2.3 有限时间Nash博弈

2.3.1 问题描述

本节研究有限时间时滞随机系统的线性二次Nash微分博弈问题。简单起见，我们假设布朗运动为一维的，且只考虑两个博弈参与人，n个博弈参与人的情形可类似地得到。

受控系统为

这里φ∈C（[-τ，0]；Rⁿ）为确定性函数，满足；w_t为一维标准布朗运动；vⁱ_t是取值于U_i的F_t-可测的变量，表示博弈人i的决策控制变量，为非空凸集，i=1，2；τ＞0为给定的有限的时间延迟；A_t，Ã_t，B¹_t，B²_t，C_t，D¹_t，D²_t为具有适当维数的F_t-适应的矩阵值有界过程。

以J¹[v¹（·），v²（·）]，J²[v¹（·），v²（·）]来表示博弈人i，i=1，2各自对应的性能指标泛函

其中Gⁱ为F_T-可测非负有界对称矩阵，Qⁱ_t为F_t-适应的非负有界矩阵值过程，Rⁱ_t为F_t-适应的正的有界矩阵值过程且（Rⁱ_t）^-1也有界，i=1，2。

我们的问题是寻找容许控制[u¹（·），u²（·）]，使得下述不等式成立

J¹[u¹（·），u²（·）]≤J¹[v¹（·），u²（·）]，J²[u¹（·），u²（·）]≤J²[u¹（·），v²（·）].这样的[u¹（·），u²（·）]称为博弈问题的Nash均衡点。

2.3.2 主要结论

定理2.3 [u¹（·），u²（·）]为上述博弈问题（2.26）和（2.27）的一个Nash均衡点，当且仅当[u¹（·），u²（·）]取下述形式

其中（P¹_t，Λ¹_t）和（P²_t，Λ²_t）为如下推广的随机Riccati方程的解

其中。

证明：由Nash均衡点的定义及定理2.1，我们可知[u¹（·），u²（·）]是博弈问题的一个Nash均衡点等价于uⁱ（·）为如下控制问题的最优策略

指标泛函为

其中j=1，2，j≠i。

注意到指标泛函（2.31）在形式上与定理2.1中的J[v（·）]是一致的，将定理2.1中的，得

uⁱ_t=[Rⁱ_t+（Dⁱ_t）^ΤPⁱ_tDⁱ_t]^-1[（Bⁱ_t）^ΤPⁱ_t+（Dⁱ_t）^ΤPⁱ_tCⁱ_t+（Dⁱ_t）^ΤΛⁱ_t]x_t，t∈[0，T].

式中的Cⁱ_t=C_t+D^j_tu^j_t。定理2.3证毕。□

推广的随机Riccati方程（2.29）的解是一个二元组（Pⁱ_t，Λⁱ_t），Λⁱ_t的出现则保证了状态方程（2.26）的系数矩阵A_t，Ã_t，B_t，C_t，D_t为随机过程时得到一个F_t-适应解。而当各系数矩阵都是确定性的，则有如下的确定性Riccati方程

推论2.1 假设所有的系数矩阵A_t，Ã_t，B_t，C_t，D_t都是确定性的，则用式（2.32）替代式（2.29）后定理2.3仍然成立。此外，

是博弈问题（2.26）和（2.27）的一个Nash均衡点。

注2.3 推广的随机Riccati方程（2.29）看起来非常复杂，其解的存在唯一性不易得到。但是，如果它有唯一解，则博弈问题（2.26）和（2.27）也有唯一的Nash均衡点。