第9章　需　求

1．假设偏好是相似的，证明：

Suppose preferences are homothetic. Show that

证明：相似偏好的效用函数有如下形式：

这里是单增函数，是一次齐次函数。特别的，由于效用函数的单调变换不改变它表示的偏好，所以一般情况下，可以直接假设是一次齐次函数。相似偏好的间接效用函数可以写成，根据罗伊恒等式就有：

从而：

比较上面两个式子可知：

2．某个特殊物品的需求函数是，求相关的直接和间接效用函数。

The demand function for a particular good is . What are the associated direct and indirect utility functions?

解：这是一个可积性问题。

将除物品外的其他所有物品统称为物品，是物品与物品z的相对价格，即将物品的价格正规化为1。令为收入，因此消费者预算约束可以写成：。

可积性方程为：

边界条件为：

求解微分方程可以得到：

是一个常整数，其中是以货币度量的间接效用函数。

由可得：，代入上式得：

货币度量的效用函数形式上是一个当固定不变时关于和的间接效用函数。因此，与已知的需求函数相一致的间接效用函数是：

由于不变，所以可以去掉。下面使用罗伊恒等式来检验这一间接效用函数与需求函数是一致的。

因此根据罗伊恒等式，有：

所以这一间接效用函数是与需求函数相对应的。根据消费者理论的对称性，可以求相应的直接需求函数：

将预算约束线带入目标函数得到关于的最优值：

因此直接效用函数为：

这是一个拟线性效用函数。

3．某个特殊物品的需求函数是，求相关的直接和间接效用函数。（提示：要完美地解答本题，你需要知道如何解答一个线性、非齐次微分方程。如果不记得如何做，你可以仅仅列出方程。）

The demand function for a particular good is . What are the associated direct and indirect utility functions? （Hint: You have to know how to solve a linear, nonhomogeneous differential equation to solve this problem completely. If you can’t remember how to do this, just write down the equation.）

解：由货币度量的间接效用函数的定义得：

求解齐次部分的解：

求解微分方程得到：

齐次部分的解具有的形式，非齐次方程的特解由下式给出：

所以微分方程的通解为：

由于得到：

因此，间接效用函数为：

可以用罗伊恒等式验证此处得到原需求函数。

因此这一间接效用函数是与需求函数相对应的。根据消费者理论的对称性，可以求相应的直接需求函数：

解出直接效用函数，最优值由下式给出：

将预算约束线带入目标函数得到关于的最优值：

4．两物品的需求函数是：

理论中隐含的对参数的限制是什么？求相关的货币测度效用函数。

The demand functions for two goods are

What restrictions on the parameters does the theory imply? What is associated money metric utility function?

答：由于这个需求函数是从效用最大化中得到的，因此相应的替代矩阵必然满足对称性和半负定性，由于：

所以可以得到，以及，下面求解货币测度的效用函数，它满足如下的偏微分方程组：

利用矩阵形式改写上述方程组得到：

其中，，从而解得：

5．求习题4中的直接效用函数。

What is the direct utility function for the previous problem?

解：这一间接效用函数是与需求函数相对应的。根据消费者理论的对称性，可以求相应的直接需求函数：

将预算约束方程代入目标函数，根据4的结果以及极值运算后解得：

将以上两式代入目标函数，得直接效用函数为：

6．用表示价格和收入，令。用罗伊恒等式导出表达式

Let  be prices and income, and let . Use Roy’s identity to derive the formula

答：罗伊恒等式为：

由题意可得：，对和求偏微分得：

根据罗伊恒等式即得：

Consider the utility function. . Is this utility function （weakly） separable in ? What is the subutility function for the -good consumption? What are the conditional demands for the -goods, given the expenditure on the -goods, ?

道格拉斯效用函数，所以相应的要素需求函数为：

8．存在两物品和，物品的消费需求函数是，其中是物品相对于物品的价格，表示货币收入除以物品的价格。

（a）求出导致这种需求行为的间接效用函数。

（b）这个可微方程式的边界条件是什么？

Two goods are available,  and . The consumer’s demand function for the -good is given by

, where  is the price of the -good relative to the -good, and  is money income divided by the price of the -good.

（a） What equation would you solve to determine the indirect utility function that would generate this demand behavior?

（b） What is the boundary condition for this differential equation?

答：（a）由函数的可积性问题可知货币度量的间接需求函数为：

通过求解这个方程就可以计算出消费者的间接效用函数。

（b）这个微分方程的边界条件是。

A consumer has a utility function .The prices of the three goods are given by

 and the money the consumer has to spend is given by m.

（a）It turns out that this utility function can be written in the form . What is the function

? What is the function ?

（b）What are the demand functions for the three goods?

（c）What is the indirect utility function?

解：（a）这是一个物品的归并问题。需要构造一个新的效用函数，只取决于。因此有：

（b）注意到商品和商品是互补的，而、和是相互替代的，所以每种商品的马歇尔需求函数为：

（c）由效用函数可以知道，消费束物品与物品与物品是相互替代的，因此间接效用函数为：

10．设存在两物品和，用表示物品1的价格，设物品2的价格等于1，用表示收入，物品1的消费需求是。

（a）求物品2的需求函数。

（b）求方程式，这个方程式可以计算产生需求函数的收入补偿函数。

（c）求与需求函数相关的收入补偿函数。

Suppose that there are two goods,  and . Let the price of good 1 be denoted by  and set the price of good 2 equal to 1. Let income be denoted by . A consumer’s demand for good 1 is given by

.

（a）What is the demand function for good 2?

（b）What equation would you solve to calculate the income compensation function that would generate these demand functions?

（c）What is the income compensation function associated with these demand functions?

解：（a）预算约束为：

求解得到：

将的需求函数代入上式得到：

（b）为了求解收入补偿函数，首先要求解用货币度量的间接效用函数，即要求解如下的微分方程：

（c）求解（b）中的方程可以得到：

下面分两种情况讨论收入补偿：

①希克斯补偿：即消费者得到补偿后可以达到和价格变化前相同的效用水平。由支出函数的性质可知：

从而解得：

②斯勒茨基补偿：即消费者得到补偿后可以购买到和价格变化前相同数量的消费品。即：

从而消费者的收入补偿为：

（a）What are the Marshallian （market） demand functions for each of the goods by each of the consumers? Denote the income of consumer 1 by  and the income of consumer 2 by

（b）For what value（s） of the parameter  will there exist an aggregate demand function that is independent of the distribution of income?

解：（a）由于间接效用函数是支出函数的反函数，因此解得间接效用函数为：

根据罗伊恒等式：

解得消费者1的马歇尔需求为：

可以看出这是柯布-道格拉斯需求函数。

消费者2：由消费者2的需求函数可以看出，第2个人具有柯布—道格拉斯效用，根据结论可以直接写出马歇尔需求：

（b）要使得存在一个总需求函数独立于收入的分配，必须满足两种物品的边际消费倾向相等，因此有：

，解得：。