上篇　物　理

第1章　力　学

1.1　考点精讲

一、力

1．力的概念

（1）力的三要素

力的三个要素是大小、方向和作用点。力既有大小，又有方向。

（2）力的图示

力的图示就是把力表示为一根带箭头的有向线段。线段的长度按一定的标度画出，表示力的大小；箭头的指向表示力的方向；箭头或箭尾表示力的作用点。力的方向所沿的直线叫做力的作用线。

（3）矢量和标量

既有大小又有方向的量称为矢量，只有大小而没有方向的量称为标量。

2．常见的力

（1）万有引力

宇宙中任何有一定质量的物体之间都存在着相互吸引力，叫做万有引力。万有引力定律可以表述为：两个物体间引力的大小，跟它们质量的乘积成正比，跟它们之间距离的平方成反比，即为

　  　（1.1）

式中m₁和m₂分别表示两物体的质量，单位为千克，符号为kg；r表示它们之间的距离，单位为米，符号为m；力F的单位为牛顿，简称牛，符号为N；G＝6.67×10－11N·m2／kg2，叫做万有引力常量。

（2）重力

地球与地面上的物体之间也有万有引力作用。在忽略地球自转影响的前提下，物体由于地球的吸引而受到的力叫重力。，重力的大小是

G＝mg  　 （1.2）

式中m为物体的质量，g为重力加速度。

重力的大小也叫做物体的重量。重力的方向总是竖直向下。重力的作用点是物体的重心。对于质量分布均匀的物体，重心位置只决定于它的形状，如果物体的形状具有对称中心，则重心在对称中心上。

（3）弹力

相互接触的两个物体，只要发生了形变，就有弹力相互作用。

弹力方向判断：不论接触面是否光滑，两个相互接触的物体之间的弹力方向总是垂直于接触面。

（4）静摩擦力

两个相互接触的物体，虽有相对运动趋势，但仍保持相对静止时，接触面上会产生一种阻碍相对运动趋势的力，叫做静摩擦力。

静摩擦力具有一个最大的数值，叫做最大静摩擦力。

静摩擦力的方向与接触面相切，并且与物体相对运动趋势的方向相反，它的大小可以根据物体的平衡条件求解。

（5）滑动摩擦力和动摩擦因数

两个相互接触的物体，在发生相对运动时，接触面上会产生一种阻碍相对运动的力，叫做滑动摩擦力。

滑动摩擦力的方向与接触面的公切面相切，并且与物体相对运动的方向相反。它的大小为

F_f＝μF_N （1.3）

式中F_N是正压力，μ是两物体之间的滑动摩擦因数。

【例】如下图所示，物块在拉力的作用下在水平面上做匀速直线运动。已知F的大小为物块重量的，F与水平方向的夹角为30°，求物块与水平面间的滑动摩擦因数。

【答案】0.58

【解析】物块受四个作用力：重力G，地面支持力F_N，拉力F，摩擦力F_f。受力示意图如下图所示。物块做匀速直线运动，处于平衡状态。

根据平衡条件，在竖直方向有

F_N ＋Fsin30°－G＝0　 （1）

在水平方向有Fcos30°－F_f＝0

把F_f＝μF_N，代入上式得

Fcos30°－μF_N＝0   （2）

把式（1）×μ后与式（2）相加得

μ（Fsin30°－G）＋Fcos30°＝0

解得。

按题意，代入上式得

3．力的运算法则

（1）力的合成与分解

①力的合成：如果一个力的作用效果与几个力共同作用时产生的效果相同，就称这个力是那几个力的合力。

②力的分解：求一个力的分力叫做力的分解。在力学问题中，一个力与它的所有分力的效果是等价的。

（2）力的平行四边形法则

①平行四边形法则

共点力的合成和分解遵循平行四边形法则。平行四边形法则是：把两个共点力F₁、F₂作为邻边构成一个平行四边形，这两个邻边之间的对角线就是F₁、F₂的合力F。力的合成结果是唯一的，如图1-1（a）所示。

 

图1-1

反过来，把一个力F作为对角线构成一个平行四边形，该平行四边形的两个邻边就是F的两个分力F₁和F₂。由于对角线相同的平行四边形有无限多个，因此一个力的分解结果不是唯一的，如图1-1（b）所示。

