五、计算题

1．已知某一时期内某商品的需求函数为，供给函数为。

（1）求均衡价格和均衡数量，并作出几何图形。

（2）假定供给函数不变，由于消费者收入水平提高，使需求函数变为。求出相应的均衡价格和均衡数量，并作出几何图形。

（3）假定需求函数不变，由于生产技术水平提高，使供给函数变为。求出相应的均衡价格和均衡数量，并作出几何图形。

（4）利用（1）、（2）和（3），说明静态分析和比较静态分析的联系和区别。

（5）利用（1）、（2）和（3），说明需求变动和供给变动对均衡价格和均衡数量的影响。 

解：（1）市场均衡时，供给等于需求，则：

均衡价格和均衡数量为：，。

图2-2  供求均衡

（2）需求函数为：；供给函数为：；联立可得：，。

图2-3  需求变化

（3）供给函数为：

需求函数为

联立可得：，。

图2-4  供给变化

（4）①静态分析是考察在既定条件下某一经济事物在经济变量的相互作用下所实现的均衡状态及其特征。也可以说，静态分析是在一个经济模型中根据给定的外生变量来求内生变量的一种分析方法。以（1）为例，在图2-2中，均衡点就是一个体现了静态分析特征的点。它是在给定的供求力量的相互作用下所达到的一个均衡点。在此，给定的供求力量分别用给定的供给函数和需求函数表示，均衡点具有的特征是：均衡价格为，且当时，有；同时，均衡数量为，。

也可以这样来理解静态分析：在外生变量包括需求函数中的参数（50，-5）以及供给函数中的参数（-10，5）给定的条件下，求出的内生变量分别为和。

依此类推，以上所描述的关于静态分析的基本要点，在（2）及其图2-3和（3）及其图2-4中的每一个单独的均衡点都得到了体现。

②比较静态分析是考察当原有的条件发生变化时，原有的均衡状态会发生什么变化，并分析比较新旧均衡状态。也可以说，比较静态分析是考察在一个经济模型中外生变量变化时对内生变量的影响，并分析比较由不同数值的外生变量所决定的内生变量的不同数值，以（2）为例加以说明。在图2-3中，由均衡点变动到均衡点，就是一种比较静态分析。它表示当需求增加即需求函数发生变化时对均衡点的影响。很清楚，比较新、旧两个均衡点和可以看到：由于需求增加导致需求曲线右移，最后使得均衡价格由6上升为7，同时，均衡数量由20增加为25。

也可以这样理解比较静态分析：在供给函数保持不变的前提下，由于需求函数中的外生变量发生变化，即其中一个参数值由50增加为60，从而使得内生变量的数值发生变化，其结果为，均衡价格由原来的6上升为7，同时，均衡数量由原来的20增加为25。

类似地，利用（3）及其图2-4也可以说明比较静态分析方法的基本要点。

（5）由（1）和（2）可见，当消费者收入水平提高导致需求增加，即表现为需求曲线右移时，均衡价格提高了，均衡数量增加了。

由（1）和（3）可见，当技术水平提高导致供给增加，即表现为供给曲线右移时，均衡价格下降了，均衡数量增加了。

一般地，在其他条件不变的情况下，需求变动分别引起均衡价格和均衡数量的同方向的变动；供给变动引起均衡价格的反方向的变动，引起均衡数量的同方向的变动。

2．某产品的市场需求函数为：，这里。

（1）求市场价格为时的需求价格弹性。

（2）当时，需求价格弹性为1.5，求市场价格为多少？并求此时的市场需求量。

（3）求价格上升能带来市场销售额增加的市场价格范围。

解：（1）价格为时的需求价格弹性为：。

（2）当时，。

解得：，。

（3）市场销售额为：。

对销售额求一阶导数，并令其大于0，因此得出使销售额增加的市场价格范围为：。

3．假定表1是供给函数在一定价格范围内的供给表。

（1）求出价格3元和5元之间的供给的价格弧弹性。

（2）根据给出的供给函数，求元时的供给价格点弹性。

表1  某商品的供给表

（3）根据该供给函数或供给表作出几何图形，利用几何方法求出元时的需求的价格点弹性。它与（2）的结果相同吗？

解：（1）价格3元和5元之间的供给价格弧弹性为：

（2）。

（3）如图2-5所示。，其中k是斜率。与（2）的结果相同。

图2-5

4．假定某商品市场上有100个消费者，其中，60个消费者购买该市场1/3的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为3；另外40个消费者购买该市场2/3的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为6。求：按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是多少？

