第二节 平面及其方程

［课前导读］

在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方程——曲线方程的概念．同样，在空间解析几何中，任何曲面都可看作满足一定几何条件的动点的轨迹，动点的轨迹也能用方程来表示，从而得到曲面的概念.

平面是空间中最简单而且最重要的曲面．本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质.

一、平面的点法式方程

由中学立体几何知道，过空间一点，与已知直线垂直的平面是唯一的．因此，如果已知平面上一点及垂直于该平面的一个非零向量，那么这个平面的位置也完全确定了．现在，根据这个几何条件来建立平面的方程.

首先我们给出平面的法线向量的定义：如果一个非零向量垂直于一个平面，则该向量就称为该平面的法线向量（简称平面的法向量）．显然，一个平面的法向量有无穷多个，它们之间互相平行，且法向量与平面上的任何一个向量都垂直（见图5-33）.

设M0（x0，y0，z0）是平面Π上的一个定点，且已知该平面的法向量n=（A，B，C），则对于平面上的任一点M（x，y，z），由于向量=（x－x0，y－y0，z－z0）必与平面Π的法向量n垂直，于是有，即

A（x－x0）+B（y－y0）+C（z－z0）=0.　（1）

式（1）是以x、y、z为变量的三元一次方程，从上面的推导过程可以看到，平面Π上任意一点M（x，y，z）的坐标一定满足方程，而若点M（x，y，z）不在平面上，则与n不垂直，即，即点M（x，y，z）不满足方程．因此式（1）就是平面Π的方程，又因为我们是在给定平面上的一个点M0（x0，y0，z0）和它的一个法向量n=（A，B，C）的条件下得到的式（1）的，因此式（1）又称为平面的点法式方程.

例1　求过点（2，3，1）且与n=（－1，－2，0）垂直的平面的方程.

解　根据平面的法向量的概念，向量n=（－1，－2，0）即为所求平面的一个法向量.所以由平面的点法式方程可得

－1·（x－2）-2·（y－3）+0·（z－1）=0，

即

（x－2）+2（y-3）=0，或x+2y－8=0.

例2　求过点M1（1，－1，－2）、M2（－1，2，0）及M3（1，3，3）的平面的方程.

解　由于三点M1、M2、M3均在平面上，所以与平面平行，由向量积的概念可知，向量都垂直，即与所求平面垂直，因此它是平面的一个法向量（见图5-34），而

取，则平面方程为

7（x－1）+10（y+1）－8（z+2）=0，即7x+10y－8z－13=0.

二、平面的一般方程

由平面的点法式方程（1）知任一平面的方程都是三元一次方程，反之，可以证明任何一个三元一次方程

Ax+By+Cz+D=0　（2）

一定表示平面.

任取一组（x0，y0，z0）满足

Ax0+By0+Cz0+D=0，　（3）

（2）-（3）得A（x－x0）+B（y－y0）+C（z－z0）=0，即为平面的点法式方程（1）.

由于式（2）与式（1）是同解方程，故表明三元一次方程的图形一定是平面.

方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程，其中n=（A，B，C）即为该平面的一个法向量.

对于一些特殊的三元一次方程所表示的平面，应该熟悉它们图形的特点.

（1）当D=0时，式（2）成为Ax+By+Cz=0，显然，原点O（0，0，0）的坐标满足此方程，因此，方程Ax+By+Cz=0表示过原点的平面.

（2）当A=0时，By+Cz+D=0所表示的平面的法向量为n=（0，B，C），法向量n在x轴上的投影为零，故与x轴垂直，所以该平面与x轴平行；同理，当B=0时，平面Ax+Cz+D=0平行于y轴；当C=0时，平面Ax+By+D=0平行于z轴.

（3）当A=B=0时，平面Cz+D=0的法向量为n=（0，0，C），法向量n在x轴和y轴上的投影都为零，故与x轴和y轴都垂直，即与xOy面垂直，所以该平面平行于xOy面；同样，当B=C=0或A=C=0时，式（2）成为Ax+D=0或By+D=0，它们分别表示与yOz面或与zOx面平行的平面.

特别地，方程z=0，x=0，y=0分别表示了三个坐标面：xOy面、yOz面和zOx面.

例3　求通过x轴和点（2，4，1）的平面方程.

解法一　设所求平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，因为所求平面通过x轴，且法向量垂直于x轴，于是法向量在x轴上的投影为零，即A=0.

由于平面通过原点，所以D=0，从而方程成为

By+Cz=0，　（4）

又因平面过点（2，4，1），因此有4B+C=0，即C=－4B．以此代入式（4），再除以B（B≠0），便得到所求方程为

y－4z=0.

解法二　因为所求平面通过x轴，故原点O（0，0，0）在平面上，向量

在平面上，又x轴的单位向量i=（1，0，0）与平面平行，于是向量积与平面垂直，即它是平面的一个法向量．而

根据平面的点法式方程，得到所求方程为

y－4z=0.

三、平面的截距式方程

例4　设一平面与x、y、z轴分别交于点P（a，0，0）、Q（0，b，0）、R（0，0，c）（abc≠0），求这个平面的方程（见图5-35）.

解　设平面的一般方程为

Ax+By+Cz+D=0，　（5）

分别将上述三点的坐标代入方程，得

Aa+D=0，Bb+D=0，Cc+D=0，

即

代入式（5）得

即

称为平面的截距式方程．a、b和c叫作该平面的截距.

