第5章附录　 消费均衡的几何分析

附录课后习题详解

一、概念题

1．无差异曲线

答：无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的各种不同数量的组合的一簇曲线。或者说，它是表示能给消费者带来同等效用水平或满足程度的两种商品的各种不同数量的组合。与无差异曲线相对应的效用函数为。其中，、分别为商品1和商品2的消费数量；是常数，表示某个效用水平。由于无差异曲线表示的是序数效用，所以，这里的只须表示某一个效用水平，而不在乎其具体数值的大小，如图5A-1所示。

图5A-1  无差异曲线

无差异曲线具有这样的特点：第一，由于通常假定效用函数具有连续性，因此同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，存在着无数条无差异曲线。或者说，可以有无数条无差异曲线覆盖整个坐标平面。离原点越近的无差异曲线所代表的效用水平越低，离原点越远的无差异曲线所代表的效用水平越高。第二，在同一坐标平面上的任意两条无差异曲线不会相交。第三，根据边际替代率递减规律，无差异曲线凸向原点。

2．边际替代率

答：边际替代率表示商品之间进行替代的难易程度，是指在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需放弃的另一种商品的消费数量，同时等于代表这两种商品效用的无差异曲线的斜率的绝对值。商品的边际替代率通常以MRS（marginal rate of substitution）表示，如果和分别表示商品1和商品2的消费变化量，则商品1对商品2的边际替代率的公式为：。

当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式可以改写为：

在保持效用水平不变的前提下，消费者增加一种商品的数量所带来的效用增加量和相应减少的另一种商品数量所带来的效用减少量必定是相等的，因此有：

上式可以写为：或，这表明两种商品的边际替代率等于两种商品的边际效用之比，因此，边际替代率也称相对边际效用。

3．预算线或预算约束

答：预算线又称预算约束、消费可能线和价格线，是用来表示在消费者的收入和商品的价格给定的条件下，消费者的全部收入所能购买到的各种商品的全部数量组合的一条直线。在两种商品的情况下，如果以表示消费者的既定收入，以和分别表示商品1和商品2的既定价格，以和分别表示商品1和商品2的数量，那么，相应的预算线方程为：

或

上式表明，消费者的全部收入等于他购买商品1和商品2的总支出。预算线的斜率为，纵截距为，横截距为；收入的变动引起预算线平移，对的相对变化引起预算线的转动。

图5A-2  消费者的预算线

如图5A-2所示，预算线把平面坐标图划分为三个区域：预算线以外的区域中的任何一点（如点）是消费者利用全部收入都不可能实现的商品购买的组合点。预算线以内的区域中的任何一点（如点）表示消费者的全部收入在购买该点的商品组合以后还有剩余。惟有预算线上的任何一点，才是消费者的全部收入刚好花完所能购买到的商品组合点。图中的阴影部分的区域（包括直角三角形的三条边），被称为消费者的预算可行集或预算空间。

4．无差异曲线的凸性和相对边际效用递减规律

答：相对边际效用递减规律即边际替代率递减规律，是指在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。之所以会普遍发生商品的边际替代率递减的现象，其原因在于：随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而，他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少。

由于无差异曲线的斜率反映了两种商品的相对边际效用，或者说度量了两种商品之间的替代率，因此，边际替代率递减规律的成立，使得无差异曲线的斜率随着一种商品需求量的增加也呈现出递减的趋势。无差异曲线越来越平缓，在几何图形上表现为无差异曲线凸向原点。

5．最优切点条件：

答：最优切点条件是实现消费者均衡的基本条件，即既定的预算线与其中一条无差异曲线的相切点，是消费者获得最大效用水平的均衡点。在该切点处，预算线与无差异曲线的斜率相等。由于无差异曲线的斜率的绝对值表示商品替代率，预算线斜率的绝对值可以用两种商品的价格之比表示。因此，最优切点条件可以表示为：。

这一均衡条件表示，在一定收入约束下，消费者为获得最大效用，应当选择最优商品组合，使得两种商品的边际替代率等于这两种商品的价格之比。如图5A-3所示，在点处，预算线与最高的无差异曲线相切，此时消费者实现了既定收入下可能达到的最高无差异曲线。

图5A-3  最优切点条件在点实现

二、问答题

1．画出下列无差异曲线：（1）像左右鞋子那样的互补品；（2）像同一个商店并排放置的两瓶可乐那样完全的替代品。

答：（1）无论价格是多少，消费者都必须按固定比例购买两种互为互补品的商品。对于左鞋和右鞋，消费者不能只买一只或一双半，而必须成双购买。设轴代表左鞋的消费量，轴代表右鞋的消费量，由于两者是互补品，因此无差异曲线呈L型。如图5A-4所示，图中无差异曲线为实直角线，预算线为斜虚线。

图5A-4  左右鞋子的无差异曲线和预算线

（2）完全替代品指消费者愿意以固定比例用一种商品替代另一种商品。在完全替代情况下，消费者对商品相对价格的变动非常敏感，一般会购买价格较低的那种商品。在本题中，设轴表示可乐的消费量，轴表示并排放置的另一瓶可乐的消费量，由于两者完全替代，故无差异曲线为斜率为-1的直线。

①当时，可乐的需求量为0，如图5A-5（a）中的A点；

②当时，可乐的需求量为0，如图5A-5（b）中的B点；

③当时，两瓶可乐的组合为预算线上的任一点，如图5A-5（c）。

图5A-5  并排放置的两瓶可乐的无差异曲线和预算线

2．以猪肉和游艇为例，画出类似于图5A-6的一组无差异曲线和预算线，其中猪肉作为劣品，而游艇作为奢侈品，其收入弹性超过1。

图5A-6  收入变化对均衡的影响

答：猪肉和游艇的一组无差异曲线和预算线如图5A-7所示。由于猪肉为劣质品，其需求量随着收入的增加而减少，而游艇为奢侈品，其需求量变动率大于收入变动率，因此，当收入增加引起预算线向右平移时，无差异曲线与预算线相切的均衡点位置发生变动。在新的均衡点处，猪肉的需求量比以前下降，而游艇的需求量则比以前增加，并且增加的幅度超过了收入增加的幅度。

图5A-7  猪肉与舰艇的无差异曲线与预算线分析