第三版前言

本书这次修订主要是加强和突出了以下几个方面：

1.强调以研究几何空间的线性结构和度量结构以及图形的性质、分类为主线.

几何空间既可以看做所有点构成的集合，又可以看做以定点O为起点的所有定位向量构成的集合（或者空间中所有向量构成的集合，此时方向相同且长度相等的向量称为相等的向量）.由于向量有加法（三角形法则）和数量乘法两种运算，并且满足8条运算法则，因此几何空间中只要取定了三个不共面的向量d，d2，d3，那么每一个向量c可以表示成d，d2，d3的线性组合，并且表示方式唯一.这就给出了几何空间的线性结构，即每一个向量c可以表示成，且表示法唯一.d1，d2，d3称为一个基，有序数组（k1，k2，k3）T（右上角加“T”表示写成一列）称为向量c在基d1，d2，d3下的坐标.在几何空间中取定一个点O，则[O；d，d2，d3]称为一个仿射坐标系.向在d，d2，d3下的坐标称为点P在这个仿射坐标系中的坐标.向的坐标等于终点Q的坐标减去起点P的坐标.这样在仿射坐标系[O；d1，d2，d2]中，点和向量都有了坐标.如果e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，那么[O；e1，e2，e3]称为直角坐标系.几何空间的线性结构好比构筑了一个多功能的舞台，从而在这舞台上可以演出绚丽多彩的“几何戏剧”.

为了解决几何空间中有关长度、角度、垂直、面积、体积等的度量问题，除了需要有几何空间的线性结构外，还需要有几何空间的度量结构.向量的内积的定义中包含了长度、角度的概念.从内积的定义立即得出向量的内积具有对称性和正定性.为了使内积能真正用来解决有关长度、角度和垂直等的度量问题，需要内积与几何空间的线性结构相容，即要求内积具有线性性：

（a+c）·b=a·b+c·b，（λa）·b=λ（a·b）.

为了证明向量的内积的确具有线性性，我们的方法如下：从内积的定义受到启发，我们引出了在轴l（其单位方向向量为e）上的正投影的概念.过轴l上的原点O作与l垂直的平面π，在平面π上取两个互相垂直的单位向量e2，e3，于是[O；e,e2，e3]成为一个直角坐标

系，从而几何空间中任给的一个向量a可以唯一表示成a=μ1e+μ2e2+μ3e3.记a1=μ1e,a2=μ2e2+μ3e3，则a1与e共线，a2与e垂直，且a=a1+a2.我们把几何空间中每一个向量a对应到a1（它与e共线）的映射称为在轴l上的正投影，记作Pe；并且把a1称为a在方向e上的内射影，把a2（它与e垂直）称为a沿方向e下的外射影.利用几何空间的线性结构，容易证明Pe保持加法运算和数量乘法运算，即

由于a在方向e上的内射影a1与e共线，因此存在唯一的实数μ1，使得a=μe.我们把μ1称为a在方向e上的分量，记作Πe（a）.直接计算可得Πe（a）=|a|cos〈a,e〉.由于Pe（a）=a1=μ1e=Πe（a）e，因此从Pe保持加法和数量乘法运算可以推出

又从向量的内积的定义和分量的计算公式立即得到

其中b0是与b同向的单位向量.于是由分量的上述性质立即推出内积具有线性性.有了内积的线性性，我们就有了在直角坐标系（或仿射坐标系）中计算两个向量的内积a·b的公式，从而可以利用向量的内积解决有关长度、角度和垂直的度量问题.

向量的外积可以用于解决有关面积的度量问题.这是因为，在外积的定义中，a与b的外积a×b的长度规定为|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉，于是当a与b不共线时，a×b的长度表示以a,b为邻边的平行四边形的面积.从外积的定义立即得到a×b=-b×a，即外积满足反交换律.为了使外积能真正用来解决面积等度量问题，需要外积与几何空间的线性结构相容.要求外积与向量的加法运算相容，即要有左、右分配律：

a×（b+c）=a×b+a×c，（b+c）×a=b×a+c×a；

要求外积与向量的数量乘法相容，即

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）.

