第2章 计算机基础知识
2.1 计算机中的数制与编码
数据是计算机处理的对象。在计算机内部，各种信息都必须经过数字化编码后才能被传送、存储和处理，而在计算机中采用什么数制，如何表示数的正负和大小，是学习计算机首先遇到的一个重要问题。二进制并不符合人们的使用习惯，但是计算机内部却采用二进制表示信息，其主要原因有以下4点。
1. 电路简单：计算机是由逻辑电路组成的，逻辑电路通常只有两个状态。例如，开关的接通与断开，电压电平的高与低等。这两种状态正好用二进制的0和1来表示。若采用十进制，则要求处理10种电路状态，这相对于两种状态的电路来说，是很复杂的。
2. 工作可靠：两种状态代表两种数据信息，数字传输和处理不容易出错，因而电路更加可靠。
3. 简化运算：二进制运算法则简单。
4. 逻辑性强：计算机工作原理是建立在逻辑运算基础上的，逻辑代数是逻辑运算的理论依据。二进制只有两个数码，正好代表逻辑代数中的“真”与“假”。
2.1.1 数制及转换方法
人们最常用的数是十进制数，计算机中为了计算和存储方便，使用二进制数，人们也使用八进制和十六进制数，下面介绍这几种数制及其转换。
1. 几种数制的表示
为了方便起见，使用不同的后缀表示不同的数制。
二进制——后缀B，例如11010011B
八进制——后缀Q，例如7321Q
十进制——后缀D或省略，例如732.15
十六进制——后缀H，例如87FFH
十进制数的基数为10，有十个不同的数字符号：0，1，2，…，9，遵循“逢十进一”原则。一般地，任意一个十进制数N都可以表示为：
上式是十进制按权展开式。式中，10称为十进制数的基数，i表示数的某一位，10i称为该位的权，Ki表示第i位的数码，它可以是0～9中的任意一个数，由具体的数N确定。m和n为正整数，n为小数点左边的位数，m为小数点右边的位数。表达式可以推广到任意进位记数制。
二进制数的基数为2，有两个不同的数字符号：0和1，遵循“逢二进一”原则。一般地，任意一个二进制数N都可以表示为：
八进制数的基数为8，有8个不同的数字符号：0，1，2，…，7，遵循“逢八进一”原则。一般地，任意一个八进制数N都可以表示为：
十六进制数的基数为16，有16个不同的数字符号：0～9，A，B，C，D，E，F，遵循“逢十六进一”原则。一般地，任意一个十六进制数N都可以表示为：对于十六进制，R=16，K为16个数码中的任意一个，逢十六进一。
综上可见，上述几种进位制有以下共同点：
（1）每种进位制都有一个确定的基数R，每一位的系数K有R种可能的取值。
（2）按“逢R进一”方式计数，在混合小数中，小数点左移一位相当于乘以R，右移一位相当于除以R。
2. 数制间的转换
（1）二、八、十六进制数转换为十进制数
二、八、十六进制数转换为十进制数时，该数每位上的数字与其对应的权值乘积之和，便是其对应的十进制值。
例如：
（1110.01）2 =1×23+1×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2 =（4.25）10
（170）8 =1×82+7×81+0×80 =（120）10
（B2F）16 =11×162+2×161+15×160=（2863）10
（2）十进制转换成二、八、十六进制数
十进制数转换成二、八、十六进制数时，需要把整数部分与小数部分分别转换，转换整数部分要用基数去除，转换小数部分要用基数去乘，然后拼接起来。
转换十进制数整数部分的算法如下。
① 用其他数制的基数除十进制数。
② 保存余数（最先得到的余数为最低有效位）。
③ 重复①②，直到商为零。
例如：十进制数124转化二进制数（124）10=（Kn-1…K1K0）2
按权展开为：
（124）10=Kn-1×2n-1+…+K1×21+K0×20
而124÷2的余数正好是0，因此K0=0。将62继续除以2，余数正好是0，因此K1=0。用类似的方法继续除以2，可将Kn-1…K0都确定下来。因而转换结果为：
（124）10=（11111100）2
转换十进制数整数部分的算法如下。
① 用其他数制的基数乘十进制数。
② 保存结果的整数（最先得到的整数为最高有效位）。
③ 重复①②，直到小数为零。
例如：将十进制数0.8125转换为二进制小数。
设：（0.8125）10 =（0.K-1K-2…K-m）2，展开为：（0.8125）10=K-1×2-1+K-2×2-2+…+K-m×2-m
将上式两边同乘以2，得到：
1.625=K-1+K-2×2-1+…+K-m×2-m+1
整数：1=K-1
小数：0.625=K-2×2-1+K-3×2-2+…+K-m×2-m+1
上式继续乘以2，有：
