§3　曲面的第一与第二基本形式

在本节中，我们考查曲面上曲线的弧长与曲率，从而引出第一基本形式与第二基本形式.

设曲面的参数方程为

为了讨论方便，我们假定r（u，υ）连续可微足够多次并且满足正则条件：

在这条件下，曲面在每一点有确定的法线（因而有确定的切平面）.我们约定用记号表示曲面在给定点的单位法向量：

3.a曲面上曲线的弧长与曲面的第一基本形式

我们来考查曲面（3.1）上的一条连续可微曲线

这里假设u（t）和都在区间J上连续可微.将（3.3）式对t求导得

曲线（3.3）的弧长微元可以表示为

因而

这里

我们约定记

于是，曲面（3.1）上的曲线的弧长，可按下式计算：

我们把微分du和dυ；的二次型

叫做曲面的第一基本形式.曲面上曲线的弧长取决于这曲面的第一基本形式.在下一章中我们还将看到，曲面块的面积也取决于这曲面的第一基本形式.因此我们说：第一基本形式决定了曲面的度量性质.

3.b曲面上曲线的曲率与曲面的第二基本形式

考查曲面上曲线的自然参数方程

为了讨论方便，我们假设u（s）和υ（s）至少是二阶连续可微的.对（3.4）式求导得

因为

所以

这里

我们把关于du和dυ的二次型

叫做曲面的第二基本形式.利用第一和第二基本形式的记号，可以把上面求得的式子写成

如果把n与之间的夹角记为θ，那么

其中的是曲线（3.4）的曲率.于是上面所得的式子（3.5）又

可写成

我们把

叫做曲面在给定点沿方向（d u, dυ；）（或者说沿方向ru du+rvdv的法曲率.上面的（3.6）式又可写成

在曲面的给定点，通过曲面法线的任何一张平面都被称为法面.法面截曲面所得到的曲线被称为法截线.请读者注意，每一个切方向

与曲面的法线共同决定一张法面，从而也共同决定一条法截线.容易看出：法截线的主法线向量在曲面过该点的法线上，因而有

由（3.7）式可知，法截线在给定点的曲率为

换句话说，在曲面的给定点，沿任意给定的切方向，法曲率的绝对值|kn|就是法截线的曲率，有了第一与第二基本形式，就能计算沿任何方向的法曲率，从而也就能够了解曲面在给定点沿任何方向的弯曲程度.法曲率的倒数

被称为法曲率半径.（3.7）式又可以写成

为了给（3.8）式一个直观的几何解释，我们设法把曲率半径看成向量：在曲线的非平直点，约定把向量

看作曲线在这点的曲率半径.这样，曲率半径越短意味着曲线在这点弯曲得越厉害.类似地，在曲面r=r（u，υ）的给定点，我们约定把向量

看作曲面在这点（沿给定切方向）的法曲率半径.请注意，看作向量的法曲率半径与相应的法截线的曲率半径相等.在作了上面这些约定之后，我们可以把（3.8）式解释为：

定理　在曲面上，过给定点并且具有共同切方向的所有曲线当中，法截线的曲率半径最长，其他曲线的曲率半径等于法曲率半径在该曲线的密切平面上的投影（请参看图14-3）.

这一结果被称为默尼埃（Meusnier）定理.

在结束这一章的时候，为了以后讨论的需要，我们来解释多元函数在闭集上的可微性.

为了讨论多元函数f在点X0的可微性，首先应要求这函数在该点的某个邻域内有定义.设函数f在闭集F上有定义.如果能将函数f的定义扩充到某个包含了F的开集G上，并且扩充后的函数是可微的（或连续可微的），那么我们就说函数f在闭集F上是可微的（或连续可微的）.

这样，以后的讨论中所出现的，定义于闭区域上的连续可微的参数曲面，就有了明确的含义.