后者利用外积的定义和向量的数量乘法的定义容易证明.关于左分配律的证明需要利用a×b=a×b2，其中b2是b沿方向a的外射影，并且利用“单位向量e与跟它垂直的向量b的外积e×b等于在按右手螺旋法则绕e旋转90°下b的像b′”.有了外积与线性结构相容，我们就可以得到在右手直角坐标系（或仿射坐标系）中计算两个向量的外积a×b的公式，从而可以利用外积来解决面积等度量问题.

向量的混合积可以用于解决有关体积的度量问题.这是因为以a,b，c为棱的平行六面体的体积等于a×b·c.由此立即得到，三个向量a,b，c共面的充分必要条件是a×b·c=0.取一个仿射坐标系[O；d1，d2，d3]，分别利用外积和内积的计算公式可得，a×b·c等于以a,b，c的坐标为列的行列式乘以d1×d2·d3.由于d1，d2，d3不共面，因此d1×d2·d3≠0，从而得到：三个向量a,b，c共面的充分必要条件是以它们的坐标为列的行列式等于0.这个结论在建立平面的方程中起了关键作用.

有了几何空间的线性结构和度量结构，就可以畅通无阻地建立平面的方程和直线的方程，以及研究平面、直线的位置关系和度量关系，进而建立旋转面、柱面、锥面的方程，研究它们的性质，以及利用二次曲面的标准方程研究它们的性质.

2.既加强几何直观，又使解析几何与高等代数水乳交融，论证严谨而简明.

平面上的二次曲线有多少种类型？如何从二次曲线S的方程辨认它是哪一种类型？容易想到的办法是：先作转轴，使得二次曲线S的新方程中不出现交叉项；然后对新方程配方，作移轴，使得S的方程变得简单，易于辨认S是什么样的二次曲线.设二次曲线S在直角坐标系Oxy中的方程为

把其中的二次项部分的系数组成一个对称矩阵A：

把一次项系数的一半组成一个列向量δ=（a1，a2）T，则S的方程（1）可写成

其中δT=（a1，a2）.作转轴

其中T是正交矩阵，且|T|=1，即

二次曲线S在转轴后的直角坐标系Ox*y*中的方程为

于是S的新方程（3）中不出现交叉项（即x*y*项）当且仅当

通常的做法是：选取转角θ，使得S的新方程（3）中交叉项的系数为0.这时cot2θ必须满足一个条件.由此通过解一元二次方程解出

tanθ，再求出cosθ和sinθ，以便确定T.然表示的公式.这个方法的计算量较大，要记忆的公式比较多.我们现在的方法是换一个角度考虑.设T=（η1，η2），则（4）式等价于有一个用tanθ即

由此受到启发，引出了n阶矩阵A的特征值和特征向量的概念：设A是实数域上的n阶矩阵，如果存在一个实数λ0和Rn的一个非零向量γ，使得Aγ=λ0γ，那么称λ0是A的一个特征值，称γ是A的属于特征值λ0的一个特征向量.于是S在转轴后的方程（3）不出现交叉项当且仅当A有两个特征值λ1，λ2，并且A的属于特征值λ1的特征值向量η1与属于特征值λ2的特征向量η2正交.根据特征值和特征向量的定义可推导出λ0是A的特征值当且仅当λ0是多项式的两个实根，γ是A的属于λ0的特征向量当且仅当γ是齐次线性方程组（λ0 I-A）X=0的一个非零解.我们把多项式称为A的特征多项式.它的判别式Δ一定大于或等于0，等号成立当且仅当a11=a22且a12=0.于是，当a12瓪0时，A的特征多项式有两个不等实根λ1，λ2，它们是A的两个不同的特征值.通过计算可得，此时A的属于λ1的特征向量γ1与属于λ2的特征向量γ2一定正交.令q则η1与η2是A的正交的单位特征向量，从而T=（η1，η2）是正交矩阵.适当选取γi，可使得|T|=1.于是作转轴，则二次曲线S的新方程为

我们用现在这个方法，既突显了二次曲线S在上述转轴后的新方程中平方项的系数恰好是A的特征值，不需要记忆用tanθ表示的公式，而且很明显地表示了求新方程中一次项系数的一半的公式：δTT.这个方法体现了解析几何与高等代数的水乳交融.

