第2章　行列式[视频讲解]

2.1　本章要点详解

本章要点

■排列

■行项式性质与计算

■行列式按一行（列）展开

■克拉默法则

重难点导学

一、引言

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对于二元线性方程组

当a₁₁a₂₂－a₁₂a₂₁≠0时，此方程组有唯一解．即

，

称a₁₁a₂₂－a₁₂a₂₁为二级行列式，用符号表示为

于是上述解可以用二级行列式叙述为

当二级行列式

时，该方程组有唯一解，即

二、排列

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1定义

由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列．

2逆序数

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称它们为一个逆序．一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．

3奇排列与偶排列

逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列．

注：在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!/2个．

三、n级行列式

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1行列式定义

n级行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，即可写成

主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式．

四、n级行列式的性质

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1性质1

行列互换，行列式不变．

2性质2

如果行列式中一行为零，则行列式为零．

3性质3

如果某一行是两组数的和，则这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样．

4性质4

如果行列式中有两行相同，则行列式为零．

5性质5

如果行列式中两行成比例，则行列式为零．

6性质6

把一行的倍数加到另一行，行列式不变．

7性质7

对换行列式中两行的位置，行列式反号．

五、行列式的计算

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1矩阵的行列式

由sn个数排成的s行（横的）n列（纵的）的表

称为一个s×n矩阵．

n×n矩阵也称n级方阵．一个n级方阵

定义一个n级行列式

称为矩阵A的行列式，记作．

2矩阵的初等变换

（1）初等行变换

①以P中一个非零的数乘矩阵的某一行；

②把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中任意一个数；

③互换矩阵中两行的位置．

（2）初等列变换

①以数域P中一非零数乘矩阵的某一列；

②把矩阵的某一列的c倍加到另一列．这里c是P中任意一个数；

③互换矩阵中两列的位置．

六、行列式按一行（列）展开

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1余子式与代数余子式

在行列式

中划去元素a_ij所在的第i行与第j列，剩下的（n－1）²个元素按原来的排法构成一个n－1阶的行列式

称为元素a_ij余子式，记为M_ij．

元素a_ij的代数余子式记为A_ij，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零．

2行列式的值

（1）基本计算

设

A_ij表示元素a_ij的代数余子式，则下列公式成立

（2）范德蒙德行列式

称为n级的范德蒙德行列式．

七、克拉默法则

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如果线性方程组

（2-1）

的系数矩阵

（2-2）

的行列式，则线性方程组（2-1）有解，并且解是唯一的，解为

其中d_j是把矩阵A中第j换成方程组的常数项b₁，b₂，…，b_n，所成的矩阵的行列式，即

称为克拉默法则．