1.25=K-2+K-3×2-1+…+K-m×2-m+2
整数：1=K-2
小数：0.25=K-3×2-1+…+K-m×2-m+2
以此类推，可逐个求出K-1K-2…K-m的值。
所以转换结果为：（0.8125）10=（0.1101）2
如果一个数既有小数又有整数，则应将整数部分与小数部分分别进行转换，然后用小数点将两部分连起来，即为转换结果。
例如：
所以：（3.125）10=（11.001）2
（3）二进制与八进制、十六进制的相互转换
由于8=23，16=24，因此二进制与八进制或十六进制之间的转换就很简单。将二进制数从小数点位开始，向左每3位产生一个八进制数字，不足3位的左边补零，这样得到整数部分的八进制数；向右每3位产生一个八进制数字，不足3位右边补0，得到小数部分的八进制数。同理，将二进制数转换成十六进制数时，只要按每4位分割即可。
例如：（100100.101001）2=（44.51）8=44.51Q
=（00100100.10100100）2=（24.A4）16=24.A4H
八或十六进制要转换成二进制，只需将八或十六进制数分别用对应的3位或4位二进制数表示即可。
2.1.2 计算机中数的表示及运算
1. 数的二进制码
我们知道，数是有正有负的，带符号数的习惯表示方法是在数值前用“+”号表示正数，“-”号表示负数。计算机只能识别0和1，对数值的符号也不例外，数的符号在机器中也要数码化，对于带符号的数，在计算机中，通常将一个数的最高位作为符号位，最高位为0，表示符号位为正；最高位为1，表示符号位为负。带有数码化的符号数称为机器数。机器数的最高位是其符号位，0表示正数，1表示负数。在计算机内，数有3种表示法：原码、反码和补码。
（1）原码
以最高位为0表示正数，1表示负数，后面各位为其数值，这种数的表示法称为原码。
原码的几个特点如下。
① 数值部分即为该带符号数的二进制值。
② “0”有+0和-0之分，若字长为八位，则：
（+0）原=00000000
（-0）原=10000000
③ 8位二进制原码能表示的数值范围为：
01111111～11111111，即+127～-127。
那么，对于n位字长的计算机来说，其原码表示的数值范围为2n-1-1～-2n-1+1。
（2）反码
正数的反码与其原码相同，最高位为0表示正数，其余位为数值位。负数的反码是其对应的正数连同符号位按位取反求得。
二进制反码的特点如下。
① “0”有+0和-0之分。
② 8位二进制反码所能表示的数值范围为+127～-127，一般地，对于n位字长的计算机来说，其反码表示的数值范围为+2n-1-1～-2n-1+1。
③ 8位带符号的数用反码表示时，若最高位为“0”（正数），则后面的7位即为数值；若最高位为“1”（负数），则后面7位表示的不是此负数的数值，必须把它们按位取反，才是该负数的二进制值。
（3）补码
正数的补码与其原码相同。负数的补码为其反码加1，即在其反码的最低位上加1得到。
二进制补码的几个特点如下。
① [+0]补=[-0]补=00000000，即无+0和-0之分。
② 正因为补码中没有+0和-0之分，所以8位二进制补码所能表示的数值范围为+127～-128；同理可知，n位二进制补码表示的范围为+2n-1-1～-2n-1。在原码、反码和补码三者中，只有补码可以表示-2n-1。
③ 一个用补码表示的二进制数，当为正数时，最高位（符号位）为“0”，其余位即为此数的二进制值；当为负数时，最高位（符号位）为“1”，其余位不是此数的二进制值，必须把它们按位取反，且在最低位加1，才是它的二进制值。
2. 二进制码之间的转换运算
我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数。对于正数因为三种编码方式的结果都相同：[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补，所以不需要过多解释。但是对于负数：[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补，可见原码、反码和补码是完全不同的。
既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会需要有反码和补码呢？首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减。但是对于计算机，加减乘除是最基础的运算，要设计得尽量简单。计算机辨别“符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂。于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 +（-1）= 0，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。于是人们开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。
