第8章　z变换、离散时间系统的z域分析

一、选择题

1．已知一双边序列，其Z变换为（　　）。[北京邮电大学2009研]

A．　 

B．

C．　 

D．

【答案】A

【解析】由题意，根据常用Z变换，得：

，

2．已知因果信号的Z变换，则的收敛域为（　　）。[西安电子科技大学2010研]

A． 

B．　 

C．　

D．

【答案】C

【解析】因果信号的收敛域是的形式，并且收敛域内不能包含极点。的极点为，所以的收敛域为。

3．已知的Z变换为，则的Z变换为（　　）。[北京航空航天大学2007研]

A．　 

B．　 

C．　 

D．　 

E．都不对

【答案】D

【解析】利用和函数z变换公式即可。

4．对线性移不变离散时间系统，下列说法中错误的是（　　）。[东南大学研]

A．极点均在z平面单位圆内的是稳定系统　 

B．收敛域包括单位圆的是稳定系统

C．收敛域是环状区域的系统是非因果系统　 

D．单位函数响应单边的是因果系统

【答案】A

【解析】A项，极点均在z平面内以原点为圆心单位圆内的是稳定系统。由功率有限信号定义：如果信号的平均功率满足，称为功率

二、填空题

1．已知一稳定线性时不变系统的系统函数为，该系统的单位样值响应为________。[国防科技大学2008研]

【答案】

【解析】改写原式为：=

，

根据常用Z变换可知，，。因此：

2．序列，设，则等于________。[西安电子科技大学2008研]

【答案】

【解析】根据常用z变换，得到：

由卷积定理可得：　 

3．序列的单边z变换及其收敛域是_________。[华中科技大学2009研]

【答案】

【解析】若要求序列的单边z变换，则可将看作：

于是其z变换为，收敛域为。

4．象函数则原序列________。[西安电子科技大学研]

【答案】

【解析】　

根据给定的收敛域可知，上式第一项的原序列为因果序列，第二项的原序列为反因果序列，故

三、计算题

1．求因果序列的初值和终值，已知该序列z变换为[中国科学院研究生院2012研]

解：

由于的两个极点分别为，可知的收敛域不包含单位圆，则该序列无终值。

2．判断冲激响应是否对应于稳定的LTI系统。[中山大学2011研]

解：冲激响应对应稳定的LTI系统。

对作z变换得

可知系统的极点，收敛域包含单位圆，所以系统稳定。

3．已知一LTI因果离散时间系统如图8-1所示。

图8-1

（1）求系统函数且说明收敛域；

（2）求系统的单位样值响应；

（3）画出系统的幅频曲线且标注数值，并说明系统的滤波特性。[北京航空航天大学2007研]

解：系统框图如图8-2所示。

图8-2

（1）由图8-2可列出方程组

取z变换，有

消去，化简得

因为此系统为因果系统，所以。

（2）由（1）可知，单位样值响应

。

（3）将代入系统函数，有

故当时，；当时，；当时，；当时，；当时，。

以为周期，频谱图如图8-3所示，该系统应为带通系统。

图8-3

4．离散系统框图如图8-4所示。求系统函数和单位样值响应。并判断系统的稳定性。[解放军信息工程大学2007研]

图8-4

解：（1）设两个延时器之间的信号为，则：

求其Z变换，得到：

消去，则： 

（2）系统极点为，全部在单位圆内，则系统稳定。

（3）因为，则：

5．已知，，求反变换。[四川大学2007研]

解：由题意，有：

因为  　，，

，

所以有：

。

6．求，的反变换。[浙江大学2009研]

解：　

由于　 

所以　 

7．已知某二阶稳定离散LTI系统具有有理的系统函数，关于该系统还知道以下信息：

①有一个零点在原点；

②的两个实极点互为倒数；

③；

④当输入时，输出；

⑤当输入时，输出。

问：（1）求系统函数，并指明其收敛域；

（2）在z平面上标出零、极点和收敛域；

（3）求系统的单位阶跃响应。[华中科技大学2010研]

解：（1）根据已知，可设系统函数为，根据条件3，可知c = 1。由条件4可知，；由条件5可知，。因此可得：

，

（2）零、极点及收敛域如图6-5所示，收敛域为两个虚线圆之间的部分。

图8-5

（3）根据常用z变换，可知，所以单位阶跃响应的z变换为：

，

求其逆变换，可得单位阶跃响应为：