解：个人需求价格弹性与市场需求价格弹性之间的关系可视为消费者在市场需求量的份额乘其需求价格弹性之和。数学证明如下（假设市场上有两个消费者，市场上有个消费者可类似推导）：

本题中，可将这100个消费者分为两类，其中60个需求价格弹性相同的消费者视为一类，需求价格弹性为3，所占市场需求份额为；其中40个需求价格弹性相同的消费者视为一类，需求价格弹性为6，所占市场需求份额为。因此，这100个消费者合起来的需求价格弹性为：

5．假定某消费者的需求的价格弹性，需求的收入弹性。求：

（1）在其他条件不变的情况下，商品价格下降2%对需求数量的影响。

（2）在其他条件不变的情况下，消费者收入提高5%对需求数量的影响。

解：（1）由于，于是将，代入，有：

所以在其他条件不变的情况下，价格降低2%使需求增加2.6%。

（2）由计算公式得：

因此，其他条件不变收入提高5%时，需求增加11%。

6．利用图阐述需求的价格弹性的大小与厂商的销售收入之间的关系，并举例加以说明。

答：商品的需求价格弹性与提供该商品的厂商的销售收入之间存在着密切的关系，归纳如下：

（1）对于的富有弹性的商品，降低价格会增加厂商的销售收入，相反，提高价格会减少厂商的销售收入，即商品的价格与厂商的销售收入成反方向的变动。这是因为，当时，厂商降价所引起的需求量的增加率大于价格的下降率。这意味着价格下降所造成的销售收入的减少量必定小于需求量增加所带来的销售收入的增加量。所以，降价最终带来的销售收入值是增加的。相反，在厂商提价时，最终带来的销售收入值是减少的。这种情况如图2-6（a）所示。

图2-6（a）中需求曲线上、两点之间是富有弹性的，两点之间的价格变动率引起一个较大的需求量的变动率。具体地看，当价格为，需求量为时，销售收入相当于矩形的面积；当价格为，需求量为时，销售收入相当于矩形的面积。显然，前者面积小于后者面积。这就是说，若厂商从点运动的点，则降价的结果会使销售收入增加；若从点运动到点，则提价的结果会使销售收入减少。

奢侈品就是极为典型的例子，厂商提价后，奢侈品的销售收入反而下降了。

（2）对于的缺乏弹性的商品，降低价格会使厂商的销售收入减少，相反，提高价格会使厂商的销售收入增加，即商品的价格与销售收入成同方向的变动。其原因在于：时，厂商降价所引起的需求量的增加率小于价格的下降率。这意味着需求量增加所带来的销售收入的增加量并不能全部抵消价格下降所造成的销售收入的减少量。所以，降价最终使销售收入值减少。相反，在厂商提价时，最终带来的销售收入值是增加的。用图2-6（b）说明这种情况。图（b）中需求曲线上、两点之间的需求是缺乏弹性的，两点之间价格变动率引起一个较小的需求量的变动率。价格分别为和时，销售收入分别为矩形的面积和矩形的面积，且前者面积大于后者面积。这就是说，当厂商降价，即由点运动到点时，销售收入是减少的；相反，当厂商提价，即由点运动到点时，销售收入增加。

农产品的需求价格弹性较小，厂商提价后，销售收入增加。

（3）对于的单一弹性的商品，降低价格或提高价格对厂商的销售收入都没有影响。这是因为，当时，厂商变动价格所引起的需求量的变动率和价格的变动率是相等的。这样一来，由价格变动所造成的销售收入的增加量或减少量刚好等于由需求量变动所带来的销售收入的减少量或增加量，所以，无论厂商是降价还是提价，销售收入值是固定不变的。如图2-6（c）所示。图中需求曲线上、两点之间为单一弹性。价格为时，销售收入即矩形的面积等于价格为时的销售收入即矩形的面积。显然，不管厂商是因降价由点运动到点，还是因提价由点运动到点，其销售收入量是不变的。

图2-6  需求弹性与销售收入