第2章　极限与连续

2.1　复习笔记

一、数列的极限和无穷大量

1．数列极限的定义

（1）数列

无穷多个数按次序排列下去，就构成一个数列．这个数列的第n项是，记这个数列为．

（2）数列极限

设是一个数列，a是实数，如果对任意给定的总存在一个正整数N，当n>N时，有就称a是数列的极限，或者称数列收敛，且收敛于a，记为

（3）数列极限的几何解释

以a为极限，就是对任意给定的一个开区间第N项以后的一切数…都落在这个区间内（图2-1）．

图2-1

（4）数列极限的邻域表示

对任意给定的邻域O（a，ε），一定存在正整数N，当n>N时，．

（5）无穷小量

当以零为极限时，称为无穷小量．由极限的定义知，对任意给定的ε>0，存在正整数N，当n>N时，．

（6）收敛数列与发散数列

①称有极限的数列是收敛数列；

②称没有极限的数列是发散数列．

（7）数列极限的等价定义

若对任意给定的ε>0，总存在一个正整数N，当n>N时，都有（这里M是一个正的常数），就称a是数列的极限．

2．数列极限的性质

（1）若且a>b，则总存在正整数N，当n>N时，不等式成立．

（2）若且存在正整数N，当n>N时，不等式都成立，则．特别地，若

（3）若且a>b（b为常数），则存在正整数N，当n>N时，有

（4）若且a<c（c为常数），则当n充分大时，有特别地，若且a<0，则当n充分大时，有

（5）．若数列收敛，则它的极限是惟一的．

（6）若存在正整数N，当n>N时，有且则

（7）若存在一正整数N，当n>N时，有（或），且则

3．有界数列

（1）定义

若存在两个数A，B（A<B），数列的每一项都在闭区间[A，B]内，即就称为有界数列．这时称A为它的下界，B为它的上界．

（2）注意要点

①数列的上界和下界都不是惟一的；

②对于数列如果存在正整数N，当n>N时，有就说数列往后有界，往后有界一定是有界的；

③有界数列的等价定义是，若存在一个正数M，使得（n＝1，2，3，…），就称是有界数列；

④有极限的数列是有界的．

4．数列极限的运算

（1）若数列都收敛，则它们的和与差也收敛，并且有

特别地，两个无穷小量的代数和仍是无穷小量．

（2）若都收敛，则也收敛，并且特别地，两个无穷小量的积仍是无穷小量．

（3）若为有界数列，为无穷小量，则它们的积是无穷小量．

（4）若都收敛，且则也收敛，且有．

5．单调有界数列

（1）定义

设是一个数列，如果，就说这个数列单调增加（上升）；如果

，就说这个数列单调减少（下降）．如果在上面的数列中等号都不成立，就称它是严格单调增加或严格单调减少的．

（2）单调有界定理

单调有界数列必有极限．

6．无穷大量

（1）定义

设是一个数列，如果对任意给定的G>0，总存在正整数N，当n>N时，有就称是一个无穷大量，记为

或

（2）几何解释

是无穷大量，就是对任意给定的两个开区间及，一定有这样一项（第N项），自这项以后的一切项（即n>N的全都落在这两个开区间内（如图2-2））．

图2-2

（3）正无穷大量和负无穷大量

设是正无穷大量（或负无穷大量），记为

（或）．

正无穷大量（或负无穷大量）也可以这样叙述：若对任意给定的G>0，总存在N，当n>N时，有（或

），就称是正无穷大量（或负无穷大量）．

7．无穷大量的性质和运算

（1）无穷大量和无穷小量的关系

若为无穷大量，则它的倒数所成的数列为无穷小量；反之，若为无穷小量，且

则它的倒数所成的数列为无穷大量．

（2）无穷大量的一些运算法则

①设和都是正（或负）无穷大量，那么它们的和也是正（或负）无穷大量．

②设是无穷大量，是有界数列，那么它们的和是无穷大量．

③设是无穷大量，又设数列具有以下特性：存在某个N，当n>N时，有那么它们的乘积是无穷大量．

④设是无穷大量，收敛于a≠0，那么它们的乘积是无穷大量．

二、函数的极限

1．函数在一点的极限

（1）定义

设函数f（x）在x₀点的附近（但可能除掉x₀点本身）有定义，又设A是一个定数，如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当时，总有就称A是函数f（x）在x₀点的极限，记为

