1.8.2　函数的间断点

定义6　如果函数f（x）在点x0处不满足连续性定义的条件，那么称点x0为函数f（x）的间断点.

如果x0是函数f（x）的间断点，那么无非是以下三种情况之一：

（1）函数f（x）在点x0处无定义；

（2）函数f（x）在点x0处有定义，但不存在；

（3）函数f（x）在点x0处有定义，且存在，但.

根据定义，函数间断点可以分为两大类.

定义7　设x0为函数f（x）的间断点.如果函数f（x）在点x0处的左极限及右极限都存在，那么称点x0为函数f（x）的第一类间断点.

如果函数f（x）在点x0处的左极限及右极限f至少有一个不存在，那么称点x0为函数f（x）的第二类间断点.

例4　函数在x=1处无定义（如图1-18所示），所以x=1是间断点.而

函数f（x）在x=1处的左极限和右极限存在且相等，故x=1是第一类间断点.

如果补充定义：

当x=1时，令f（x）=2，即

那么函数f*（x）在x=1处连续，称x=1为函数f*（x）的可去间断点.

例5　讨论函数

在x=0处的连续性.

显然f（0-）≠f（0+，故 不存在，则x=0是函数f（x）的第一类间断点.如图1-19所示，函数f（x）的图像在x=0处产生跳跃，称x=0为函数f（x）的跳跃间断点.

例6　函数在x=0处无定义，且，所以x=0是函数的第二类间断点，函数的图像在x=0处趋于无穷，称x=0为函数的无穷间断点.

例7　函数在x=0处无定义，且，均不存在，所以x=0是函数的第二类间断点.当x→0时，函数的值在-1与1之间上下振荡，如图1-20所示，称x=0为函数y=sin的振荡间断点.

由例4、例5、例6、例7可以得出函数间断点的分类.