第1章　行列式[视频讲解]

1.1　本章要点详解

本章要点

■二阶与三阶行列式

■全排列及其逆序数

■n阶行列式的定义

■行列式的性质

■行列式按行（列）展开

■克拉默法则

重难点导学

一、二阶与三阶行列式

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1二阶行列式

将四个数，，，按一定位置，排成二行二列的数表

则表达式就是数表的二阶行列式，并记作

2三阶行列式

设有9个数排成3行3列的数表

记

该式称为数表所确定的三阶行列式．

二、全排列和逆序数

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1全排列

把n个不同的元素排成一列，称为这n个元素的全排列．n个不同元素的所有排列的种数，通常用P_n表示．

2逆序数

（1）逆序数定义

对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如，个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说构成1个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数．

（2）分类

逆序数是奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列称为偶排列．

（3）逆序数的计算

设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序．设为这n个自然数的一个排列，考虑元素，如果比p_i大的且排在p_i前面的元素有t_i个，则称p_i这个元素的逆序数为t_i．全体元素的逆序数的总和

即是这个排列的逆序数．

三、n阶行列式

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1定义

称为n阶行列式，简记作，其中数a_ij为行列式D的第（i，j）元素．

2两类典型的n阶行列式

（1）下三角形行列式

（2）对角行列式

四、对换

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1定义

对换是在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动．将相邻两个元素对换称为相邻对换．

2性质

(1)排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．

(2)奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数．

五、行列式的性质

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1行列式与它的转置行列式相等．

2对换行列式的两行（列），行列式变号．

3如果行列式有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．

4行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数k，等于用数k乘此行列式．

5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可以将该行列式拆分成两个行列式之和．

6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变．

六、行列式按行（列）展开

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1余子式与代数余子式

在n阶行列式中，把（i，j）元a_ij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n－1阶行列式称为（i，j）元a_ij的余子式，记作M_ij，记

A_ij称为（i，j）元a_ij的代数余子式．

2定理

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

或

3范德蒙德行列式

4代数余子式的推论

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零．即

或

5代数余子式的重要性质

或．

七、克莱默法则

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如果线性方程组

的系数行列式不等于0，即

那么线性方程组有解并且解释唯一的，解可以表示成

其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即

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