第3章　线性方程组[视频讲解]

3.1　本章要点详解

本章要点

■n维向量空间

■线性相关性

■极大无关组

■矩阵的秩的计算

■线性方程组有解判别定理

■线性方程组解的结构

重难点导学

一、消元法

视频二维码（扫码观看）

1初等变换

（1）用一非零的数乘某一方程；

（2）把一个方程的倍数加到另一个方程；

（3）互换两个方程的位置，

称为线性方程组的初等变换．

2消元法解方程组的过程

（1）首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出现）去掉；

（2）如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，则方程组无解，否则有解；

（3）在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，则方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数，小于未知量的个数，则方程组就有无穷多个解．

3定理

在齐次线性方程组

中，如果s＜n，则它必有非零解．

二、n维向量空间

视频二维码（扫码观看）

1n维向量的概念

（1）定义

由数域P中n个数组成的有序数组

（a₁，a₂，…，a_n） （3-1）

称式（3-1）为数域P上一个n维向量，a_i称为向量（3-1）的分量．用小写希腊字母α，β，γ，…来代表向量．

（2）向量相等

如果n维向量α＝（a₁，a₂，…，a_n），β＝（b₁，b₂，…，b_n）的对应分量都相等，即

a_i＝b_i（i＝1，2，…，n），则称这两个向量是相等的．记作α＝β．

（3）特殊向量

分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0；向量（－a₁，－a₂，…，－a_n）称为向量α＝（a₁，a₂，…，a_n）的负向量，记为－α．

2n维向量的运算

（1）定义

向量γ＝（a₁＋b₁，a₂＋b₂，…，a_n＋b_n），称为向量α＝（a₁，a₂，…，a_n），β＝（b₁，b₂，…，b_n）的和，记为γ＝α＋β设k为数域P中的数，向量（ka₁，ka₂，…，ka_n）称为向量α＝（a₁，a₂，…，a_n）与数k的数量乘积，记为kα．

（2）向量运算的基本性质

①（交换律）α＋β＝β＋α；

②（结合律）α＋（β＋γ）＝（α＋β）＋γ；

③α＋0＝α；

④α＋（－α）＝0；

⑤α－β＝α＋（－β）；

⑥k（α＋β）＝kα＋kβ；

⑦（k＋l）α＝kα＋lα；

⑧k（lα）＝（kl）α；

⑨1α＝α．

3n维向量空间

以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间．记作Pⁿ．

三、线性相关性

视频二维码（扫码观看）

1线性组合

向量α称为向量组β₁，β₂，…，β_s的一个线性组合，如果有数域P中的数k₁，k₂，…，k_s使α＝k₁β₁＋k₂β₂＋…＋k_sβ_s，也称α可以经向量组β₁，β₂，…，β_s线性表出．

注：零向量是任一向量组的线性组合．

2向量组等价

（1）定义

如果向量组α₁，α₂，…，α_t中每一个向量α_i（i＝1，2，…，t）都可以经向量组β₁，β₂，…，β_s线性表出，则向量组α₁，α₂，…，α_t称为可以经向量组β₁，β₂，…，β_s线性表出．如果两个向量组互相可以线性表出，称为等价．

（2）性质

①反身性：每一个向量组都与它自身等价．

②对称性：如果向量组α₁，α₂，…，α_s与β₁，β₂，…，β_t等价，则向量组β₁，β₂，…，β_t也与α₁，α₂，…，α_s等价．

③传递性：如果向量组α₁，α₂，…，α_s与β₁，β₂，…，β_t等价，β₁，β₂，…，β_t与γ₁，γ₂，…，γ_p等价，则向量组α₁，α₂，…，α_t与γ₁，γ₂，…，γ_p等价．

3线性相关性

（1）线性相关

如果向量组α₁，α₂，…，α_s（s≥2）中有一个向量可以由其余的向量线性表出，则称向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关．

