2.4 非线性振动分析的Chebyshev谱元法

尽管许多工程问题可以用线性振动近似，但还是有很多工程振动需要考虑非线性。例如，大角度单摆、振动输送机、高速列车行驶时气体的阻力及材料产生弹塑性变形构成的振动系统等［94］，均需要用非线性微分方程来进行分析。非线性振动不符合叠加原理，通常用数值方法进行分析。

Orszag S.A.［95］于1969年提出谱方法，给研究者所关注的高精度数值分析带来了希望，然而其不能处理复杂设计域、不能近似非光滑函数等缺点［98］限制了它的发展。考虑到谱方法的高精度及指数收敛和有限元方法处理边界灵活的特性，学者Patera于1984年提出谱元法，该方法通过在GLL点进行Lagrange插值来构造节点基函数，被应用于流体动力学分析［81］。30多年来，谱元法由于高精度和快速收敛的特点得到了极大关注，并被成功应用于科学和工程的很多领域［96］。在动态响应优化中，谱元法通过精确求解动力学控制方程并结合GLL点来满足动态约束条件，可获得更优的解。在机械故障诊断中，可用谱元法来模拟带裂纹的三维板结构的导波激励与接受，以及波的传播［102］。将仿真时间分为若干步，采用逐步时间谱元法［53］仿真三维悬臂梁，可获得与ANSYS仿真一致的结果，而效率高于ANSYS仿真。文献［38］将谱元离散方案应用于结构动态应力关键时间点的识别。Zhao等人［103］采用Chebyshev最小二乘谱元法详细分析并求解了半透明介质的辐射传热。林伟军［104］应用Modal basis谱元法详细阐述了弹性波传播模拟的理论公式，并应用Chebyshev正交多项式展开。耿艳辉等人［105］提出了时间-空间耦合谱元法，并将其用于第一类边界条件的非齐次一维、二维、三维波动方程的求解。文献［106］应用时-空Galerkin谱元法求解具有小黏性的Burgers方程，研究了双曲线控制方程的显式方法和一个抛物线控制方程的隐式方法两种分裂方法的一种次循环技术。文献［107］提出了时间和空间两场混合的谱元公式，开发了显式和隐式算法，并将其用于求解二阶标量双曲方程。文献［108］采用空-时谱元法求解了简支修正欧拉-伯努利非线性梁在受迫横向振动作用下的振动问题。

本章通过在Chebyshev正交多项式的极点重心进行Lagrange插值来构造节点基函数，提出了求解非线性振动问题的Chebyshev谱元法。

对于非线性振动问题中的非线性项，先直接对它求微分，再加入线性振动问题的离散公式中，将其转化为Newton-Raphson迭代公式进行迭代求解。

非线性方程组可表示为

式中，X（t）为n维解向量，F（X（t））为m维函数向量。

考虑函数F：ℝn→ℝm，其中，

那么F（x1，x2，⋅⋅⋅，xn）的Jacobian矩阵为

Newton-Raphson迭代公式表示为

式中，ΔX =Xi+1-Xi。