3.继续强调用变换的观点研究图形的性质和分类.

平面（作为点集）到自身的一个映射σ，如果使得每一个点P到它的像点P′的指向是给定的一个方向a，并且|PP′|=|a|，那么称这个映射σ是平面沿向量a的平移.在平面上取定一个点O，给定一个角α，平面到自身的一个映射σ，如果使得每一个点P的像点P′满足∠POP′=α，|OP|=|OP′|，那么称σ是平面绕点O转角为α的旋转.在平面上取定一条直线l，平面到自身的一个映射σ，如果使得不在直线l上的每一个点P与其像点P′的连线段PP′被直线l垂直平分，l上每一个点的像点是它自身，那么称σ是平面关于直线l的反射（也称为轴反射）.平移、旋转、轴反射的共同特征是保持平面上任意两点的距离不变.抓住这个共同特征抽象出下述概念：平面（作为点集）到自身的一个映射σ，如果保持任意两点的距离不变，那么称σ是平面上的一个正交（点）变换（或者保距变换）.从这个定义出发，经过逻辑推理，可得出：正交变换把直线映成直线，把线段映成线段，并且保持线段的分比不变；正交变换是可逆变换，并且它的逆变换也是正交变换；正交变换的乘积还是正交变换；正交变换把平行直线映成平行直线；正交变换保持角的大小不变；正交变换诱导了平面（作为向量的集合）到自身的映射，并且保持向量的加法和数量乘法运算；正交变换把直角坐标系Ⅰ映成直角坐标系Ⅱ，并且使得每一个点P的Ⅰ坐标等于它的像点P′的Ⅱ坐标；正交变换或者是平移，或者是旋转，或者是轴反射，或者是它们之间的乘积.从平移、旋转和轴反射保持任意两点的距离不变抽象出正交变换的概念，经过逻辑推理证明了正交变换一定是平移、旋转、轴反射或者它们之间的乘积，这是多么有意思地揭示出了事物的内在规律.

从一张底片洗出二寸照片一张，并且放大洗出六寸照片一张，这两张照片对应线段的比是一个常数3.由此抽象出下述概念：平面（作为点集）到自身的一个映射τ，如果使得对应线段的比为一个非零常数k，那么称τ是一个相似变换，简称为相似，其中k称为相似比.如果有一个相似比为k的相似变换τ，使得一个图形E的像是图形E′，那么称E和E′是相似图形，其中k称为这两个图形的相似比.银幕上的图像是幻灯片上的图像经过放大得到的.由此抽象出下述概念：在平面上取定一个点O，平面到自身的一个映射τ，如果使得每一个点P的像点P′满其中k是一个非零常数，那么称τ是中心为O的位似，其中k称为位似比.易看出，位似比为k的位似变换是相似比为k的相似变换.还可证明：位似是可逆变换，并且它的逆变换也是位似；相似可以分解成一个位似与一个正交变换的乘积，从而相似是可逆变换.相似、位似都是可逆变换，且把共线三点映成共线三点.平面上沿方向e向着直线l的压缩，以及平面上的错切也都是可逆变换，且把共线三点映成共线三点.由此我们抽象出下述概念：平面（作为点集）到自身的映射τ，如果是双射，并且把共线的三点映成共线的三点，那么称τ是平面上的一个仿射变换.从这个定义出发经过逻辑推理得到：仿射变换把不共线的三点映成不共线的三点；仿射变换的逆变换是仿射变换；仿射变换的乘积是仿射变换；仿射变换把平行直线映成平行直线；仿射变换把线段映成线段；仿射变换诱导了平面（作为向量的集合）到自身的一个映射，并且保持向量的加法和数量乘法运算；仿射变换保持线段的分比不变；仿射变换把仿射坐标系Ⅰ变成仿射坐标系Ⅱ，并且每一个点P的Ⅰ坐标等于它的像点P′的Ⅱ坐标，反之也成立；平面上任给两组不共线三点A1，A2，A3和B1，B2，B3，则存在唯一的仿射变换把Ai映成Bi（i=1，2，3）；仿射变换τ在仿射坐标系Ⅰ[O；d1，d2]中的公式为其中系数矩阵是可逆矩阵，其第1列是τ（d1）的Ⅰ坐标，第2列是τ（d2）的Ⅰ坐标，（x0，y0）T是τ（O）的Ⅰ坐标，（x,y）T，（x′，y′）T分别是点P和τ（P）的Ⅰ坐标；反之，如果平面上的一个点变换τ在仿射坐标系Ⅰ[O；d1，d2]中的公式，其系数矩阵为可逆矩阵，那么τ是仿射变换.这样，我们从仿射变换的定义出发，经过逻辑推理揭示出了仿射变换有多少（任给两组不共线的三点都存在唯一的仿射变换把第一组映成第二组），平面上的点变换如果在仿射坐标系中的公式的系数矩阵是可逆矩阵，那么它就是仿射变换.