或者记为

这时也称函数f（x）在x₀点极限存在，其极限值是A．

（2）等价定义

对A的任意一个ε邻域O（A，ε），总存在着x₀的一个δ邻域O（x₀，δ），当时，有f（x）∈O（A，ε）．

2．函数极限的性质和运算

（1）性质

①若且A>B，则存在δ>0，使当时，f（x）>g（x）．

②若且存在δ>0，使当时，f（x）≤g（x），则A≤B．

③若, 且A>B（A<B），则存在δ>0，使当时，f（x）>B（f（x）<B）．

④若则A＝B．说明了函数极限的惟一性．

⑤若存在δ>0，使当时，

f（x）≤g（x）≤h（x），

并且则．这个性质叫做函数极限的夹逼性．

⑥若则存在着δ>0，使得f（x）在区间内有界，即在不等式

所表示的区间内有界．

⑦为极限的数列都有→A（n→∞）．

（2）函数有界的两个等价定义

①设函数f（x）在某个区间X内满足

A≤（x））≤B，

其中A，B是两个定数，我们就称f（x）在X内有界，并称A是f（x）在X内的一个下界，B是f（x）在X内的一个上界．

②设函f（x）在某个区间X内满足

其中M是一个定数，就称f（x）在X内有界．

（3）运算法则

①若则

在商的情况下，要求B≠0．

②若g（x）在某区间有界，那么

3．单侧极限

（1）右极限的定义

设函数f（x）在x₀点的右邻域（可能除去x₀点本身）有定义，A是一个定数，如果对任意给定的ε>0，总存在δ>0，当时，有就称A是函数f（x）在x₀点的右极限，记为

也称函数f（x）在x₀点的右极限存在．

（2）左极限的定义

设函数f（x）在x₀点的左邻域（可能除去x₀点本身）有定义，A是一个定数，如果对任意给定的ε>0，总存在δ>0，当时，有|f（x）－A |<ε，就称A是函数f（x）在x₀点的左极限，记为

也称函数f（x）在x₀点的左极限存在．

（3）当且仅当

4．函数在无限远处的极限

（1）函数在正无限远处的极限的定义

若对任意给定的ε>0，存在X>0，当x>X时，有|f（X）－A|<ε，就称A为f（x）在正无限远处的极限，或者称A是当x→+∞时f（x）的极限，记为

或f（+∞）＝A或f（x）→A（x→+∞），

也称函数f（x）在正无限远处的极限存在．

（2）函数在负无限远处的极限的定义

若对任意给定的ε>0，存在X>0，当x<-X时，有|f（x）－A|<ε，就称A为f（x）在负无限远处的极限，或者称A是当x→-∞时f（x）的极限，记为

或  f（-∞）＝A或f（x）→A（x→-∞），

也称函数f（x）在负无限远处的极限存在．

（3）函数在无限远处极限的定义

若对任意给定的ε>0，存在X>0，当|x|>X时，有|f（x）－A|<ε，就说A是f（x）在无限远处的极限，或者说A是当x→∞时f（x）的极限，记为

或f（∞）＝A或f（x）→A（x→∞），

也称函数f（x）在无限远处的极限存在．

（4）．

5．函数值趋于无穷大的情形

（1）的定义

如果对于任何G>0，存在δ>0，当时，有|f（x）|>G，就说函数f（x）在x₀点趋于无穷大（或发散到无穷大），记为或f（x）→∞（x→x₀）．

（2）的定义

如果对于任何G>0，存在δ>0，当时，有f（x）>G，就说函数f（x）在x₀点趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为或f（x）→+∞（x→x₀）．

（3）的定义

对于任何G>0，存在X>0，当|x|>X时，有|f（x）|>G，就说函数f（x）在无限远处趋于无穷大（或发散到无穷大），记为或f（x）→∞（x→∞）．

（4）函数值趋于无穷大时的性质

①若，那么；反过来，如果在x₀的某一邻域内（x₀本身除外）f（x）无零点，并且那么

②若，而g（x）满足当时，|g（x）|≥C>0，那么

6．两个常用的不等式和两个重要的极限

（1）两个常用的不等式

①对任何x，有

②当时，有

在这两个不等式中，等号当且仅当x＝0时成立.

