第1章 行列式
1.1 复习笔记
一、二阶与三阶行列式
1．二阶行列式
（1）定义
把这四个数按一定的位置，排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表：
表达式
称为数表所确定的二阶行列式，并记作：
数
称为行列式的元素或元；元素
的第一个下标
称为行标，表明该元素位于第行，第二个下标
称为列标，表明该元素位于第列；位于第行第列的元素称为行列式的
（，）元．
（2）记忆方法
可用对角线法则来记忆．参看图1-1，把
到
的实联线称为主对角线，
到
的虚联线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差．
图1-1
（3）二阶行列式的应用
利用二阶行列式的概念，再解二元方程时，解
的分子也可写成二阶行列式，即
若记
那么方程的解可写成
注意：这里的分母
是由方程组（1）的系数所确定的二阶行列式（称系数行列式），
的分子
是用常数项
替换中的系数
，
所得的二阶行列式，
的分子
是用常数项
，替换中的系数
所得的二阶行列式．
例：求解二元线性方程组
解：由于
，
因此 
2．三阶行列式
（1）定义
设有9个数排成3行3列的数表
记
该式称为数表所确定的三阶行列式．
说明：三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号．
（2）记忆方法
如下图所示的对角线法则：图中有三条实线看做是平行于主对角线的联线，三条虚线看做是平行于副对角线的联线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号．
图1-2
二、全排列及其逆序数
1．全排列
把
个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（也简称排列）．个不同元素的所有排列的种数，通常用
表示．
2．逆序数
（1）定义
对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序．一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数．
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列．
（2）计算方法
设n个元素为l至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序．设
为这n个自然数的一个排列，考虑元素
，如果比
大的且排在前面的元素有
个，就说这个元素的逆序数是．全体元素的逆序数之总和：
即是这个排列的逆序数．
三、阶行列式的定义
1．定义
设有
个数．排成行列的数表
作出表中位于不同行不同列的个数的乘积，并冠以符号
，得到形如
的项，其中
为自然数
的一个排列，
为这个排列的逆序数．由于这样的排列共有
个，因而该式共有
项．所有这项的代数和
称为阶行列式，记作
简记作
其中数
为行列式
的
元．
注意：当
时，一阶行列式
注意不要与绝对值记号相混淆．
2．常用结论
阶行列式：
（1）对角行列式：
其中未写出的元素都是0．
（2）上（下）三角形行列式
四、对换
1．定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将
相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
2．对换的性质
（1）一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．
（2）奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数．
3.n阶行列式的定义
阶行列式可定义为
其中为行标排列的逆序数．
五、行列式的性质
1．转置行列式
记
,
行列式
称为行列式
的转置行列式．
2．行列式的性质
（1）行列式与它的转置行列式相等．
（2）互换行列式的两行（列），行列式变号．
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．
（3）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数时，等于用数去乘此行列式：第
行（或列）乘以
，记作
或
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号外的外面.第行（或列）提出公因子
，记作
或
（4）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．
（5）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和 ．
（6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．（以数乘第
行加到第
行上，记作
说明：①当某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（或列）可分解为两个行列式．若阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解成
个行列式．例如二阶行列式：
②介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即
和
利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算（或
）可以把行列式中许多元素化为0．计算行列式常用的一种方法就是利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
六、行列式按行（列）展开
1．余子式和代数余子式
在阶行列式中，把元以所在的第行和第列划去后，留下来的
阶行列式叫做元
的余子式，记作
；记作：
叫做元的代数余子式.
2．常用结论
（1）一个阶行列式，如果其中第行所有元素除元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即
（2）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
或 
这就叫做行列式按行（列）展开法则．
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
或 
综合结论2可得有关于代数余子式的重要性质：
或
其中 
3．范德蒙德（Vandermonde）行列式
其中记号“
”表示全体同类因子的乘积．
4．求余子式及代数余子式和的有用方法：代替法
用
依次代替
可得
类似地，用
代替
中的第列，可得
七、克拉默法则
1．克拉默法则的定义
含有个未知数
的个线性方程的方程组
（1）
与二、三元线性方程组相类似，它的解可以用阶行列式表示，即有
克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即
那么，方程组（1）有惟一解
（2）
其中
是把系数行列式D中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即
2．克拉默法则的应用
（1）应用在线性方程
克拉默法则可叙述如下：
定理 如果线性方程组（1）的系数行列式
，则（1）一定有解，且解是惟一的．
该定理逆否定理为：如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零．
线性方程组（1）右端的常数项不全为零时，线性方程组（1）叫做非齐次线性方程组，当全为零时，线性方程组（1）叫做齐次线性方程组．
（2）应用于齐次线性方程组
对于齐次线性方程组
（3）
一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组（3）的零解，如果一组不全为零的数是（3）的解，则它叫做齐次线性方程组（3）的非零解．齐次线性方程组（3）一定有零解，但不一定有非零解．
定理 如果齐次线性方程组（3）的系数行列式，则齐次线性方程组（3）没有非零解．即如果齐次线性方程组（13）有非零解，则它的系数行列式必为零．
该定理说明系数行列式是齐次线性方程组有非零解的必要条件．