§4 向量的外积
从力学中知道，作用在点A上的力F关于支点O（如图1.20）的力矩M的大小为
力矩M的方向为：让右手四指从→—OA弯向F（转角小于π），则拇指的指向即M的方向.本节我们来研究类似于由→—OA和F求力矩M这样的向量运算.
图1.20
4.1 向量的外积的定义
定义4.1 两个向量a与b的外积（记作a×b）仍是一个向量，它的长度规定为
|a×b|：=|a||b|sin〈a,b〉，（4.1）
且当|a×b|≠0时，它的方向规定为：与a,b均垂直，并且使（a,b，a×b）成右手系，即当右手四指从a弯向b（转角小于π）时，拇指的指向就是a×b的方向.
如果a,b中有一个为0，则a×b=0.
由定义立即看出，a×b=0的充分必要条件是a与b共线.因此要特别注意：若a×b=0，不能断定a,b中必有一个为0.这是与数的乘法很不一样的地方.
4.2 向量的外积的几何意义，平面的定向
外积的几何意义：当a与b不共线时，从（4.1）式看出，|a×b|表示以a,b为邻边的平行四边形的面积.为了说明a×b的方向的几何意义，我们需要先给出所谓的平面的定向的概念.
平面的定向，就是平面上的旋转方向.在平面几何中，常用“逆时针方向”与“顺时针方向”来描述平面上的两个旋转方向.对于放在三维空间中的平面，这种说法不足以描述平面上的旋转方向：从这一侧看来是逆时针的旋转方向，从另一侧看就成了顺时针的.因此通常用另一种方法来描述.
给了平面π0上的一对不共线向量，如果规定了它们的先后顺序，则从第一个向量到第二个向量的转角小于π的旋转方向就称为平面π0的一个定向.譬如，设a0，b0不共线，如果规定先a0后b0的顺序，则从a0到b0的转角小于π的旋转方向是平面π0的一个定向，如图1.21所示.但是，如果规定先b0后a0的顺序，则从b0到a0的转角小于π的旋转方向是平面π0的另一个定向，它与前述定向相反，如图1.22所示.
图1.21
图1.22
平面的两个定向，也可以用平面的两侧来代表：如果右手四指沿平面上取定的旋转方向弯曲，拇指必指向平面的一侧.这样，平面的两个定向就对应于平面的两侧，而平面的两侧又可用垂直于该平面的两个方向（或单位向量）来刻画，因此通常也用垂直于平面的方向来表示平面的定向：设e1是与平面π0垂直的单位向量，如果右手四指从a0弯向b0（转角小于π）时拇指的指向为e1的方向，则e1表示的平面π0的定向就是由a0到b0的旋转方向（转角小于π），见图1.21.设单位向量e2与e1方向相反，则e2表示的平面π0的定向就是由b0到a0的旋转方向，见图1.22.
现在来看外积a×b的方向的几何意义.a×b的方向给出了以a,b为邻边的平行四边形的边界的一个环行方向，即让右手的拇指指向a×b的方向，右手其余四指的弯向（转角小于π）就是以a,b为邻边的平行四边形的边界环行方向.对于一个平行四边形，如果给它的边界指定了一个环行方向，则称它是定向平行四边形.因此，a×b的方向的几何意义就是它给以a,b为邻边的平行四边形确定了一个定向.
假定我们已经用单位向量e规定了平面π0的定向，见图1.23.对于平面π0上的定向平行四边形，可以给它的面积一个正负号：如果它的定向与π0的定向一致，则规定它的面积为正的；如果不一致，则规定它的面积为负的.这叫做定向平行四边形的定向面积.以a,b为邻边并且定向为a×b的平行四边形的定向面积用（a,b）表示.于是，当a×b与e同向时，（a,b）＞0；当a×b与e反向时，（a,b）＜0.又由于|a×b|=|（a,b）|，因此
a×b=（a,b）e.（4.2）
图1.23
4.3 向量的外积的运算规律
命题4.1 若a≠0，则a×b=a×b2，其中b2是b沿方向a下的外射影.
证明 设b=b1+b2，其中b1与a共线，b2⊥a.若a与b不共线，则由直角三角形的解法知
|b2|=|b|sin〈a,b〉，
于是
|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉=|a||b2|=|a×b2|.
图1.24
由图1.24易看出，a×b与a×b2的方向相同，
所以
a×b=a×b2.
若a与b共线，则b2=0，从而
a×b=0=a×b2.
命题4.2 设e是单位向量，b⊥e，则e×b等于b按右手螺旋
规律绕e旋转90°得到的向量b′.
证明 因为|e×b|=|e||b|sin〈e,b〉=|b|=|b′|，又由图1.25看出，e×b与b′同向，所以e×b=b′.
图1.25
图1.26
推论4.1 若[O；e1，e2，e3]为右手直角坐标系（如图1.26），则有
e1×e2=e3，e2×e3=e1，e3×e1=e2.
定理4.1 外积适合下列运算规律：对于任意向量a,b，c和任意实数λ，有
（1）a×b=-b×a（反交换律）；
（2）（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（3）a×（b+c）=a×b+a×c（左分配律）；
（b+c）×a=b×a+c×a（右分配律）.
证明（1）由定义4.1立即得到.
当λ＞0时，λa与a同向，所以λa×b与λ（a×b）同向；当λ＜0时，λa×b与a×b反向，λ（a×b）与a×b反向，从而λa×b与λ（a×b）同向.因此有
λa×b=λ（a×b）.
a×（λb）=-[（λb）×a]=（-1）[λ（b×a）]
=（-λ）（b×a）=（-λ）（-a×b）
=（-λ）[（-1）（a×b）]=λ（a×b）.
