1.2　课后习题详解

1．利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解：（1）原式

；

（2）原式

；

（3）原式

；

（4）原式

．

2．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1  2  3  4；　 

（2）4  1  3  2；

（3）3  4  2  1；　 

（4）2  4  1  3；

（4）2  4  1  3；

（5）1  3  …  （2n一l）  2  4  …  （2n）；

（6）1  3  …  （2n一l）  （2n）  （2n一2）  …  2．

解：（1）此排列为自然排列，其逆序数为0；

（2）此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为l；第3位元素3的逆序数为1；末位元素2的逆序数为2，故它的逆序数为0+1+1+2=4；　 

（3）此排列的前两位元素的逆序数均为0；第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3，故它的逆序数为0+0+2+3=5；

（4）类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0，0，2，1，故它的逆序数为0+0+2+1=3；

（5）注意到这2n个数的排列中，前n位元素之间没有逆序对．第n+1位元素2与它前面的n－1个数构成逆序对，故它的逆序数为n－l；同理，第n+2倍元素4的逆序数为n－2;；末位元素2n的逆序数为0．故此排列的逆序数为；

（6）与（5）相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第n+2位元素（2n一2）的逆序数为2；第n+3位元素2n－4与它前面的2n－3，2n－l，2n，2n－2构成逆序对，故它的逆序为4；…；末位元素2的逆序数为

2（n－l），故此排列的逆序数为．

3．写出四阶行列式中含有因子的项．

解：由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，而它们又分别位于第2列和第4列，即和或和．注意到排列l324与1342的逆序数分别为1与2，故此行列式中含有的项为与．

4．计算下列各行列式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解：（1）

=0（因第3、4行成比例）；

（2）

（因有两行相同）；

（3）

（4）

5．求解下列方程：

（1）=0，（2）=0，其中a，b，c互不相等．

解：（1）左式

．

于是方程的解为：，，；

（2）注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式，则可得．

因a，b，c互不相等，故方程的解为：,,.

6．证明：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）

证：

=（a－b）3=右式；

（2）将左式按第l列拆开得

左式

其中

于是=右式．

（3）左式：

（因有两列相同）；

（4）左式：

其中：；

．

故

．

因此，左式=右式．

（5）方法一（递推法）：按第l列展开，以建立递推公式，

．

又，归纳基础为：（注意不是x），于是

　 

　

方法二：按最后一行展开得

　 

7．设n阶行列式把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转，依次得

，，

证明，．

证：（1）先计算，为此通过交换行将变换成D，从而找出与D的关系．的最后一行是D的第l行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行，共进行n－1次交换；这时最后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行n－2次交换；…·，直至最后一行是D的第n－l行，再通过一次交换将它换到第n－l行，这样就把变换成D，共进行次交换，故

．　 

（2）计算，注意到的第l，2，…，n行恰好依次是D的第n，n－l，…，1列，故若把上下翻转得，则的第l，2，…，n行依次是D的第l，2，…，n列，即．于是由（1）

（3）计算，注意到若把逆时针旋转90°得，则的第l，2，…，n列恰好是D的第n，n－l，…，1列，于是再把左右翻转就得到D．由（1）之注及（2），有

8．计算下列各行列式（为k阶行列式）：

（1），其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0；

（2）

（3）提示：利用范德蒙德行列式的结果．

（4），其中未写出的元素都是0；

（5），其中；

（6），其中．

解：（1）方法一：化为上三角行列式

上式中最后那个行列式为上三角行列式；

方法二：把按第二行展开，因的第二行除对角线元素外全为零，故有

即．

于是有．

（2）

．

（3）按范德蒙德行列式的结果，可得

（4）由递推法

即有递推公式．

另一方面，归纳基础为，利用这些结果，递推得

（5）

（6）

其中：．于是．

9．设，D的（i，j）元的代数余子式记作，求．

解：

10．用克拉默法则解下列方程组：

解：（1）

；

由克拉默法则，得

，，，；

（2）

而；

，

于是；

；

由克拉默法则，得

，，，

11．问，取何值时，齐次线性方程组有非零解?

解：方程组的系数行列式必须为0．

因

故只有当=0或=1时，方程组才可能有非零解．

当=0，原方程组成为显然，，是它的一个非零解；

当=1，原方程组成为

显然，，是它的一个非零解．因此，当=0或=1时，方程组有非零解．

12．问取何值时，齐次线性方程组有非零解?

解：若方程组有非零解，它的系数行列式D=0．

因

故或或，并且不难验证：

当时，，，；当时，，，；当时，，，

均是该方程组的非零解．所以当时方程组有非零解．