（2）两个重要的极限

①

②

三、连续函数

1．连续的定义

（1）若函数在点的附近包括点本身有定义，并且

就称在点连续，此时称点是的连续点．

（2）等价定义

①对任意给定的总存在当时，有

②对的任意邻域，总存在的邻域当时，有

（3）若一个函数在点成立，就称在点左连续；若成立，就称在点为右连续．

（4）函数在x₀点连续的充要条件

．

（5）函数在某一开区间内连续的定义

对（a，b）内任何一点，都成立，则称函数在（a，b）内连续．

（6）对闭区间[a，b]来说，在[a，b]上连续的定义是指在（a，b）内连续，同时在左端点a右连续，在右端点b左连续，即

2．连续函数的性质和运算

（1）若都在点连续，则也在点连续．对商的情形，必须设

．

（2）设在严格单调增加（减少），并且在每点连续，又设则在区间

上，存在着的反函数，且在区间上也是单调增加（减少）和连续的．

（3）若u＝g（x）在点连续而在点连续，那么复合函数在点连续，即有也就是说，极限符号是可以与函数符号交换顺序的．

3．初等函数的连续性

（1）三角函数和反三角函数的连续性

在(内连续，由复合函数的连续性定理知道在内连续，由连续函数的运算知道，，，在它们的定义域内连续．

利用反函数的连续性定理知所有反三角函数在其定义域内也是连续的．

（2）指数函数和对数函数的连续性

在内连续．由的连续性及反函数的连续性，即可得知对数函数在定义域内连续．

（3）幂函数的连续性

①在内连续；

②当x在（-∞,0）的范围中时，只有当α是整数，或者

时才有定义，这时由的奇偶性和在的连续性可推出在内也连续．

（4）双曲函数的连续性

由的连续性以及连续函数的运算法则知所有的双曲函数在它的定义域内是连续的．

综上一切初等函数都在其定义域内连续．

4．不连续点的类型

（1）第一类不连续点

若存在，但不相等，就称为的第一类不连续点．

（2）第二类不连续点

若与中至少有一个不存在，就称x₀是的第二类不连续点．

（3）可移不连续点

若 ,即存在，但它不等于或在点没有定义，就称为可移不连续点．

5．闭区间上连续函数的性质

（1）闭区间上连续函数的性质

①有界性

闭区间[a，b]上的连续函数f（x），必在[a，b]上有界

②具有最大（最小）值

闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值，即在[a，b]内，至少有两点和，使得对[a，b]内的一切x，有

③零点存在定理

若f（x）在[a，b]上连续，且f（a）和f（b）异号，那么在[a，b]内至少有一点使，使函数值为零的自变量，称为函数的零点．

④介值定理

闭区间[a，b]上的连续函数f（x）可以取其最小值和最大值之间的一切值．即设f（x）在[a，b]上的最小值为m，最大值为M，那么，对任何，在[a，b]内至少有一个，使得．

（2）一致连续的定义

若函数f（x）在区间X（或开，或闭，或半开半闭）内满足对任意的，总能找到只与有关而与X内的点x无关的，使得对X内任意两点x₁和x₂，当时，总有，就称f（x）在X内一致连续．

（3）在某个区间内一致连续的函数显然在这个区间内必连续，但反过来，在一个开区间内连续的函数可能在这个开区间内不一致连续．

（4）康托尔（Cantor）定理

若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上一致连续．

四、无穷小量与无穷大量的阶

1．高阶无穷小量与低阶无穷小量

若或，则称y关于z是高阶无穷小量，也称z关于y是低阶无穷小量，记做y＝o（z）．

2．同阶无穷小量

若，就称y和z是同阶无穷小量，一般地，若存在常数A>0，B>0，变量y和z自某值以后有就称y和z是同阶无穷小量，记为或

3．等价无穷小量

时，称y，z是等价无穷小量，记为y～z．特别当时，y和az是等价无穷小量．又当y和z是等价无穷小量时同理，因此y-z关于z或y是高阶无穷小量，所以通常把z作为y（或把y作为z）的近似值．

4.k阶无穷小量

若以x作为基本无穷小量，则当y与x^k（k为某一正数）为同阶无穷小量时，称y为k阶无穷小量．特别当时，y为k阶无穷小量，此时y与等价，称为无穷小量y的主要部分．