![数学分析新讲(第3册)](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/665/26831665/b_26831665.jpg)
§4 微分形式
微分形式(又称外微分形式)是一种很有用的数学工具.采用微分形式记号,能够统一地表达上节中的几个重要公式.这种表达形式还能作很一般的推广——对进一步的数学研究有重要意义的推广.虽然我们这里还不能对有关问题作全面深入的探讨,但初步结识微分形式也仍然是很有益处的.
在学习第二型曲线积分和第二型曲面积分的时候,我们涉及到这样一些被积表达式:
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0090_0575.jpg?sign=1734408068-7QkfNZgEOqZK8TiunR7KJFn2xaAt0ZX9-0-120f49fb4c4b1ab3eabb6adfb4b7585f)
像(4.1)和(4.2)这样的式子,分别被称为(R3中的)1次微分形式和2次微分形式.我们还把如下形状的表示式
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0091_0576.jpg?sign=1734408068-UWkloCJ3ewKESmwJOlWb3iSvXT532Bfl-0-672e9ca34ef04003c9cbc61b3f98a56f)
叫做(R3中的)3次微分形式.
在讨论曲线积分的时候,我们把(4.1)式中的dx,dy和dz看作有向长度(有向曲线上一段微小的长度在三个坐标轴上的投影).在讨论曲面积分的时候,我们把(4.2)式中的dyΛdz,dzΛdx和dxΛdy;看作有向面积(有向曲面上一块微小面积在三个坐标面上的投影).至于(4.3)式中的dxΛdyΛdz,我们也把它看作R3中的有向体积元.为了体现有向性,我们约定:
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0091_0577.jpg?sign=1734408068-ni1p04CBG41YDXHrmfIX8XmGQQMcI86A-0-e94bb6ec5804c43db21ab667807df8af)
通常以dxΛdyΛdz表示正的体积元.于是
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0091_0578.jpg?sign=1734408068-sZjNKyCm0H4kGxrVXiWbTcEUfabo3WSD-0-9c965c856e784e200c65990bb5c8d6e5)
——这里的
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0091_0579.jpg?sign=1734408068-8tMT4TbgkGapv63JrphnAxvGxmHtENvO-0-807939e2336431bc133307e2e8e09ae5)
表示通常的三重积分.
除了上面所说的1次,2次和3次微分形式而外,我们还把数值函数f(x,y,z)叫做(R3中的)0次微分形式.
在Rn空间中,我们把如下形状的表示式叫做p次微分形式:
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0092_0580.jpg?sign=1734408068-PuuCBw7QQfZvoMmILiO72zi2oSef2EZ9-0-d296d712227628f84c55d2596c11c1cb)
这里对每一个标号i1,……,iP都从1到n求和.为了书写省事,常常把(4.4)式简单地记为
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0092_0581.jpg?sign=1734408068-3eznDX4ptfj7bo6WyPcXSJNkEdzpvh2c-0-be91e5295e9bf4614838d5569a6aa29f)
——对于p次形式而目I是p重指标
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0092_0582.jpg?sign=1734408068-uNRArLVmYpHRFd6717u9KBO71UjmBRHf-0-15976405dffeaa8cca263efecb1671dd)
它的每一个分量都在1到n范围内变化.我们也把数值函数
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0092_0583.jpg?sign=1734408068-riEZLmLvlE7vGIuWf2FYCVeK91DevsfT-0-3c536c71fbbc3e9eda2cc78dbfac5758)
叫做(Rn中的)0次形式.