四、平面与平面、点与平面的关系

1. 两平面的夹角

两平面的法向量所夹的锐角（或直角）称为两平面的夹角（见图5-36）.

设平面Π1的方程为

A1x+B1y+C1z+D1=0，

平面Π2的方程为

A2x+B2y+C2z+D2=0，

即

n1=（A1，B1，C1），n2=（A2，B2，C2），

则平面Π1与平面Π2的夹角θ=的余弦为

由此可推得两个平面平行和垂直的充要条件.

当Π1//Π2时（见图5-37），有

若Π1与Π2重合，则.

当Π1⊥Π2时（见图5-38），有

n1⊥n2A1A2+B1B2+C1C2=0.

例5　研究以下各组里两平面的位置关系.

（1）Π1：－x+2y－z+1=0，Π2：y+3z－1=0；

（2）Π1：2x－y+z－1=0，Π2：－4x+2y－2z－1=0.

解　（1）因为Π1与Π2的法向量分别为n1=（－1，2，－1），n2=（0，1，3），且

故两平面相交，夹角为

（2）因为Π1与Π2的法向量分别为n1=（2，－1，1），n2=（－4，2，－2），且即对应坐标成比例.

又M（1，1，0）∈Π1，M（1，1，0）Π2，故两平面平行但不重合.

例6　求平面Π，使其满足：

（1）过z轴；

（2）Π与平面2x+y－=0的夹角为.

解　因为平面Π过z轴，可设其方程为Ax+By=0．又因为Π与已知平面夹角为，故

从而B=3A或，所以

Π：x+3y=0或Π：3x－y=0.

例7　一平面通过两点M1（1，1，1）和M2（0，1，－1）且垂直于平面x+y+z=0，求该平面方程.

解　=（0－1，1－1，－1－1）=（－1，0，－2），根据题意，可取，其中n1为已知平面x+y+z=0的法向量，n1=（1，1，1），故

因此所求平面方程为

2（x－1）－（y－1）－（z－1）=0，即2x－y－z=0.

2. 点到平面的距离

设P0（x0，y0，z0）为平面Ax+By+Cz+D=0外的一点，在平面上任取一点P1（x1，y1，z1）（见图5-39），则点P0到平面的距离d就是在n（n=（A，B，C））上的投影的绝对值，即.

注意到Ax1+By1+Cz1+D=0，故

比如，我们可以利用公式计算点P0（2，1，1）到平面x+y－z+1=0的距离：

例8　求两平行平面Π1：10x+2y－2z－5=0和Π2：5x+y－z－1=0之间的距离d.

解　可在平面Π2上任取一点，该点到平面Π1的距离即为这两平行平面间的距离.

为此，在平面Π2上取点（0，1，0），则

习题5-2

1. 填空题.

（1）过原点且与向量a=（3，1，－1）垂直的平面方程为______.

（2）平面x+2y+kz+1=0与向量a=（1，2，1）垂直，则k=______.

（3）过点M（2，0，－1），且与向量a=（2，1，－1）、b=（3，0，4）平行的平面方程为______.

2. 指出下列平面位置的特点，并画出各平面.

（1）2x+z+1=0；

（2）y－z=0；

（3）x+2y－z=0；

（4）9y－1=0；

（5）x=0；

（6）2x+z=0.

3. 求满足下列条件的平面方程.

（1）过点M（1，1，1）且与平面3x－y+2z－1=0平行；

（2）过点M（1，2，1）且同时与平面x+y－2z+1=0和2x－y+z=0垂直；

（3）与x、y、z轴的交点分别为（2，0，0），（0，－3，0）和（0，0，－1）；

（4）平行于x轴且经过点（1，2，－1）；

（5）垂直于两平面x－y+z－1=0，2x+y+z+1=0且通过点（1，－1，1）；

（6）平行于向量a=（2，1，－1）且在x轴、y轴上的截距依次为3和-2.

4. 求经过两点（4，0，－2）和（5，1，7）且与x轴平行的平面方程.

5. 求过点A（1，1，－1）和原点且与平面4x+3y+z=1垂直的平面方程.

6. 求过z轴和点M（－3，1，2）的平面方程.

7. 求过三点A（2，3，0）、B（－2，－3，4）和C（0，6，0）的平面方程.

8. 一平面过点A（1，－4，5）且在各坐标轴上的截距相等，求它的方程.

9. 设平面过原点及点（6，－3，2）且与平面4x－y+2z=8垂直，求此平面方程.

10. 求平行于平面6x+y+6z+5=0且与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

11. 若平面x+ky－2z=0与平面2x－3y+z=0的夹角为，求k的值.

12. 求经过两点M1（3，－2，9）和M2（－6，0，－4）且与平面2x－y+4z－8=0垂直的平面的方程.

13. 求平面5x－14y+2z－8=0和xOy面的夹角.

14. 求通过z轴且与平面2x+y－－7=0的夹角为的平面的方程.

15. 推导两平行平面Ax+By+Cz+Di=0，i=1，2之间的距离公式；并求将两平行平面x－2y+z－2=0与x－2y+z－6=0之间距离分成1∶3的平面方程.

16. 证明：过不在一直线上三点（xi，yi，zi），i=1，2，3的平面方程为

并写出过（1，1，－1），（－2，－2，2），（1，－1，2）三点的平面方程.