例如，计算十进制的表达式：1-1=0，可以写成：
如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的，这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。为了解决原码做减法出现的问题，产生了反码：计算十进制的表达式：
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的，而唯一的问题其实就出现在0这个特殊的数值上。虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的。而且会有[00000000]原和[10000000]原两个编码表示0。于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题：
这样0用[00000000]表示，而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[10000000]表示-128：
-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[10000000]补就是-128。但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示（对-128的补码表示[10000000]补算出来的原码是[00000000]原，这是不正确的）。
使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是8位二进制使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]的原因了。
2.1.3 计算机中的常用编码
计算机编码指电脑内部代表字母或数字的方式，常见的编码方式有：ASCII编码、GB2312编码（简体中文）、GBK、BIG5编码（繁体中文）、ANSI编码、unicode、utf-8编码等。编码单位最小的单元是位（bit），接着是字节（Byte），一个字节=8位，英文表示是1 Byte=8 bits，机器语言的单位为Byte。1KB=1024 Byte，1MB=1024KB，1GB=1024MB，1TB=1024GB。
1. BCD码
BCD码（Binary-Coded Decimal）亦称二进码十进数或二-十进制代码。用4位二进制数来表示1位十进制数中的0～9这10个数码。是一种二进制的数字编码形式，用二进制编码的十进制代码。BCD码这种编码形式利用了4个位元来储存一个十进制的数码，使二进制和十进制之间的转换得以快捷地进行。
由于十进制数共有0，1，2，…，9十个数码，因此，至少需要4位二进制码来表示1位十进制数。4位二进制码共有24=16种码组，在这16种代码中，可以任选10种来表示10个十进制数码。
（1）BCD码分类
BCD码可分为有权码和无权码两类：有权BCD码有8421码、2421码、5421码，其中8421码是最常用的；无权BCD码有余3码，余3循环码等。
① 8421码：8421 BCD码是最基本和最常用的BCD码，它和4位自然二进制码相似，各位的权值为8，4，2，1，故称为有权BCD码。和4位自然二进制码不同的是，它只选用了4位二进制码中前10组代码，即用0000～1001分别代表它所对应的十进制数，余下的六组代码不用。
② 5421码和2421码：5421 BCD码和2421 BCD码为有权BCD码，它们从高位到低位的权值分别为5，4，2，1和2，4，2，1。这两种有权BCD码中，有的十进制数码存在两种加权方法，例如，5421 BCD码中的数码5，既可以用1000表示，也可以用0101表示；2421 BCD码中的数码6，既可以用1100表示，也可以用0110表示。这说明5421 BCD码和2421 BCD码的编码方案都不是唯一的。
③ 余3码；余3码是8421 BCD码的每个码组加3（即0011）形成的，常用于BCD码的运算电路中。
④ Gray码：Gray码也称循环码，其最基本的特性是任何相邻的两组代码中，仅有一位数码不同，因而又叫单位距离码。
