第一篇　极限论

第一部分　极限初论

第1章　变量与函数

1.1　复习笔记

一、函数的概念

1．变量

量一般可分为两种：一种是在考察的过程中保持不变的量，称为常量；一种是在考察的过程中不断变化的量，称为变量．

2．函数

（1）定义

如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f，得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，就称f是X上的函数，f在x的数值（称为函数值）是y，记为f（x），即，有时也称y是x的像，x是y的一个逆像．记为：

称x是自变量，X是函数f的定义域，y是因变量，f（x）的全体所组成的范围叫做函数f的值域，要注意的是，值域并不一定就是Y，它不会比Y大，但它可能比Y小．

（2）若函数f和g有相同的定义域X，且对X内的每一个实数x，它们有相同的函数值，就称f和g相等，记为f=g，显然，它们的值域也必相同．

（3）由方程F（x，y）=0确定的函数关系，称为隐函数．

3．函数的一些几何特性

（1）单调性

如果对于某区间X内的任何两点，有

成立，就称函数y=f（x）在区间X内单调增加（或单调减少），有时称单调上升（或单调下降）,如果等号恒不成立，就称为严格单调增加（或减少）．

（2）奇偶性

设f（x）的定义域为（－a，a）（a>0），若对任意x∈（－a，a），有f（－x）=－f（x），就称f（x）为奇函数；若对任意x∈（－a，a），有f（－x）=f（x），就称f（x）为偶函数，它的图形关于y轴对称．

（3）周期性

设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），如果对任意x，有f（x＋w）=f（x）成立，其中w是一个常数，就则称f为周期函数，w称为周期．

二、复合函数和反函数

1．复合函数

若函数y=φ（u）的定义域为U，函数u=f（x）的定义域为X，值域为U^*，并且U^*包含在U内，那么对于X内的每一个值x，经中间变量u，相应地得到唯一确定的一个值y，于是y经过中间变量u成为x的函数，记为

这种函数称为复合函数．

2．反函数

（1）定义

设y=f（x）的定义域是X，值域是Y，并且对Y内的任何一个实数y，它在X的逆像x只有一个．此时把Y看做某个函数的定义域，那么对Y内的每一个y，就有X内的唯一一个逆像x．由函数的定义可知，x是y的函数，这个函数的自变量是y，因变量是x，定义域是Y，值域是X．它是由函数f所产生的，称为函数f的反函数，记为，它在Y的数值记为，即

f也是的反函数，即f和互为反函数．前者的定义域和后者的值域相同，前者的值域和后者的定义域相同，且．

函数y=f（x）和它的反函数的图形关于直线y=x对称．

（2）设y=f（x）在某个区间X内严格单调增加（或减少），且和这个X相对应的值域是Y，那么必存在反函数，反函数的定义域为Y，值域为X，它在Y内也是严格单调增加（或减少）的．

三、基本初等函数

1．指数函数

（1）定义

其中a为任意正常数，并设a≠1．

①指数函数的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，＋∞）　 

②指数函数的图形（图1-1）：

图1-1

（2）单调性

①当a>1时，函数是严格单调增加的；

②当0<a<1时，函数是严格单调减少的．

（3）特殊性

①不论a为何值（a>0，a≠1），函数图形都经过点（0，1）；

②函数和函数的图形关于y轴对称．

2．对数函数

（1）定义

其中a为任意正常数，a≠1，称为对数的底．

①对数函数的定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞）　 

②对数函数图形（图1-2）：

图1-2

（2）对数函数的单调性

①当a>1时，函数是严格单调增加的；

②当0<a<1时，函数是严格单调减少的．

（3）对数函数的特殊性

①不论a为何值（a>0，a≠1），函数图形都经过点（1，0）；

②对数函数和指数函数互为反函数．

3．幂函数

（1）定义

其中μ为任意常数．

（2）定义域

①当μ为正整数时，定义域为（－∞，＋∞）;

②当μ为负整数时，定义域为；

③当（为正整数），若为奇数，定义域为（－∞，＋∞）；若α为偶数，定义域为[0，＋∞）．

（3）特殊性

不论μ为何值，函数图形都经过点（1，1）．

4．三角函数

正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx，余切函数y=cotx等等．三角函数为周期函数，正弦和余弦函数的周期为2π．正切和余切函数的周期为π．在微积分中，三角函数的自变量x一般都用弧度，

．

5．反三角函数

函数y=arcsinx与y=arctanx的图形见图1-3，图1-4，其中实线表示它们的主值．

图1-3 　 图1-4

6．双曲函数

双曲正弦，双曲余弦，双曲正切

双曲余切，统称为双曲函数．

除了coth x在x=0无意义外，它们对于一切实数x都有意义．双曲函数的一些计算公式如下：