定义的另一种表述为：向量组α₁，α₂，…，α_s（s≥1）称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，使

k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝0

（2）线性无关

一向量组α₁，α₂，…，α_s（s≥1）不线性相关，即没有不全为零的数k₁，k₂，…，k_s使

k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝0

则称为线性无关；或者称向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关．

（3）线性相关性的有关性质

①单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．

②一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关．

③如果一向量组线性无关．则它的任何一个非空的部分组也线性无关．

④如果一向量组的一部分线性相关，则这个向量组就线性相关．

⑤设α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_s是两个向量组，如果

a．向量组α₁，α₂，…，α_r可以经β₁，β₂，…，β_s线性表出；

b．r＞s，

则向量组α₁，α₂，…，α_r必线性相关．

⑥如果向量组α₁，α₂，…，α_r可以经向量组β₁，β₂，…，β_s线性表出，且α₁，α₂，…，α_r线性无关，则rs．

⑦任意n＋1个n维向量必线性相关．

⑧两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量．

视频二维码（扫码观看）

4极大无关组

（1）定义

一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组．如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关．

注：①向量组的极大线性无关组不是唯一的；

②每一个极大线性无关组都与向量组本身等价；

③一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的；

④一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量．

（2）向量组的秩

向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩．

注：①一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同．

②等价的向量组必有相同的秩．

③含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组，全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组．规定这样的向量组的秩为零．

四、矩阵的秩

视频二维码（扫码观看）

1矩阵的行秩、列秩、秩

（1）定义

矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩．

（2）定理

①矩阵的行秩与列秩相等．

②n×n矩阵

的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n．

③齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵

的行列式等于零．

2矩阵的秩的有关结论

（1）定理

设，则

（2）k级子式

①定义

在一个s×n矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的k²个元素按原来的次序所组成的k级行列式，称为A的一个k级子式．

②定理

一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有r＋1级子式全为零．

3矩阵秩的计算

（1）方法一

按定义求出A的行(列)向量组的秩．

（2）方法二

利用k级子式的定理，A的秩等于A中非零子式的最大级数．

（3）方法三

用初等变换化A为阶梯阵J，A的秩等于J中非零行的行数．

五、线性方程组有解判别定理

视频二维码（扫码观看）

线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵

与增广矩阵

有相同的秩．

六、线性方程组解的结构

视频二维码（扫码观看）

1齐次线性方程组解的结构

　（3-2）

（1）解的性质

①两个解的和还是方程组的解

设（k₁，k₂，…，k_n）与（l₁，l₂，…，l_n）是方程组（3-2）的两个解，故把它们代入方程组，每个方程成恒等式，即

把两个解的和

　（3-3）

代入方程组，得

（i＝1，2，…，s）

这说明式（3-3）是方程组的解．

②一个解的倍数还是方程组的解

设（k₁，k₂，…，k_n）是方程组（3-3）的一个解，则（ck₁，ck₂，…，ck_n）还是方程组的解，因为

（2）解空间

设为齐次线性方程组（3-2）的全体解向量所成集合，则

①；

②．

即关于解的线性运算封闭，所以是一个向量空间，称之为齐次线性方程组（3-2）的解空间．

（3）基础解系

齐次线性方程组（3-2）的一组解η₁，η₂，…，η_t称为（3-2）的一个基础解系，如果

①方程组（3-2）的任一个解都能表成η₁，η₂，…，η_t的线性组合；

②η₁，η₂，…，η_t线性无关．

（4）基础解系的存在性

在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数

等于n－r，其中n是未知量的个数，r为A的秩．

（5）齐次线性方程组解的结构

若η₁，η₂，…，η_t为齐次线性方程组（3-2）的一个基础解系，则方程组（3-2）的一般解（或通解）为

2一般线性方程组解的结构

设线性方程组

　（3-4）

则齐次线性方程组

　（3-5）

称为方程组（3-4）的导出组．

（1）解的性质

①非齐次线性方程组（3-4）的两个解的差为其导出组（3-5）的解．

②非齐次线性方程组（3-4）的一个解与其导出组（3-5）的一个解的和仍为（3-4）的解．

（2）非齐次线性方程组解的结构

如果是方程组（3-4）的一个特解，则方程组（3-4）的任一个解都可以表成，其中η是导出组（3-5）的一个解．