第1章　多项式[视频讲解]

1.1　本章要点详解

本章要点

■数域及其性质

■多项式运算及其运算性质

■整除的判别与性质

■最大公因式的存在性与求法

■不可约多项式与因式分解唯一性定理

■重因式的判别

重难点导学

一、数域

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1定义

设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，则称P为一个数域．

全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，这三个数域分别用字母Q，R，C来代表．全体整数组成的集合不是数域．

注：（1）如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中，则数集P对这个运算是封闭的．

（2）数域的等价定义：如果一个包含0，l在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称P为一个数域．

2性质

任意数域P都包括有理数域Q．

二、一元多项式

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1一元多项式的概念

（1）一元多项式的概念

设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，

其中a₀，a₁，…，a_n全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．

在多项式中，用f（x），g（x），…或f，g，…来代表多项式．

注：在多项式…中

①a_ixⁱ称为i次项，a_i称为i次项的系数；

②如果a_n≠0，则称a_nxⁿ为多项式的首项，a_n称为首项系数，n称为多项式的次数，多项式f（x）的次数记为：；

③系数全为零的多项式称为零多项式，记为0．零多项式是唯一不定义次数的多项式．

（2）多项式相等

如果在多项式f（x）与g（x）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，则称f（x）与g（x）相等，记为f（x）＝g（x）．

（3）多项式的运算

设…，…是数域P上两个多项式，即

，

①和运算：在表示多项式f（x）与g（x）的和时，如n≥m，在g（x）中令b_n＝b_n-1＝…＝b_m＋1＝0．则f（x）与g（x）的和为

  ②积运算：f（x）与g（x）的乘积为

其中s次项的系数是

所以f（x）g（x）可表成

（4）多项式运算性质

①数域P上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域P上的多项式．

②对于多项式的加减法

③对于多项式的乘法，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的成积；如果f（x）≠0，g（x）≠0，故f（x）g（x）≠0，并且．

④加法交换律：f（x）＋g（x）＝g（x）＋f（x）．

⑤加法结合律：（f（x）＋g（x））＋h（x）＝f（x）＋（g（x）＋h（x））．

⑥乘法交换律：f（x）g（x）＝g（x）f（x）．

⑦乘法结合律：（f（x）g（x））h（x）＝f（x）（g（x）h（x））．

⑧乘法对加法的分配律：f（x）（g（x）＋h（x））＝f（x）g（x）＋f（x）h（x）．

⑨乘法消去律：如果f（x）g（x）＝f（x）h（x）且f（x）≠0，那么g（x）＝h（x）．

2一元多形式环

所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．

三、整除的概念

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1带余除法

对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是唯一决定的．

带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式．

2整除定义

数域P上的多项式g（x）称为整除f（x），如果有数域P上的多项式h（x）使等式

f（x）＝g（x）h（x）成立．g（x）整除f（x）记为g（x）丨f（x），g（x）不能整除f（x）记为．

当g（x）丨f（x）时，g（x）称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．

3整除的判别

对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．

注：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，能整除任一个多项式．

4整除的性质

（1）若f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），则f（x）＝cg（x），其中c为非零常数；

（2）整除的传递性：若f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），则f（x）丨h（x）；

（3）若f（x）丨g_i（x），i＝1，2，…，r，则f（x）丨（u₁（x）g_l（x）＋u₂（x）g₂（x）＋…＋u_r（x）g_r（x）），其中u_i（x）是常数域P上任意的多项式．

（4）整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．

四、最大公因式

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1公因式和最大公因式

（1）公因式

若多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，则称为f（x）与g（x）的一个公因式．

（2）最大公因式

设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式，若它满足下面两个条件

①d（x）是f（x），g（x）的公因式；

②f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式．

若等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，则f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．

2最大公因式的存在性与求法

（1）定理

对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使

d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）

（2）求法

可用辗转相除法来求最大公因式．

注：两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的．

3互素

（1）定义

P[x]中两个多项式f（x），g（x）称为互素（也称互质）的，若（f（x），g（x））＝1．

（2）互素的判定与性质

①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1．

②若（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），则f（x）丨h（x）．

③如果f₁（x）丨g（x），f₂（x）丨g（x），且（f₁（x），f₂（x））＝1，则f₁（x）f₂（x）丨g（x）．

五、因式分解定理

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1不可约多项式

（1）定义

数域P上次数≥l的多项式p（x）称为域P上的不可约多项式，如果它不能表成数域P上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积．

注：一次多项式总是不可约多项式．

（2）重要性质

①如果p（x）是不可约多项式，对于任意的两个多项式f（x），g（x），若p（x）丨f（x）g（x），则p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．

②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f₁（x），f₂（x），…，f_s（x）的乘积f₁（x），f₂（x），…，f_s（x），则p（x）一定整除这些多项式之中的一个．

2因式分解及唯一性定理

（1）唯一性定理

数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．唯一性表示，如果有两个分解式f（x）＝p₁（x）p₂（x）…p_s（x）＝q₁（x）q₂（x）…q_s（x），则必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有p_i（x）＝c_iq_i（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．

（2）标准分解式

f（x）总可分解为

其中c是f（x）的首项系数，p₁（x），p₂（x），…，p_s（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r₁，r₂，…，r_s是正整数，这种分解式称为标准分解式．

六、重因式

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1重因式

不可约多项式p（x）称为f（x）的k重因式．如果，而．

如果k＝0，则p（x）根本不是f（x）的因式；如果k＝1，则p（x）称为f（x）的单因式；如果k＞1，则p（x）称为f（x）的重因式．

2重因式的判别

（1）如果不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），则它是微商的k－1重因式．

（2）不可约多项式p（x）是f（x）的重因式的充分必要条件为p（x）是f（x）与的公因式．

（3）多项式f（x）没有重因式的充分必要条件是f（x）与互素．