第1章　函数、极限与连续

学习目标

·了解初等函数的一些基本知识以及在高等数学中的地位和作用，了解间断点的概念、类型以及判断方法.

·掌握邻域的概念、复合函数的概念及其分解、函数极限的概念、连续函数的概念以及闭区间连续函数的性质.

·能运用极限概念观察函数的变化趋势，判断函数是否为无穷小量或无穷大量，能判断无穷小量和无穷大量二者的关系.

·能熟练运用极限性质、法则、公式等进行极限运算，能熟练运用极限思想解决有关问题，从而形成极限思想方法.

案例分析

案例　我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写的《九章算术注》中，介绍了利用圆内接正多边形来推算圆的面积的方法——割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”

设有一圆，首先将其分割成圆的内接正六边形，把它的面积记为A1；接下来将其分割成圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再将其分割成圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；继续下去，每次边数增加一倍进行分割，一般把分割成的圆的内接正6×2n-1边形的面积记为An（n∈N+）.这样，就得到一系列圆的内接正多边形的面积：

A1，A2，A3，A4，…，An，…

如此割了再割，越割越细，多边形和圆面积的差越来越小.最后终于和圆合为一体，毫无差别了.其中的奥秘就是当n∈N+且无限增大时，考察正多边形的面积An（n∈N+）是否有一个确定的趋向，显然，此例有一个确定的趋势，即圆的面积.那么，这个问题是否具有一般性和普遍意义？它蕴含着怎样的解决问题的思想方法？本章就去探个究竟.

在许多情况下，经常会遇到上述这类问题，归结为：对于给定的函数，除了研究变量之间的依赖关系外，还需要研究一个量按某种趋势变化时，另一个量有没有确定的变化趋势，即当自变量的绝对值无限增大或无限趋近于某个确定的值时，相应的因变量是否也无限趋近于一个确定的常数.这类问题称为极限问题，探寻这类问题的思想和方法称为极限思想和方法.

极限是高等数学的重要概念之一，是学习、研究微积分学中导数、连续、微分、定积分等重要内容的基础和工具.