第三届全国大学生数学竞赛预赛（2011年非数学类）

试题

一、计算下列各题（本题共4个小题，每题6分，共24分）（要求写出重要步骤）

（1）.

（2）设，求.

（3）求，其中D=｛（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤2｝.

（4）求幂级数的和函数，并求级数的和．

二、（本题两问，每问8分，共16分）设为数列，a，λ为有限数，求证：

（1）如果，则.

（2）如果存在正整数p，使得，则.

三、（15分）设函数f（x）在闭区间［-1，1］上具有连续的三阶导数，且f（-1）=0，f（1）=1，f′（0）=0．求证：在开区间（-1，1）内至少存在一点x0，使得f‴（x0）=3.

四、（15分）在平面上，有一条从点（a，0）向右的射线，其线密度为ρ．在点（0，h）处（其中h＞0）有一质量为m的质点．求射线对该质点的引力．

五、（15分）设z=z（x，y）是由方程确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数．求证：和.

六、（15分）设函数f（x）连续，a，b，c为常数，Σ是单位球面x2+y2+z2=1．记第一型曲面积分．求证：.

参考答案

一、（1）解　因为

所以

（2）解　若θ=0，则.

若θ≠0，则当n充分大，使得2n＞｜k｜时

这时，.

（3）解　设

（4）解　令，则其定义区间为（，）.∀x∈（，），有

于是

二、证　（1）由，∃M＞0使得｜an｜≤M，且∀ε＞0，∃N1∈N，当n＞N1时

因为∃N2＞N1，当n＞N2时，．于是

所以

（2）对于i=0，1，…，p-1，令，易知｛｝为｛an+p-an｝的子列．

由，知，从而

而，所以

由，知，从而

∀m∈N，∃n，p，i∈N，0≤i≤p-1，使得m=np+i，且当m→∞时，n→∞．所以，.

三、证　由麦克劳林公式，得

η介于0与x之间，x∈［-1，1］.

在上式中分别取x=1和x=-1，得

两式相减，得

f‴（η1）+f‴（η2）=6.

由于f‴（x）在闭区间［-1，1］上连续，因此f‴（x）在闭区间［η2，η1］上有最大值M和最小值m，从而

再由连续函数的介值定理，至少存在一点x0∈［η2，η1］⊂（-1，1），使得

四、解　在x轴的x处取一小段dx，其质量是ρdx，到质点的距离为，这一小段与质点的引力是（其中G为万有引力常数）.

这个引力在水平方向的分量为，从而

而dF在竖直方向的分量为，故

所求引力向量为F=（Fx，Fy）.

五、解　对方程两边求导

由此解得

所以

将上式再求导

相加得到

六、解　由Σ的面积为4π可见：当a，b，c都为零时，等式成立．

当它们不全为零时，可知：原点到平面ax+by+cz+d=0的距离是

设平面，其中u固定，则｜u｜是原点到平面Pu的距离，从而-1≤u≤1，被积函数取值为．两平面Pu和Pu+du截单位球Σ的截下的部分，这部分摊开可以看成一个细长条．这个细长条的长是，宽是，它的面积是2πdu，得证．