4.把射影平面的概念从具体的几何模型（把O和扩大的欧氏平面）上升到公理化定义.

在几何空间中取定一点O，过点O的所有直线和所有平面构成的集合称为把O.把O是射影平面具体的几何模型.几何空间作为以定点O为起点的所有定位向量组成的集合V是实数域R上的3维线性空间，过点O的直线是V的1维子空间，过点O的平面是V的2维子空间.我们把V的1维子空间称为点，2维子空间称为线，集合的包含关系作为关联关系，则所有点构成的集合，所有线构成的集合，连同关联关系一起成为一个射影平面，记作PG（2，R）.理由是：PG（2，R）的点集与把O的所有直线组成的集合有一个一一对应，PG（2，R）的线集与把O的所有平面组成的集合有一个一一对应，并且这种对应关系保持关联性，因此PG（2，R）是一个射影平面.利用线性空间的结构，容易证明：在PG（2，R）中，任给两个不同的点，有且只有一条线与它们关联；任给两条不同的线，有且只有一个点与它们关联；存在四个不同的点，其中任意三点都不与一条线关联.由此抽象出射影平面的公理化定义：一个关联结构D=（V,B，I）（其中V是点集，B是线集，I是点与线的关联关系），如果满足：（1）任给两个不同的点恰有一条线与它们关联；（2）任给两条不同的线恰有一个点与它们关联；（3）存在四个不同的点，其中任意三点都不与一条线关联，那么称D是一个射影平面.这样，我们对射影平面的概念揭示出了它的内在本质.

5.用数学的思维方式编写教材.

如何让数学比较不难学？如何把数学学得很好？作者的体会是用数学的思维方式学数学.数学的思维方式是一个全过程：观察客观现象，抓住主要特征抽象出概念；提出要研究的问题.运用“解剖麻雀”、直觉、归纳、类比、联想、逻辑推理等进行探索；猜测可能有的规律，而这个猜测是真是假要进行论证，数学的论证方法是只运用定义、公理和已经证明了的定理进行逻辑推理；揭示出事物的内在规律.

在本次修订中，我们用数学的思维方式编写教材，让读者比较容易地学习解析几何，而且学得好.

6.这次修订对每一节的所有习题都给出了答案或提示.

本教材获得2014年度北京大学教材建设立项，特此向北京大学教材建设委员会表示感谢！

作者感谢使用《解析几何（第二版）》作为教材的老师以及读者对第二版提出的宝贵修改建议.

作者感谢本书第一、二版的责任编辑王明舟和第三版的责任编辑曾琬婷，他们对本书的出版付出了辛勤的劳动.

真诚欢迎广大读者对本书提出宝贵意见.

丘维声

北京大学数学科学学院

2014年9月