前言

《九章算术》是传统中国乃至古代东方极其重要的数学著作，在西学东渐之前一直是中国与东亚国家的数学教科书，历千年而不衰。此书不明作者姓氏，而其中某些内容可上溯至先秦时期，据此或可认为此书为历代不断补充、更新、修订的“集体作品”。全书问题共分九类，故名《九章算术》。今传《九章算术》为西汉初年重编。成书后，历经刘徽、祖冲之父子、李淳风等大数学家的注释，以至于研读这些注释成为我们读懂该书的不二法门。

《九章算术》全书内容可简单概括如下：

第一章方田：论述不同形状田地面积的计算方法，并详细介绍了分数的加法、减法、乘法和除法法则。

第二章粟米：论述在商品交易过程中的折算方法，重点介绍了在折算过程中广泛应用的今有法则。

第三章衰分：介绍了在手工业和农业领域按比例分配的处理方法，详细讲解了衰分和返衰法则，涉及基础的数列知识。

第四章少广：论述方和圆的面积和体积的计算方法，并介绍了开平方和开立方法则的使用和演算，并涉及开圆和开立圆(球)的计算和应用。

第五章商功：论述土方工程中的体积计算，详细介绍了各种形状的土方的处理方法。

第六章均输：介绍了在赋税、服役等情况下合理负担的处理方法，并涉及一些相遇问题的解决方法。

第七章盈不足：介绍了盈亏问题的处理方法，详细讲解了双假设法的应用。

第八章方程：介绍了利用方程组解决实际问题的方法，详细讲解了线性方程组的解法，并提出了正负数的概念。

第九章勾股：介绍了利用勾股定理求解高度、长度等实际问题的方法。

在很长时间内，西方主流学术界一直认为东方(主要是中国)并没有真正意义上的数学，即没有一个严格的、成系统的公理化演绎体系，正如他们认为古代中国的哲思只是一些道德训诫，至多有一些思辨概念的萌芽。近代西风东渐以来，中国的知识分子因大的政经局势与民族富强动力使然，无暇深入探究中西致思方式内在、深刻的差异，就接受了西方学界的主流观念，认为研究中学的终南捷径在于掌握一整套来自于西方哲学与科学的概念范畴体系，以便把中学的某一学科(如数学、哲学、中医等)套入其间，以能入其窠臼为能事。这种研究、思考方式当然有其不可忽视的现实原因，但由于它完全不考虑，更不立足于中西方思维方式的内在差异，一味以中学向西学比附、看齐，最后只能是缘木求鱼，不得结果，或以己之短比人之长，以西学的思维模式湮没中学的致思方式。

这种研究中学的思考方式自近代以来发轫，至近些年为止仍未有根本的扭转。为今之计在于认真研读原典，努力接近和体会古人的致思方式。对于中国古代数学(算学)，我们尤应研读其本源之作《九章算术》。《九章算术》向我们昭示，中国古代的数学是一个完全不同于西方数学公理化演绎体系的自成系统的体系。在饱受西方数学训练的学人看来，中国古代数学似乎缺失一个严格、完整的从公理开始渐次推演、下降的逻辑体系。但这并不意味着古人缺乏创立这样体系的智能水平，而是他们并不追求这样的体系。西方科学继承了自古希腊而来的追根究底的形而上学冲动，其彻底的、反思的特质自有其庄严、动人之处，但其理论前提不断被质疑、冲击，又从反面说明了其试图以公理化的逻辑体系统摄一学科中全部现象的冲动，是一个“不可完成的任务”。而以《九章算术》为代表的中国古代数学，以西学的思维方式来看，似乎不太像科学意义上的“数学”，而有些近似于算术“游戏”。它的着力点完全不在于建立能够完全涵盖某一确定领域的抽象程度甚高的公理、定理、公式，而是在于具体情境中的“涵泳”“玩味”。正如尤为体现中国式致思方式的围棋，其对于人类智能的要求与开掘，实不逊于哲学、数学、物理学等基础理论学科，但的确很难为其推导或总结出具有严格适用范围的公式、定理。其所谓“定式”不过只是在某一具体局部形势中目前发现的较为合理、有效的下法。一切有关围棋的智慧都发生在对当下具体形势的直观中。有时，它在某一范围内的贯通性，并非凭借抽象的公理、定理和公式，而是对具体情境或形势的直觉能力。这种直觉力恰恰是在境域式的算术“游戏”中涵养濡育而成的。这种发生于境域中的直觉力直面一切具体而微的数学活动，在某种意义上比西方数学更能够进入到数学活动的本质深处。我们如果仔细研究《九章算术》，会看到它在数学上的创见当不止于发现了可与西方相比拟的勾股定理之类，而沿着这一中国独特的致思方式继续“玩味”下去，我们会在数学以及人类思想活动的诸基本领域内不断贡献出真正有价值的智慧成果。

本书为全本全译，以郭书春的《九章算术译注》(上海古籍出版社，“中国古代科技名著译注丛书”)为底本。由于个人水平有限，其中不免有讹误之处，还请方家批评指正。

曹纯

2014年8月