（3）先证左分配律.若a=0，则结论显然成立.下设a≠0.因为
所以只要考虑a0×（b+c）.设b=b1+b2，其中b1与a【共线，a0⊥b2；设c=c1+c2，其中c1与a0共线，a0⊥c2.于是
b+c=（b1+c1）+（b2+c2）.
根据命题3.1的证明过程，得（b1+c1）与a0共线，（b2+c2）⊥a0，于是由命题4.1得
a0×（b+c）=a0×（b2+c2）.
再由命题4.2知，a0×（b2+c2）等于（b2+c2）绕a0右旋90°得到的向量d′.同理，a0×b=a0×b2是将b2绕a0右旋90°得到的向量b′2，a0×c=a0×c2是将c2绕a0右旋90°得到的向量c′2（如图1.27）.因为b2，c2，b2+c2可连成一个三角形，所以由它们绕a0右旋90°得到的向量b′2，c′2，d′2也一定可以连成一个三角形.于是d′=b′2+c′2，即
a0×（b2+c2）=a0×b2+a0×c2，
从而得
图1.27
再证右分配律：
（b+c）×a=-a×（b+c）=-（a×b+a×c）
=（-1）（a×b+a×c）
=（-1）（a×b）+（-1）（a×c）
=-a×b+（-a×c）
=b×a+c×a.
4.4 用坐标计算向量的外积
先取一个仿射标架[O；d1，d2，d3]，设向量a,b的坐标分别是（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，则
由此可见，只要知道基向量之间的外积，就可求出a×b.
现在设[O；e1，e2，e3]是右手直角标架，根据推论4.1，由（4.3）式得到
于是我们有
定理4.2 设a,b在右手直角坐标系中的坐标分别为
（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，
则a×b的坐标为
从而
由外积的几何意义知，（4.6）式也是以a,b为邻边的平行四边形的面积公式.
注（4.4）式，（4.5）式和（4.6）式只在右手直角坐标系中才成立.作为一种记忆方式，（4.4）式可以形式地写成
4.5 二重外积
向量的外积是否满足结合律？首先让我们来探索a×（b×c）等于什么？设b,c不共线，从外积的定义知，b×c垂直于由b,c确定的一个平面π.又由于a×（b×c）与b×c垂直，因此a×（b×c）在平面π内，从而a×（b×c）=k1b+k2c，其中k1，k2待定.
命题4.3 对任意向量a,b，c，有
a×（b×c）=（a·c）b-（a·b）c.（4.8）
（4.8）式称为二重外积公式.
证明 取一个右手直角坐标系，设
a（a1，a2，a3）T，b（b1，b2，b3）T，c（c1，c2，c3）T.
设b×c的坐标为（d1，d2，d3）T,a×（b×c）的坐标为（h1，h2，h3）T，由（4.5）式得
同理可得
h2=（a·c）b2-（a·b）c2，h3=（a·c）b3-（a·b）c3.
所以
a×（b×c）=（a·c）b-（a·b）c.
由公式（4.8）和外积的反交换律可得到
（a×b）×c=-c×（a×b）=-（c·b）a+（c·a）b，
从而在一般情况下，a×（b×c）≠（a×b）×c，即向量的外积不适合结合律.
请读者证明下述的雅可比（Jacobi）等式：
a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0.（4.9）
习题 1.4
1.证明：|a×b|2=|a|2|b|2-（a·b）2.
2.证明：若a×b=c×d,a×c=b×d，则a-d与b-c共线.
3.在右手直角坐标系中，设a,b的坐标分别是
（5，-2，1）T，（4，0，6）T，
求a×b和以a,b为邻边的平行四边形的面积.
4.在右手直角坐标系中，设a,b，c的坐标分别是
（1，0，-1）T，（1，-2，0）T，（-1，2，1）T，
求（3a+b-c）×（a-b+c）.
5.证明（a-b）×（a+b）=2（a×b），并且说明它的几何意义.
6.证明：若a+b+c=0，则a×b=b×c=c×a.并且说明其几何意义.
7.证明：三角形的重心与三个顶点的连线分原三角形成三个等积的三角形.
8.在平面右手直角坐标系[O；e1，e2]中，设△ABC的三个顶点A,B，C的坐标分别为
（x1，y1）T，（x2，y2）T，（x3，y3）T，
证明△ABC的面积为
并且说明正负号的几何意义.
9.下述推断是否正确？
若c×a=c×b，并且c≠0，则a=b.
10.设x与x×y共线，试讨论x与y的关系.
11.就下列各种情形，讨论x与y的关系，其中a≠0，且a,x，
y都是以定点O为起点的定位向量：
（1）a·x=a·y；
（2）a×x=a×y；
（3）a·x=a·y，且a×x=a×y.
12.设a≠0，→—OP=x，求满足方程a×x=b的点P的轨迹，其中所有向量都是以定点O为起点的定位向量.*
13.设a,b，c都不是0，x·a=h≠0，x×b=c，求x（讨论各种情况），其中所有向量都是以定点O为起点的定位向量.*
14.（1）已知|e|=1，e⊥r，将r绕e右旋角度θ得r1，试用e,r，θ表示r1；
（2）给定三点O,A，P,O≠A，将P绕
右旋角度θ得到P1，试用
表