第二章 数学之趣

现在人们一提到“游戏”，首先想到的是电脑游戏。其实，游戏本身是文娱活动的一种，它分为智力游戏和活动性游戏，前者是发展智力的，后者是发展体力的。

数学游戏既是数学问题又是一种游戏，同时具备知识性、趣味性和娱乐性。我们首先来看下面一个小游戏。

茶杯谜题

有一种由来已久的酒吧赚钱的方法，需要三个茶杯和一个“傻瓜”（一个在酒吧喝得有点高，容易轻信他人的人）。

“行骗者”将三个茶杯（或玻璃杯）正放在吧台上。

他将中间的那只茶杯倒过来，如下图所示：

然后他解释说，现在他只挪动3次就能把三个杯子都倒过来放，其中每次挪动恰好颠倒两个杯子。它们不必相邻，任何两只都可以。（当然，一次挪动就可以完成这件事——把两边的杯子倒过来就可以，但规定使用三步就是这种误导的一部分。）

这3次的挪动过程分别是：

“行骗者”开始戏弄那个“傻瓜”。他漫不经心地将中间的茶杯正过来，得到如下情形：

并请“傻瓜”重复这个游戏，小赌一把以增加趣味性。

奇怪的是，无论“傻瓜”怎么挪动，杯子都不听话。“傻瓜”没有注意到，初始的位置已被“行骗者”偷偷地改变了。即使他注意到了这一改变，可能也没意识到这一改变带来的灾难性后果。这组正放着的茶杯的奇偶性（奇/偶）已经从偶数变成了奇数。由于每次挪动恰好颠倒两个杯子，所以每次挪动都保留这个奇偶性。初始正放着的茶杯为偶数的仍然是偶数，奇数的仍然是奇数。在第一次，起始位置的奇偶性是偶数，最终要求的位置也是如此；而在第二次，起始位置的奇偶数是奇数，这使得我们无法到达要求的最终位置——不仅挪动三次做不到，而且无论挪动多少次都做不到。

这个问题可以推广，与酒吧的场景略微有些区别。由此产生的谜题用的是同样的原理，但是更简洁。假设从11个茶杯开始，全部倒放。规则是必须进行一系列挪动。每次挪动恰好颠倒4个杯子，它们不一定要相邻。目标是让这11个杯子都正放。你能做到吗？如果能，完成这个任务最少需挪动多少次？