§1　仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置

1.1　平面的参数方程和普通方程

读者已经知道，确定一个平面的条件是：不在一直线上的三点；或者一条直线和此直线外的一点；或者两条相交直线；或者两条平行直线.为了便于用向量法，我们采用“一个点和两个不共线的向量确定一个平面”作为讨论的出发点.

取定仿射标架[O；d1，d2，d3].已知一个点M0（x0，y0，z0）T，向量υ1（X1，Y1，Z1）T和υ2（X2，Y2，Z2）T，其中v1与v2不共线，我们来求由点M0和v1，υ2确定的平面π的方程.

点M（x,y，z）T在平面π上的充分必要条件是v1，v2共面（如图2.1）.因为υ1与υ2不共线，所以v1，υ2共面的充分必要条件是，存在唯一的一对实数λ，μ，使得

上式用坐标写出即得

（1.1）式称为平面π的参数方程，其中λ，μ称为参数，它们可取任意实数.

又有v1，υ2共面的充分必要条件是

即

Ax+By+Cz+D=0，（1.3）

其中

（1.3）式称为平面π的普通方程.由于υ1与υ2不共线，根据第一章的命题2.3知，A,B，C不全为零，因此平面π的方程（1.3）是三元一次方程.

定理1.1　在几何空间中取定一个仿射坐标系，则平面的方程必定是三元一次方程；反之，任意一个三元一次方程表示一个平面.

证明　定理的前半部分已经在前面说明.现在看后半部分.任给一个三元一次方程

不妨设A1≠0.取点T

，并取向量

显然μ1与μ2不共线.由点M1和μ1，μ2决定的平面π1的方程为

即A1x+B1y+C1z+D1=0.

这说明方程（1.4）表示一个平面π1.

我们来看平面π的方程（1.3）中系数的几何意义.

定理1.2　设平面π的方程是（1.3），则向量ω（r,s，t）T平行于平面π或在π上的充分必要条件是

Ar+Bs+Ct=0.（1.5）

证明　不妨设A≠0.由定理1.1的证明过程知道，平面π是与由点和向量T

决定的平面一致的.ω平行于平面π或在π上的充分必要条件是ω，μ1，μ共面，即2

亦即

Ar+Bs+Ct=0.

因为平面π的方程（1.3）中A,B，C不全为零，譬如说A≠0，则从（1.5）式可解得，于是它们均平行于平面π或在π上，且根据第一章的命题2.3知，它们不共线.根据高中立体几何的两个平面平行的判定定理“如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”得，凡是与ω1，ω2平行的平面，它们彼此平行或重合.而一族平行或重合的平面在几何空间中有相同的方向.因此平面方程中一次项的系数决定了这个平面的方向.

推论1.1　设平面π的方程是（1.3），则平面π平行于或经过x轴（y轴或z轴）的充分必要条件是A=0（B=0或C=0）；平面π通过原点的充分必要条件是D=0.

证明　因为d1的坐标是（1，0，0）T，所以d1平行于平面π或在π上的充分必要条件是

A·1+B·0+C·0=0，

即A=0.关于d2或d3平行于平面π或在π上的情形可类似讨论.

原点O（0，0，0）T在平面π上的充分必要条件是D=0.

例1.1　画出平面x+2y-z=0.

解　因为D=0，所以此平面过原点.解方程

r+2s-t=0，

求得两个不共线的向量ω1（2，-1，0）T，ω2（1，0，1）T.以原点为起点画出ω1，ω2.所求平面就是由原点和ω1，ω2决定的平面（如图2.2）.

如果平面的方程Ax+By+Cz+D=0满足ABCD≠0，则此平面与三根坐标轴均相交，且交点不是原点，因此这三个交点不共线.把它们画出来，它们决定的平面就是所求平面.如果平面的方程中B=0，A≠0，C≠0，D≠0，则此平面与y轴平行，与x轴和z轴均相交，且交点不是原点.把这两个交点画出来，再分别过它们画与y轴平行的直线，由此即得所求平面.其余情况如何画平面，请读者思考.

1.2　两平面的相关位置

两平面的相关位置有三种可能情形：（1）相交于一直线；（2）平行；（3）重合.如何从两平面的方程判断它们属于何种情形？

定理1.3　取定一个仿射标架，设平面π1和π2的方程分别是

则

（1）π1与π2相交的充分必要条件是它们方程中的一次项系数不成比例；

（2）π1与π2平行的充分必要条件是它们方程中的一次项系数成比例，但常数项不与这些系数成比例；

（3）π1与π2重合的充分必要条件是它们方程中所有系数成比例.

