第二节 融诗于数

歌剧《刘三姐》中，刘三姐与三位秀才（陶、李、罗）对唱：

罗秀才：“小小麻雀莫逞能，三百条狗四下分。一少三多要单数，看你怎样分得清。”

刘三姐：“九十九条打猎去，九十九条看羊来。九十九条守门口，还剩三条奇奴才。”

计算一下可以发现：300 = 99+99+99+3 。这正是数学中的整数分拆问题。

在元代有一部算经《详明算法》内有关于丈量田亩的方法：

古者量田较润长，全凭绳尺以牵量。

一形虽有一般法，惟有方田法易详。

若见涡斜并凹曲，直须裨补取为方。

却将黍实为田积，二四除之亩法强。

这首诗的作者为元末的贾亨。诗的意思是，田亩丈量以“方田法”即以矩形面积为基础，如遇不规则图形，用割和补的方法巧妙化解，体现了处理几何问题时“出入相补”的一般化原理。

中国古代典籍中的许多数学问题，都以诗歌形式提出。

一、百羊问题

明代大数学家程大位著的《算法统宗》一书，有一道诗歌形式的数学应用题，叫“百羊问题”。

甲赶羊群逐草茂，

乙拽一羊随其后，

戏问甲及一百否？

甲云所说无差谬，

所得这般一群凑，

再添半群小半群，

得你一只来方凑，

玄机奥妙谁猜透？

意思是：一个牧羊人赶着一群羊去寻找青草茂盛的地方。有一个牵着一只羊的人从后面跟来，并问牧羊人：“你的这群羊有100只吗？”牧羊人说：“如果我再有这样一群羊，加上这群羊的一半又1/4群，连同你这一只羊，就刚好满100只了。”

如何用巧妙的算术方法求出这群羊有多少只呢？

我们可以把这群羊作为一个整体，用“1”代替，因此，此题的解为：

（100-1）÷（1+1+1/2+1/4）=36（只）

注意：上式“（100-1）”中的“1”代表问话人手中的那只羊，而“（1+1+1/2+1/4）”中的“1”则代表牧羊人所赶的一群羊。

二、宝塔装灯

这是明代数学家吴敬偏著的《九章算法比类大全》中的一道题，题目是

远望巍巍塔七层，

红光点点倍加增，

共灯三百八十一，

请问顶层几盏灯？

同样地，我们可以把塔顶层的灯数看成“1”，则向下各层的灯数分别为顶层灯数的2倍、4倍、8倍，往下类推，可解出各层倍数和为

1+2+4+8+16+32+64=127

所以顶层的盏数为

381÷127=3（盏）

三、李白打酒

李白街上走，提壶去打酒；

遇店加一倍，见花喝一斗；

三遇店和花，喝光壶中酒。

试问酒壶中，原有多少酒？

这是一道民间算题。题意为：李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到酒店将壶中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗 ①，这样遇店见花各3次，把酒喝完。问壶中原来有酒多少斗？

此题用方程解非常容易，设壶中原来有酒X斗，“遇店加一倍”就是2X, “见花喝一斗”就要减去“1”，此时酒壶中还有酒（2X-1）斗，以此类推，则可列出以下方程：

[(2X-1)×2-1]×2-1=0

解得X=7/8，即壶中原来有酒7/8斗。

四、百馍百僧

明代大数学家程大位著的《算法统宗》中还有这样一题：

一百馒头一百僧，大僧三个更无增，

小僧三人分一个，大小和尚各几丁？

题意为：有一百个和尚分食一百个馒头，一个大和尚可以吃3个馒头，而一个小和尚只能吃1/3个馒头，这样正好可以分完，问有多少个大和尚和多少个小和尚？

这题可用假设法求解，如假设大和尚有100个，则缺馒头（3×100-100）= 200个，一个小和尚比一个大和尚少吃（3-1/3）个馒头，需要多少个小和尚才能弥补所缺的200个馒头呢？因此我们可以通过下式算出小和尚的人数为75人：

(3×100-100)÷(3-1/3)=75（人）

那么，大和尚的人数就很容易知道为：100-75=25（人）。

这与“百元买百鸡”问题的算法是一致的。

五、僧侣人数

在《增删算法统综》里，也有这样一首古诗，就是一道完整的数学题。

巍巍古寺在山林，

不知寺内几多僧。

三百六十四只碗，

看看用尽不差争。

三人共食一碗饭，

四人共吃一碗羹。

请问先生明算者，

算来寺内几多僧。

对于这道并不复杂的数学题，我们可以这样思考：吃饭的碗的个数应该与总的人数的三分之一相等，盛羹的碗的个数应该与总的人数的四分之一相等，因此，总人数为：364÷(1/3+1/4) = 624（人）。

汉代数学家刘徽所著的《九章算术》是一部世界性著作，突出的成就有：分数运算、比例问题、双设法、面积及体积计算、一次方程解法、负数的引入及运算法则、开平方、开立方及一般二次方程的解法等。在现在的小学教育中部分涉及鸡兔同笼问题、方程、勾股、均输、盈不足等。了解这些，教师在教学中可以帮助孩子博古通今，激发其学习数学的兴趣。

“竹原高一丈，末折着地，去本三尺，竹还高几何？”意思是说：一根竹子有一丈长，从中间折断使末端着地，此时末端距离竹子根部有三尺，请问竹子还有多高？