对于p次微分形式,按以下两式定义了加法和乘以数值函数的运算:
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0092_0584.jpg?sign=1734408068-F8cEpwSha3FV8vXXIE0NyneuNaHobEwQ-0-5e39f7f4edffc675a0a7423f9c7ec180)
关于符号“Λ”,我们约定
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0092_0585.jpg?sign=1734408068-dGlEK437lWvWale2vuLjoeEaR0li408j-0-42f6acded39e25c416a018dac9a49db1)
鉴于这些关系,表达式(4.4)中某些项是0,另外还有一些项可以合并.于是,(4.4)式可以写成这样的形式:
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0092_0586.jpg?sign=1734408068-mrFRh9iO19jNqMYCHoakUA2q7RQqnkcn-0-1f4baea5534bd0589aaadfb429fb42f7)
这里求和号下的圆括号表示对满足以下条件的i1,……,iP求和:
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0093_0587.jpg?sign=1734408068-q6PyVO4gfe0nHqtIz2cS6Rwk3cSS8pYI-0-4586374afdcffd03769c7d408009431f)
为了书写省事,也常常把(4.7)式简记为
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0093_0588.jpg?sign=1734408068-E5Z5XAAJqeeugVcWCdds2PGg6FciXB1d-0-cdafd378c9ef2828475f546e0587a3af)
下面,我们扩充符号“Λ”的用法,在微分形式之间定义一种外乘运算:
(1)对于0次形式(即数值函数)f与次形式ω规定
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0093_0589.jpg?sign=1734408068-AYni6ETkkbulVXsYL2m9Nxswfbne2uyB-0-acd6a44492f554e8c4a5ab41205fcb0c)
(2)对于p次形式
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0093_0590.jpg?sign=1734408068-is6fYNExKtHb7Zh42ABG73ioF8dPlMzf-0-b47ddabdcd9a22857fbcbadd509ce6f3)
与q次形式
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0093_0591.jpg?sign=1734408068-1TkBuIUR2daNvn6Ydlvg4bUKYM4MGgAG-0-9f0132267b6bee5627ae1b0aebddd272)
规定
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0093_0592.jpg?sign=1734408068-HI0x6aWNffpc9RyBxTiDlW73rAwQ8VqA-0-3c94007ad33550019f29e76356c6e0ae)
一所得的结果还应利用关系式(4.5)和(4.6)进行化简.
这样定义的外乘法适合下面所述的运算律:
设f1,f2,g1,g2是数值函数,ω1,ω2,ω是p次形式,θ,θ1,θ2是q次形式,η是r次形式,则有
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0093_0593.jpg?sign=1734408068-0XI51ZYvRJmcmq1z4Hkg61FCQ9ff4oql-0-f5f6c78676279272a74a0aa015129c7f)
例1 设有微分形式
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0093_0594.jpg?sign=1734408068-zxLtiiCNv0Ssx7JdQa5urq96jtPkoTGK-0-3f7ae55da4b2e3c583ef611579540de5)
试计算ωΛθ.
解 我们有
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0094_0595.jpg?sign=1734408068-kKdaJlMm01TQtAnu9sJHy04Y3BnKERHY-0-e5d09fbb1510871fc83d75dc66de843e)
例2 设有微分形式
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0094_0596.jpg?sign=1734408068-8W8INfpiZTb0rih1stXmndkvUZSO4QCt-0-a029a0a094d906980676b90133ebba00)
试计算ωΛθ.
解 我们有
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0094_0597.jpg?sign=1734408068-Fzcq4ZkFxlphjF4zfGTNde5lpUfZ4T5S-0-3c702266acf48b017f9cc2b3912ef9a7)
例3 考查Rn中的n个1次形式
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0094_0598.jpg?sign=1734408068-9QGBSxhgTfcEg3rRXMZPslChREFF1DzC-0-df5f3f9fdfca40870ee2bbf200476c01)
试证明
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0094_0599.jpg?sign=1734408068-H4tXYStocF1KBVp5W06jf8OiCLVpnekk-0-05075da8edc711d9084ba5b2c2ec240b)
证明 根据定义应有
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0094_0600.jpg?sign=1734408068-SUdFB2O7wkr6dEiWrvAL7gREZKqbcs1t-0-6785bf8d904ce60a4df8bf352cb1bbf3)
为了整理上面的表示式,我们引入记号
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0095_0601.jpg?sign=1734408068-Na6DMwoMG77zkZQ7TzyDsLEHKS02nH4O-0-71ae27c9f213eb31192aa8cc181e1f60)
利用这记号,可以把表示为
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0095_0603.jpg?sign=1734408068-Nb8agVMlg7768RYmaHDvkigdteaLibJ0-0-ca67a308e8e38816599f387ccfa9a6d6)
这样,我们得到
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0095_0604.jpg?sign=1734408068-drsoZkxYYUaoVz62I5dADpSAxrQ99r2U-0-06cb2329a5a49e99821a2303b93faa43)
也就是
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0095_0605.jpg?sign=1734408068-dIcJkZGJoXrML3Wl5yl6nlvt7GyPcMPj-0-31b67e1b8e8b832bf353a89d6e1950ed)
例4 设fj(x1,……,xn),j=1,2,……,n,是数值函数,则有
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0095_0606.jpg?sign=1734408068-Qynibrj61izAHqxdP2IKIDNhRsb9jyWe-0-48ebea36c8a2a731dd031d772386e3e1)
证明 我们有
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0095_0607.jpg?sign=1734408068-EOJpLMCXunRfcykzl0MHg62ZqGGaIoQS-0-c90ff01958966ffa222f3f06e4549c3f)
利用例3,就得到所求的结果.
