第2章 基于谱元法的结构动态分析方法

振动问题的分析在瞬态分析、机械工程、故障诊断［70］等领域具有不可替代的地位，是机械设计中一种重要的分析［71］。如何获得精确的振动响应一直是研究者的工作重点［72］。

振动问题分析的数值方法不断发展，不管何种方法都各有利弊。其中，具有代表性的是摄动传递矩阵法［73］和有限差分法（FDM）。前者是考虑系统的随机性，后者是直接将微分方程（组）转化为代数方程组，其数学概念简单直观，表达式简单，容易编程，时间步长直接决定计算的收敛性和精确性［45］。对Chebyshev拟谱方法［74］的研究表明，仿真时间范围较小，可以获得很高的精度，否则，获得的解没有意义。利用有限元法变分原理和差分方法的优点，可以进一步获得一定精度的近似解，并且当形函数为正交多项式零点或极点的插值基函数时，将其称为谱元法，正交多项式为Chebyshev正交多项式时，称其为Chebyshev谱元法。

Steven Orszag于1969年提出谱方法［42］［78］［79］，通过大量研究表明其具有高阶数值分析快速收敛的优点，然而不能处理复杂空间域等缺点限制了其发展。考虑低阶有限元方法在非结构化域的灵活性和谱方法的高精度及谱收敛的特点，Patera［42］于1984年提出谱元法，采用在GLL的零点Lagrange插值和p型节点基函数，并应用到流体动力学中。Dimitri Komatitsch［80］将有限元方法的灵活性和谱方法的准确性结合，并将其引入三维地震波计算，利用高阶Lagrange插值对单元上的波场进行离散，然后根据高斯-洛巴-勒让德积分规则对单元进行积分。近年来，谱元法已经被应用于科学和工程的很多领域［44］［81］。文献［82］采用勒让德四边形谱元近似Black-Scholes方程，并将其应用于欧洲彩虹和篮子期权的定价。文献［83］采用谱元法对球面几何中的浅水方程进行分析，并将其与其他模型进行了比较。笔者［64］应用Lobatto-Legendre正交多项式的零点将振动微分方程的时间域谱展开，通过Galerkin谱元离散方案获得精确解，并提出GLL点集法处理与时间相关的约束，进一步提出逐步时间谱元法，缩短了CPU时间。P.Z.Bar-Yoseph等人［84］采用时间谱元法求解非线性混沌动态系统。U.Zrahia和P.Z.Bar-Yoseph ［85］采用空间-时间耦合谱元法求解二阶双曲方程。然而很少有文献使用Chebyshev谱元法分析振动问题。

本章提出采用Chebyshev谱元法进行任意载荷作用下的振动问题分析，通过稳定性很好的重心Lagrange插值近似振动解函数，结合有限元方法的灵活性，得出振动问题的h收敛和p收敛两种收敛方式，并与配点方法进行比较。