枪手们的决斗
在国王的近卫队中有三位枪手，他们的枪法一个比一个好：在射击10米远的靶子时，枪手A的准确率是30%，枪手B的准确率是50%，而枪手C是个弹无虚发的神枪手，他的准确率约等于100%。由于常在一起打靶，这三个人对于彼此的枪法都了如指掌。
丘比特的爱神之箭总是来得那么突然， 三位枪手同时陷入爱河。可是，丘比特对他们开了一个残酷的玩笑，这三个人所倾心的对象竟是同一位姑娘。三位倾慕者的狂热追求使得姑娘感到非常为难，因为她对三个人都抱有相同的好感，这使得她无法在三个人中间做出选择。对于姑娘的爱慕很快转化为求而不得的痛苦，终于有一天，这三位枪手决定用一劳永逸的方法来解决他们所面临的问题——决斗。
这是一场只能有一名生还者的决斗。因为三位枪手都了解彼此的实力，所以他们想出一个看似公平的办法：在地上画一个边长为10米的等边三角形，三位枪手分别站在三角形的三个顶点上，决斗期间不得移动躲闪。3位枪手分别按照枪法从差到好的顺序轮流射击一次，即A先开枪，然后是B，最后才轮到C。三人都使用特殊的开花弹，一旦命中人体，必定会导致对方死亡。一轮结束之后，如果生还者多于一人，则继续按照这一顺序循环射击，直到只剩一人为止。唯一的生还者也就是胜利者，可以与心爱的姑娘结为伴侣。
请问，在这三位枪手中，谁的获胜概率最大？如果你是三个人中枪法最差的那位，获胜概率最高又有多少呢？
答案：
首先，按照常理来思考，每位枪手在射击另外两人时都理应选择优先射击枪法最好的人，也就是说A和B会优先射击C；而C如果未被A、B击中则会优先射击B，且必定击中B。
下面我们分别计算三人的生还率。为便于计算，以下取枪手C的准确率为100%。
（1）A与B二人对决时，二人的生还率分别为：
A：30%+70%×50%×30%+70%×50%×70%×50%×30%+…=0.3/0.65
B：70%×50%+70%×50%×70%×50%+70%×50%×70%×50%×70% ×50%+…=0.35/0.65
（2）A与C二人对决时，二人的生还率分别为：
A：30%
C：70%
（3）B与C二人对决时，二人的生还率分别为：
A：50%
C：50%
而当A、B、C三人对决时，A在以下三种情况下将成为胜利者：
①第一轮中，A命中C，B未命中A；第二轮中，A命中B。其概率为：30%×50%×0.3/0.65=0.045/0.65=9/130
②第一轮中，A未命中C，B命中C；第二轮中，A命中B。其概率为：70%×50%×0.3/0.65=21/130
③第一轮中，AB均未命中C，C命中B；第二轮中，A命中C。其概率为：70%×50%×30%=10.5%
B在以下三种情况下将成为胜利者：
④第一轮中，A命中C，B命中A。其概率为：30%×50%=15%
⑤第一轮中，A未命中C，B命中C；第二轮中，B命中A。其概率为：70%×50%×0.35/0.65=49/260
⑥第一轮中，A命中C，B未命中A；第二轮中，B命中A。其概率为：30%×50%×0.35/0.65=21/260
C在以下一种情况下将成为胜利者：
⑦第一轮中，A未命中C，B未命中C，C命中B；第二轮中，A未命中C， C命中A。其概率为：70%×50%×70%=24.5%
也即
A获胜的概率为①+②+③=0.105+3/13≈33.6%
B获胜的概率为④+⑤+⑥=0.15+7/26≈41.9%
C获胜的概率为24.5%
且33.6%+41.9%+24.5%=100%
也就是说，在三人皆优先射击枪法最好者的情况下，B获胜的概率最大。对于B和C来说，最明智的选择显然就是这种做法，然而这种做法对于A来说并非最优解。
让我们转换一种推理方式：
A知道自己的枪法是三个人中最差的，B和C都不会优先射击自己。而当有人被击中时，三人对决就会立刻转变为二人对决。如果命中别人的那一枪是第三个人开的，那么自己就会成为二人对决中的先手；反之，如果击中别人的那一枪是自己开的，那么自己就会成为二人对决中的 后手。
既然A在三人对决的情况下是相对安全的，为了在二人对决中抢占先手，最优策略就是一直故意打偏，直到B和C两人中的一人被另一人击中，然后A再去射击剩下的那个人。
在这种情况下，A获胜的可能情况分为两种：
（1）B先被命中，C后被命中，其概率为：0.5×0.3=15%
（2）C先被命中，B后被命中，其概率为：0.5×0.3+0.5×0.7×0.5×0.3+0.5×0.7×0.5×0.7×0.5×0.3+…≈23%
即A获胜的概率=15%+23%≈38%
B获胜的概率=0.5×0.7×0.5+0.5×0.7×0.5×0.7×0.5+…
×0.3+0.5×0.7×0.5×0.7×0.5×0.3+…≈27%
C获胜的概率=0.5×0.7=35%
且38%+27%+35%=100%
故在这种情况下，A获胜的概率是三个人中最大的，可以达到38%。