表2-1 常用BCD码
（2）BCD码的特点
① 8421码直观，好理解。
② 5421码和2421码中大于5的数字都是高位为1，5以下的高位为0。
③ 余3码是8421码加上3，有上溢出和下溢出的空间。
④ Gray码相邻的2个数只有一位不同。
2. ASCII码
在计算机中，所有的数据在存储和运算时都要使用二进制数表示（因为计算机用高电平和低电平分别表示1和0），例如，像a、b、c、d这样的52个字母（包括大写），以及0和1等数字还有一些常用的符号（例如*、#、@等），在计算机中存储时也要使用二进制数来表示，而具体用哪些二进制数字表示哪个符号，当然每个人都可以约定自己的一套（这就叫编码），而大家如果要想互相通信而不造成混乱，那么大家就必须使用相同的编码规则，于是美国有关的标准化组织就出台了ASCII编码，统一规定了上述常用符号用哪些二进制数来表示。
美国标准信息交换代码是由美国国家标准学会（American National Standard Institute，ANSI）制定的，标准的单字节字符编码方案，用于基于文本的数据。起始于20世纪50年代后期，在1967年定案。它最初是美国国家标准，供不同计算机在相互通信时用作共同遵守的西文字符编码标准，它已被国际标准化组织（International Organization for Standardization，ISO）定为国际标准，称为ISO 646标准，适用于所有拉丁文字字母。
ASCII码的表述方式如下。
ASCII码使用指定的7位或8位二进制数组合来表示128或256种可能的字符。标准ASCII码也叫基础ASCII码，使用7位二进制数（剩下的1位二进制为0）来表示所有的大写和小写字母，数字0到9、标点符号，以及在美式英语中使用的特殊控制字符。
0～31及127（共33个）是控制字符或通信专用字符（其余为可显示字符），如控制符：LF（换行）、CR（回车）、FF（换页）、DEL（删除）、BS（退格）、BEL（响铃）等；通信专用字符：SOH（文头）、EOT（文尾）、ACK（确认）等；ASCII值为8、9、10和13分别转换为退格、制表、换行和回车字符。它们并没有特定的图形显示，但会依不同的应用程序，而对文本显示有不同的影响。
32～126（共95个）是字符（32是空格），其中48～57为0到9这10个阿拉伯数字。65～90为26个大写英文字母，97～122号为26个小写英文字母，其余为一些标点符号、运算符号等。
同时还要注意，在标准ASCII中，其最高位（b7）用作奇偶校验位。所谓奇偶校验，是指在代码传送过程中用来检验是否出现错误的一种方法，一般分奇校验和偶校验两种。奇校验规定：正确的代码一个字节中1的个数必须是奇数，若非奇数，则在最高位b7添1；偶校验规定：正确的代码一个字节中1的个数必须是偶数，若非偶数，则在最高位b7添1。
后128个称为扩展ASCII码。许多基于x86的系统都支持使用扩展（或“高”）ASCII。扩展ASCII码允许将每个字符的第8位用于确定附加的128个特殊符号字符、外来语字母和图形符号。
表2-2 ASCII表
3. 汉字编码
计算机只识别由0、1组成的代码，计算机在我国应用时，要能够输入、处理和输出汉字。显然，汉字在计算机中也只能用若干位的二进制编码来表示。ASCII码是英文信息处理的标准编码，汉字信息处理也必须有一个统一的标准编码。我国国家标准局于1981年5月颁布了《信息交换用汉字编码字符集——基本集》，代号为GB2312-80，共对6763个汉字和682个图形字符进行了编码，其编码原则为：汉字用两个字节表示，每个字节用七位码（高位为0）；国家标准将汉字和图形符号排列在一个94行94列的二维代码表中；每两个字节分别用两位十进制编码，前字节的编码称为区码，后字节的编码称为位码，此即区位码。如“保”字在二维代码表中处于17区第3位，区位码即为“1703”。
该标准编码字符集共收录汉字和图形符号7445个，包括以下几种。
① 一般符号202个：包括间隔符、标点、运算符，单位符号和制表符等。
② 序号60个：包括1.～20.、（1）～（20）、①～⑩和（-）～（+）等。
③ 数字22个：0～9和I～XII。
④ 英文字母52个：大、小写各26个。
⑤ 日文假名169个：其中平假名83个，片假名86个。
⑥ 希腊字母48个：其中大、小写各24个。
⑦ 俄文字母66个：其中大、小写各33个。
⑧ 汉语拼音符号26个。
⑨ 汉语注音字母37个。
⑩ 汉字6763个：分两级，第一级汉字3755个，第二级汉字3008个。
显然，汉字机内码的每个字节都大于128，这就解决了与西文字符的ASCII编码冲突的问题。