2.5 磁场计算
从电磁场的基本理论出发，在建立磁力耦合传动器磁场计算的物理和数学模型的基础上，利用有限元法求出磁力耦合传动器横断面的磁场分布情况并对磁场进行计算是比较方便的。同时，利用这一程序对磁力耦合传动器的磁极数、轭铁厚度、永磁体厚度、气隙大小等参数对磁扭矩的影响进行剖析，对有关的结构参数进行优化，也为正确合理地设计磁力耦合传动器提供了理论依据。
2.5.1 基本假设与物理模型
（1）基本假设
①假设磁力耦合传动器的气隙尺寸远小于其轴向尺寸，这样可以忽略端部效应的影响，把磁场分布的三维问题当作二维问题进行处理。
②磁力耦合传动器的内外轭铁均为导磁体且足够厚，在轭铁处不发生磁饱和。
③磁力耦合传动器的磁场是周期分布的，在一个极矩范围内求解即可。
在上述假设的基础上，就可以研究磁力耦合传动器的横断面的场形分布，并且可以忽略内磁转子轭铁内侧、外磁转子轭铁外侧的磁场，同时，为更准确地反映磁力耦合传动器内部磁场相互作用的实际情况（相邻磁体之间存在漏磁），以半个圆周为研究对象。
（2）物理模型
基于上述分析，物理模型如图 2-16所示，各参数名称和符号见表2-7。
图2-16 磁力耦合传动器的物理模型
表2-7 物理模型各参数名称和符号
2.5.2 数字模型
①基本方程
如果材料为非线性（轭铁处出现磁饱和如AlNiCo永磁材料），则磁导率为磁感应强度B的函数，即：
磁感应强度B是通过矢量磁位A得到的，有：
由以上各式得：
（2-18）
对于线性的各向同性的材料有：
（2-19）
对于非线性的各向异性的材料有：
（2-20）
②边界条件 在磁场的有限元计算中，边界条件的确定是非常必要的，只有足够的边界条件才能保证问题解的唯一性，边界条件通常有三种形式。
a.Dirichet条件：在这种边界条件中，最常用的是定义A=0，它意味着阻止磁通穿过边界，物理模型中的AC、BD属于这种边界。
b.Neuman条件：定义了沿边界A的法向分量通常取
，这种定义保证了磁流垂直边界穿过，高磁导率的金属边界属于这种边界，物理模型中，不同介质的交界线（与永磁体交界线除外）属于这种边界。
c.Robin条件：也称混合边界条件，描述了A与它的法向分量
的关系，物理模型中永磁体交界线属于这种边界。
③磁场力计算 根据电磁理论，磁场对于载流导体和铁磁物质之间存在着力的作用，沿磁力线方向存在着纵张力，同时在垂直于磁力线的方向存在着侧压力。按Maxwell公式，对于稳态或缓变磁场作用在真空介质中任一单位表面积上的电磁应力为：
（2-21）
式中 P——单位表面积上的电磁应力，N/m2；
n——沿该表面法线方向的单位矢量；
B——该表面处的磁感应强度，T；
μ0——真空磁导率，μ0=4π×10-7。
磁场对某一物体的作用力，可以通过计算包围该物体的任意封闭表面s上应力P的面积积分得到，即
此公式适用于磁场对任意物体的作用力的计算，只要该物体是一刚体。计算出了两作用面积上的作用力F，则F与作用半径rF的乘积为磁作用扭矩。
2.5.3 有限元法计算
（1） 方程
对磁力耦合传动器磁路设计进行研究，需要了解磁力耦合传动器磁隙中每点磁场强度，所以引入了麦克斯韦方程组的微分形式，采用矢量磁位A作为求解对象，求解区域内磁场方程为：
（2-22）
式中 Ω——求解区域；
L1——永磁体与其他介质的分界线；
L2——不同介质的分界线；
m——永磁体的磁化矢量；
n——永磁体表面外法线单位矢量；
β——磁阻率。
利用有限元法求解场的拉普拉斯方程的边值问题，就是把该边值问题等价为一个相应的条件变分问题，再通过引入近似函数，把条件变分问题离散为方程组，最后求解方程组，求得磁场的分布后，再用Maxwell应力法求得最大扭矩。
（2） 注意事项
由于有限元法把求解区域离散化了，B值在一个三角形单元中为一个常数，在另一个三角形单元中为另一个常数，因此，磁场分布成为不连续。为了减小这种离散误差，必须把区域剖分得足够细，特别在磁场较强并且磁场变化较大的地方，以便使计算所得的磁场能较好地逼近真实情况。