证明　由于平面方程的一次项系数决定了这个平面的方向，而一族平行或重合的平面在几何空间中有相同的方向，因此

平面π1与π2平行或重合

⇔（A2，B2，C2）T=k（A1，B1，C1）T，对于某个非零实数k，

从而

平面π1与π2相交

⇔（A2，B2，C2）T≠k（A1，B1，C1）T，∀k∈R.

1.3　三平面恰交于一点的条件

命题1.1　设三个平面在仿射坐标系中的方程分别为

则这三个平面恰交于一点的充分必要条件是

证明　上述三个平面恰交于一点的充分必要条件是方程组（1.7）有唯一解，从而它的系数行列式不等于零.

1.4　有轴平面束

几何空间中经过同一条直线的所有平面组成的集合称为有轴平面束，那条直线称为平面束的轴.

在仿射坐标系中，设相交于直线l的两个平面π1和π2的方程分别为

A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0.

经过直线l的平面的方程是什么样子的呢？

设平面π是经过直线l的任意一个平面.在π上取一个点P0（x0，y0，z0）T，P0不在直线l上，则，从而A1x0+B1y0+C1z0+D1≠0或A2x0+B2y0+C2z0+D2≠0.记1），λ=A2x0+B2y0+C2z0+D2，μ=-（A1x0+B1y0+C1z0+D则λ，μ不全为零.易证方程λ（A1x+B1y+C1z+D1）+μ（A2x+B2y+C2z+D2）=0（1.9）是三元一次方程，从而它表示一个平面.把P0的坐标代入方程（1.9）的左端得λ（-μ）+μλ=0，因此点P0在方程（1.9）表示的平面上.直线l上任一点的坐标适合π1的方程和π2的方程，从而适合方程（1.9）.因此方程（1.9）表示的平面经过直线l.由于直线l和不在l上的一点P0确定一个平面，因此方程（1.9）表示的平面就是平面π.这证明了以相交平面π1和π2的交线l为轴的有轴平面束中任一平面的方程形如（1.9）式，其中λ，μ不全为零.

反之，设有一个方程形如（1.9）式，其中λ，μ不全为零，则方程（1.9）表示一个平面π3.直线l上任一点的坐标适合π1的方程和π2的方程，从而适合方程（1.9）.因此平面π3经过直线l，从而π3属于以l为轴的有轴平面束.

综上所述，我们证明了

定理1.4　在仿射坐标系中，设相交于直线l的两个平面π1和π2的方程分别为

A1x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，

则一个图形属于以l为轴的有轴平面束当且仅当这个图形的方程形如

λ（A1x+B1y+C1z+D1）+μ（A2x+B2y+C2z+D2）=0，

其中λ，μ是不全为零的实数.

习题　2.1

1.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程：

（1）经过点（-1，2，0）T，（-2，-1，4）T，（3，1，-5）T；

（2）经过点（1，0，-2）T和（-1，3，2）T，平行于υ（1，-2，4）T；

（3）经过点（3，1，-2）T和z轴；

（4）经过点（2，0，-1）T和（-1，3，4）T，平行于y轴；

（5）经过点（-1，-5，4）T，平行于平面3x-2y+5=0.

2.在给定的仿射坐标系中，画出下列平面：

（1）2x+3y+z-6=0；

（2）4x+3z+2=0；

（3）3x-y+4z=0；

（4）3y+2=0.

3.证明：经过不共线三点（xi，yi，zi）T（i=1，2，3）的平面的方程为

4.在给定的仿射坐标系中，设平面π的方程为

其中abc≠0，说明a,b，c的几何意义.

5.坐标满足方程

（ax+by+cz+d）2-（αx+βy+γz+δ）2=0

的点的轨迹是什么？

6.判断下列各对平面的相关位置：

7.在给定的仿射坐标系中，证明：通过点（x0，y0，z0）T且与平面Ax+By+Cz+D=0平行的平面的方程为

A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0.

8.下述三个平面是否恰交于一点？

2x+3y-z+1=0，x-2y+5z-3=0，

2x+y+z+5=0.

9.证明：分别由方程

ax+by+cz+d=0，αx+βy+γz+δ=0，

λ（ax+by+cz）+μ（αx+βy+γz）+k=0

给出的三个平面，当k≠λd+μδ时，没有公共点.

10.求经过点M0（1，-2，0）T且经过两平面2x-y+z-3=0与x+2y-z+1=0的交线的平面方程.

11.设平面π：Ax+By+Cz+D=0与连接两点M1（x1，y1，z1）T和

M2（x2，y2，z2）T的线段相交于点M，且证明：

12.设有三个平行平面

πi：Aix+Biy+Ciz+Di=0，i=1，2，3，

一直线l与π1，π2，π3分别交于点P,Q，R，求点Q分有向线段的比值.