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0095_0608.jpg?sign=1734408068-mPnLpDHhl8p3Rw6rpBbQhXkD605wM0iE-0-fc6c67fb8d7691c5942cb0c1e5c537a4)
前面已经谈到,任何p次微分形式都可以写成
其中∑号下的圆括弧,表示对满足以下条件的重指标I={i1,……,ip}求和:
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0095_0609.jpg?sign=1734408068-Gqa0ULktBhajf5gT7aiUX2HnOSueQNM8-0-ff38eed5ad994e77a9070866545bd1ab)
在这样的标准表示下,如果各系数a1(x)都在某区域上r阶连续可微,那么我们就说这形式ω在该区域上是r阶连续可微的,简称是Cr的.对于r≥l的情形,我们可以定义一种运算d,这运算作用于一个p次Cr微分形式,产生一个p+1次Cr-1微分形式,运算d由以下条件唯一确定:
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0095_0610.jpg?sign=1734408068-Xetegy4rvtuMhrbBZQRscuz2TC3IGEwI-0-558c9256ddfab1439f7cda667303d7d3)
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0096_0611.jpg?sign=1734408068-vZEjuM85CzBMAWqcWImb710OQdOijRQp-0-a05a4e9822084642a51a75b86da3a836)
(这里设ω是p次形式);
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0096_0612.jpg?sign=1734408068-p0z3ulol5m6Kmi5W9N0xJ1688xybHtgS-0-467e0420ca3a7ab6f0e69a98c52fb4bf)
(d4)如果f是0次Cr形式(即r阶连续可微函数),那么df就是函数f的微分.
我们来说明这样的运算d是完全确定的.由于条件(d1),我们可以只考查d对“单项形式”的作用,不妨设ω具有这样的形状:
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0096_0613.jpg?sign=1734408068-l8lwMNhi0qvDuHW8TRw661kr77395vUs-0-a6ee97b72621a7c7605a9df636539a41)
利用条件(d2),我们得到
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0096_0614.jpg?sign=1734408068-961JMsIAiESo4FqiChOWZSfFEUQRRZeY-0-7ce5f31359d5aff7958a2e20b0c94a66)
利用条件(d3)(并利用(d2)),通过归纳法可以证明
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0096_0615.jpg?sign=1734408068-YrbGLKAqC82CuVJhmkh9dYZhVAVrqHA6-0-7bdfa1ff34fdcdf855f9b1d35855901e)
这样,我们得到
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0096_0616.jpg?sign=1734408068-4IhoIwIxfnNFtRQDFmkOM6G6x0MJWdVM-0-a1255141b9dcb56e57bb0881830faff2)
根据(d4),我们得知
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0096_0617.jpg?sign=1734408068-z3RybmyDikhmpCKaLObxrG8dwWgAItLU-0-c9fcf17910b0debc4b8621a6a7a18c19)
于是
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0096_0618.jpg?sign=1734408068-ucTSWRAxgONo1hKfgkXIUNDS6fJf8KtT-0-52c934d997e6ed585550f86559fc464e)
我们把由性质(d1)—(d4)所决定的运算d叫做外导数或者外微分.根据上面的讨论,对于
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0096_0619.jpg?sign=1734408068-rTSKGKR5gGMsJLIVxb2fLgxHeGFKb3Gx-0-8ce1911d61173110f7104a5ceff1d997)
应有
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0096_0620.jpg?sign=1734408068-hJa3JcWLJ338o0nWBhHXucxiYlQ6EhcI-0-542283f6030db036f71506ff56b0a601)
下面,我们再来考查R2和R3中的微分形式,并给格林公式,局斯公式和斯托克斯公式以新的表述.