磁场有限元分析的目的是求力与扭矩，通常是通过麦克斯韦应力法求得。然而，使用麦克斯韦应力法应遵循一定的原则，否则，所得结果（力、扭矩）与实际结果将相差很大。下面说明如何建立问题，如何正确选择积分路径，以便通过麦克斯韦应力法对力、扭矩进行准确估算。
物体所受的力是由包含此物体封闭表面所受的力的合力。式（2-21）给出了一个物体上磁场力的理论计算值，然而在利用有限元法进行计算时，出现了数值上的误差。这是因为尽管矢量磁位A的计算很精确，但B与H的计算是不太准确的，因为它们是通过A的微分得到的，也就是说，A是每一个单元上的线性函数，而B和H在每一单元为一定值。在B与H变化较大的区域，误差较大，尤其在不同导磁材料的边界处，B与H的切向分量的误差更大。最大的误差值出现在这种交界面的拐角处。然而，应力法有一个性质，对于一个确定的问题，无论积分路径如何，只要包围这个所求物体的路径仅通过空气（或者，至少路径的每个点都在同一磁导率区域），那么所计算的力或扭矩就是准确的。
因此，得到准确力、扭矩值有两条原则，一是所定义的轮廓线不能在边界上，也不能在两物体的分界面上；二是在求解区网格应划得尽可能小。
2.5.4 稳定磁场磁吸引力的计算
（1） 磁耦合力的微分表达式
磁耦合力f为
（2-23）
式中 
——磁场能量wm随坐标g的变动率；
ϕ——与磁路交链的总磁通。
在一个非均匀的场中，磁场的能量可以表示为
（2-24）
式中 E——工作磁隙中磁势；
G——磁导。
在理想状态的磁耦合系统中，正常使用的磁力耦合系统的磁势可近似看作不变，磁耦合力f的大小可以写成
（2-25）
从式中可以看出，在相同的磁势E下，磁导G随坐标g的变化率
愈大，则磁耦合力f愈大。因此，若想获得足够大的磁传动力，工作磁隙中须建立足够的磁势E，同时使磁导G在力传递方向随坐标g的变化率足够大。
（2） 磁耦合力计算公式的推导
磁场是物质存在的一种形态，具有能量和动量。在传递力或扭矩的过程中，磁场的分布要发生变化或者说rotH不为零。那么随时在磁场中任一处所存在的单位体积力fg表示为
（2-26）
根据矢量运算可知
（2-27）
因此
（2-28）
由于
B（gradB）=div（BB）-BdivB
而且
divB=0
因此
B（gradB）=div（BB）
把上列各式综合处理可得
（2-29）
整个磁场区内体积力的计算，是将fg进行体积积分所得
（2-30）
矢量分析公式
整理式（2-30）为：
（2-31）
式中 cosθ——矢量B与面积元ds法线方向间夹角的余弦；
Bo——B的单位矢量。
式（2-31）积分项中，第一项表示与面积元法线方向相反的表面力。因此，积分是沿着整个磁场的边界进行的。第二项表示B2cosθ沿边界的面积分，因此，在矢量B与面积ds法线的夹角为90°时，其值为零，第二项沿磁场侧面积的积分为零。
对式（2-31）第一项采用MKSA制改写为
（2-32）
根据磁路设计和计算的实际对式（2-32）简化改写为
（2-33）
式（2-33）表示某一单元（或单级磁极）磁体的磁吸引力计算式，在磁力耦合传动技术的设计和组合排列中，其磁路是由多级磁极耦合组成的，因此式（2-33）应改写为：
（2-34）
式中 m——磁极极数；
α——磁体损失系数（或漏磁因素），计算较为复杂，根据设计经验和试验计算假定在常用磁驱动的设计中选0.3～0.5；
tg——磁隙高度，cm；
B——磁体的工作点，通过计算磁导值，在B/H图上用图解法求得，Gs；
Sc——磁极作用方向上的磁极面积，cm2。
（3）磁传递扭矩计算
磁传递扭矩T为
T=FxRc（kgf·cm） （2-35）
式中 Rc——磁场作用的力臂，对旋转件来说为磁场转动作用的平均半径，cm；
Fx——磁场作用力（或磁场吸引力），kgf。