的正面、侧面投影。
（3）根据圆锥的高度尺寸，画出锥顶的正面、侧面投影。
（4）在正面投影中画出圆锥最左、最右轮廓素线的投影，侧面投影中画出最前、最后轮廓素线的投影，结果如图3-5（b）所示。
2.圆锥表面上取点
如图3-6所示，已知圆锥面上点K的正面投影k' ，求作它的水平投影k和侧面投影k″ 。
由于圆锥面的三个投影都没有积聚性，圆锥面上找点需作辅助线。在圆锥面上取点的作图方法通常有两种，即素线法和纬圆法，现分述如下：
图3-6 圆锥表面上取点
（a）素线法；（b）纬圆法
（1）素线法 如图3-6（a）所示，由于k'可见，所以点K在前半圆锥面上。首先，过锥顶及点K在圆锥面上画一条素线，连接s'k'，并延长交底圆于a'，得素线的正面投影。再由a'向下作投影连线，与水平投影圆交点即为a，连接sa得素线的水平投影，利用直线上点的投影特性，可求得K点水平投影k。再由k'、k求出（k″）。
因为圆锥面水平投影可见，所以k可见，又因为K点在右半个圆锥面上，所以k″不可见，标记为（k″）。
（2）纬圆法 如图3-6（b）所示，过点K作垂直于轴线的水平圆，该圆称为纬圆，纬圆正面投影和侧面投影都积聚成一条水平线，积聚投影的长度即为纬圆的直径。水平投影是底面投影的同心圆。过k作圆锥面上纬圆的正面投影，与最左、最右素线的交点间距离即为纬圆直径，量取一半在水平投影画圆，可根据k'求得k，再由k'和k作出（k″）。
（三）圆球
圆球由球面围成。球面由圆母线围绕其直径旋转而成，如图3-7（a）所示。
1.圆球的投影
如图3-7所示，圆球的投影分别为三个与圆球直径相等的圆，这三个圆是球面三个方向转向轮廓线的投影。
图3-7 圆球的投影
（a）立体图；（b）投影图
正面投影的转向轮廓线是球面上平行于正面的最大圆A的正面投影，它是前后半球面的分界线。水平投影的转向轮廓线是球面上平行于水平面的最大圆B的水平投影，它是上下半球面的分界线。侧面投影的转向轮廓线是球面上平行于侧面的最大圆C的侧面投影，它是左右半球面的分界线。在球的三面投影中，应分别用点画线画出中心线。圆球的投影如图3-7（b）所示。
图3-8 圆球表面上取点
作图步骤：
（1）先用点画线画出圆球各投影的中心线。
（2）根据圆球的半径，分别画出A、B、C三个圆的实形投影，结果如图3-7（b）所示。
2.圆球表面上取点
如图3-8所示，已知圆球面上点K的正面投影k'，求作点K的水平投影和侧面投影。由于球面的三个投影都没有积聚性，且母线不为直线，故在球面上取点只能用纬圆法。作图步骤如下：过k' 作水平圆的正面投影，与A圆的两个交点间距离即为纬圆直径。取一半为半径作水平圆的实形投影。因为k'可见，由k' 引铅垂投影连线求出k，再由k'和k求出k″。因K点在圆球的上方、前方、右方，故k可见，k″ 不可见，标记为（k″）。