在格林公式中,曲线积分的被积表达式是R2中的微分形式
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0097_0621.jpg?sign=1734408068-GVCxZ7ra5MFexKbqb1HygsKuHtG4xQqS-0-38d0d3bde3ba5280014153555ef8791e)
计算这形式的外微分得
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0097_0622.jpg?sign=1734408068-H8gEfgvQHTFVdTfug6G6LMCyk6Xzy0TC-0-43023ac1acbbb1e3a1658e98fe29f1a3)
于是,格林公式可以写成
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0097_0623.jpg?sign=1734408068-bLFHUozrQo65ZYgpvLxFfqELEykkbLnC-0-ef75f2aa0f54e7500e3c7ca87254badd)
——这里的D是满足一定条件的平面区域,而∂D是它的边界曲线.
在高斯公式中,曲面积分的被积表达式是2次微分形式
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0097_0624.jpg?sign=1734408068-KmtdMFHEOkyXRRY2BuBc8wObzCIFG2iw-0-96a31b78987ac12654b406421edc26ce)
计算这形式的外微分得
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0097_0625.jpg?sign=1734408068-dZI1jEzVrmIqYwBMBf10Nlpf0x9yxze3-0-757d693e7e1d8a1865b7d25b0e3e2596)
于是,高斯公式可以写成
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0097_0626.jpg?sign=1734408068-hc54Q3biy3rtMXHI55RYhuNySFW7x2eh-0-2bfd7999a50f7c3dca80c0ad126b9e41)
——这里的D是满足一定条件的空间区域,而∂D是D的边界曲面.
在斯托克斯公式中,曲线积分的被积表达式是
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0097_0627.jpg?sign=1734408068-7FDvFfyFq41wCtOinZ7UKCUUMrJP0VcA-0-2673b3d9e63a989322ed12c92451067f)
计算这形式的外微分得
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0098_0628.jpg?sign=1734408068-nSEZrTuY0Ae5do4CzBvEP8QQ6VCTjzMd-0-3672f47aafa9a32cab547e2533c66d9b)
于是,斯托克斯公式可以写成
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0098_0629.jpg?sign=1734408068-66cEtql27Yd6U7KF6tkYGrJRCk30RSeU-0-e4c06fec0290bfc1a8853821197ef51e)
——这里的D是满足一定条件的可定向曲面块,而∂D是D的边界曲线.
我们看到,采用微分形式记号,格林公式,髙斯公式和斯托克斯公式可以统一地表示为(不论维数如何,都只写一重积分号):
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0098_0630.jpg?sign=1734408068-GYA0DeiTSmrE57yhbrgZFE78czmEnSgj-0-ba49781dd4fc74ae9c53ba72c39afd67)
这里D是适当的区域或适当的曲面块,∂D是D的边界.人们把这样的一些公式统称为“斯托克斯型公式所有这些公式,都把展布于一定几何形的积分,与沿这几何形的边界的积分联系起来.其实,可以归入这一类型公式的还有牛顿-莱布尼兹公式:
![](https://epubservercos.yuewen.com/F2E018/15279417505131406/epubprivate/OEBPS/Images/figure1_0098_0631.jpg?sign=1734408068-rQjtEGgFnNwg7bTEbJ55Si4DFkcqNj2t-0-da5308c869eef7826d2bf925d424832b)
——这公式的左端是沿闭区间I=[a, b]的积分,右端的表示式可以解释为沿I的边界∂I的“积分”.
所有的斯托克斯型公式都可以看作牛顿-莱布尼兹公式的推广.事实上,这些公式证明中的关键步骤,都用到了牛顿-莱布尼兹公式.人们把牛顿-莱布尼兹公式叫做“微积分的基本定理”,这是很有道理的.