1.1.1　计算工具的发展

人类最早的计算工具也许是手指，当然还可能包括脚趾，因为这些计算工具与生俱来，无需任何辅助设施，具有天然优势。但是只能实现计数，不能进行存储，而且局限于0～20以内的计算。

1.十进制计数法

在古代世界的计数体系中，除了巴比伦文明的楔形数字为六十进制，玛雅文明为二十进制外，几乎全部为十进制。公元前3400年左右，古埃及已有基于十进制的计数法，只不过这些十进制计数体系并没有“位值”（数的位置不同，表示的值也不同）的概念。

中国在商朝（前1600—前1046）时已经有了比较完备的文字计数系统，在商代甲骨文中，已经有了一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这13个计数单字（见图1-1），可以记录和计算十万以内的任何自然数。商代的一片甲骨文上可以看到将“547天”记为“五百四旬又七日”的写法，这是最早表明中国人使用十进制计数法的典型例子。

图1-1　中国古代甲骨文上的数字（约公元前1500年）

中国周代（前1046—前256）的十进制已经有了明显的位值概念。例如，西周金文“伐鬼方……俘万三千八十一人”“武王遂征四方，俘人三亿万有二百三十”“俘牛三百五十五”等，这里的“三”和“五”等数字都具有位值计数的功能。春秋战国时期，出现了严格的十进位制算筹计数。

2.算筹

算筹是中国古代最早的计算工具之一。成语“运筹帷幄”中的“筹”就是指算筹。南北朝科学家祖冲之（429—500）借助算筹作为计算工具，成功地将圆周率计算到了小数点后第7位。算筹在春秋战国时已非常普遍。根据史书记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一些差不多长短和粗细的小棍子，多用竹子制成，也有木头、兽骨、象牙、金属等材料。

3.九九乘法口诀

中国使用“九九乘法口诀”的时间较早，在《荀子》《管子》《战国策》等书中，有“三九二十七”“六八四十八”“四八三十二”“六六三十六”等句子。由此可见，早在春秋战国时，九九乘法口诀已开始流行。九九乘法口诀广泛用于算筹中进行乘法、除法、开方等运算，到明代则改良并用在算盘上。如图1-2所示，中国目前发现最早的九九乘法口诀表（简称“九九表”）实物是2002年在湖南湘西里耶古城出土的秦简，上面详细记录了九九乘法口诀。与今天乘法口诀不同的是，秦简上的九九表不是从“一一得一”开始，而是从“九九八十一”开始，到“二半而一”结束。

图1-2　现存最古老的乘法口诀“九九表”木牍（前221—前206，秦）

后来，十进制位值概念和九九表传入日本等东方国家。经过丝绸之路西传到印度、波斯，继而流行全世界。十进制位值的概念和九九表是古代中国对世界文化的一项重要的贡献。

4.算盘

算盘是中国古代的重要计算工具，在世界计算工具的发展中具有非常重要的地位。美国加州计算机历史博物馆展厅的入口处就放置了一个大算盘。从计算的角度来看，算盘的进步主要体现在两点：一是有一套完整的算法规则，如“三下五去二”；二是具有存储功能，能连续进行运算。