②互相垂直的力的合成和分解

力学问题中经常用到的是互相垂直的两个力的合成和分解，对此可以用直角三角形的知识进行计算。

图1-2

如图1-2所示，设OA和OB是选定的两个互相垂直的方向。把力F沿这两个方向分解，可以得到两个互相垂直的分力：OA方向的分力的大小为

F₁＝Fcosa  　 （1.4）

OB方向的分力的大小为

F₂＝Fsina  　 （1.5）

反过来，当两个分力F₁和F₂互相垂直时，其合力F的大小为

　（1.6）

方向可用F与OA的夹角α表示，α由下式给出

（1.7）

一切矢量的合成或分解都按照平行四边形法则进行，互相垂直的力的合成和分解是平行四边形法则的特例。

【例】物体受到互相垂直的两个力F₁、F₂的作用，若两力大小分别为5N、５N，求这两个力的合力。

【答案】10N，合力的方向与F₁的夹角θ为30°。

【解析】根据平行四边法则作出平行四边形，如下图所示，由于F₁、F₂相互垂直，所以作出的平行四边形为矩形，对角线分成的两个三角形为直角三角形。

由勾股定理得

N＝10N

合力的方向与F₁的夹角θ为

，θ＝30°

4．物体的受力分析

求解力学问题时，首先要分析物体的受力情况，画受力图。受力情况分析的一般步骤如下：

（1）确定研究对象；

（2）找出与研究对象相互作用的一切物体，并由此确定研究对象受到的一切力；

（3）画受力图。把讨论对象所受到的一切力，按力的图示法画出。在画受力图时，要注意正确地画出各个已知力的方向和大小。

特别指出，在受力图中需把物体实际受到的力画出来，不能把合力或分力代替实际的力画在受力图上。

【例】物体在粗糙的斜面上向下运动，则在下图中的四个受力图中正确的是（　　）。

A．（a）

B．（b）

C．（c）

D．（d）

【答案】B

【解析】物体受到重力G作用，G的方向竖直向下。因为物体与斜面接触，所以斜面对物体有垂直于斜面向上的支持力F_N的作用。按题意，斜面是粗糙的，因此物体在沿斜面方向还受到摩擦力作用。因为物体的相对运动方向沿斜面向下，所以滑动摩擦力的方向沿斜面向上。

5．共点力平衡的条件

（1）平衡的含义

物体的平衡是指物体处于静止状态或做匀速直线运动状态。

（2）平衡条件

物体的平衡条件是作用在物体上的所有外力的合力等于零，即合外力为零。

在解题时，常把物体受到的各个力，沿相互垂直的两个方向分解。这样，上述的平衡条件可以简化为：作用在物体上的各个力，在两个相互垂直方向上的分力之和分别等于零。

【例】如下图a所示，重量为G、半径为R的小球，用长为R的细绳挂在光滑的竖直壁面A处，则细绳的拉力F_T＝____，壁面对小球的弹力F_N＝______。

【答案】1.15G；0.58G

【解析】小球的受力情况如下图b所示。重力G竖直向下，壁面对小球的弹力F_N，水平向右，细绳的拉力F_T的方向沿绳向上。这三个力的作用线都通过球心O。

图a 　　　　　　  图b

小球在共点力G、F_N和F_T作用下平衡，把拉力F_T分解为水平方向和竖直方向的两个分力

F_T1＝F_Tsinα　  （1）

F_T2＝F_Tcosα　  （2）

由平衡条件，水平方向有

F_N－F_T1＝0 （3）

竖直方向有

F_T2－G＝0 （4）

考虑到

由式（2）、（4）解得

由式（1）、（3）解得

（3）一对平衡力的概念

如果一个物体只受两个力的作用而处于平衡状态，则称这两个力为一对平衡力。一对平衡力的大小相等、方向相反，作用在同一条直线上。

一对平衡力与一对作用力和反作用力是不同的概念，前者是作用在同一个物体上的一对力，后者是作用在两个不同物体上的相互作用力。

二、直线运动

1．质点参照物

（1）质点

不计物体各部分运动状况的差别而把它看成一个点，这个用来代替物体的有质量而没有大小的点称为质点。

（2）参照物

在判断物体是否运动时，要选一个假定静止的物体作为标准，这个标准物体叫参照物。选取不同的物体做参照物时，观察到的运动情况不一定相同。这表明物体的运动或静止具有相对性。

2．位移和路程

（1）位移

物体从一个位置A运动到另一个位置B时，会产生位移，位移就是从初位置A指向末位置B的有向线段。位移既有大小又有方向，是一个矢量。位移只与物体的初、末位置有关。在图1-3中，物体的运动轨迹是曲线ACB，而位移是矢量。

（2）路程

物体运动轨迹ACB的长度叫做路程。路程只有大小没有方向，是一个标量。路程不但与物体的初、末位置有关，还与物体在这两个位置间的运动轨迹有关。

图1-3

（3）位移与路程的区别

①位移是矢量，路程是标量

②位移的大小与路程一般不相等。在曲线运动中，位移的大小是由起点引向终点的直线段的长度，路程是始、末两点间的曲线段之间的长度，两者不相等。

③只有在物体做直线运动，运动方向始终保持不变时，位移的大小才与路程相等。

3．匀速直线运动

（1）匀速直线运动

在任何相等的时间里位移都相等的直线运动，叫做匀速直线运动。

（2）速度

在匀速直线运动中，时间t内的位移s与t成正比，这个比值叫做速度，即有

　 　 （1.8）

匀速直线运动的速度是恒矢量，它的大小等于质点在单位时间里通过的位移。

（3）速率

速度的大小是速率，它表示物体运动的快慢。速率只取正值。

（4）匀速直线运动的位移公式

s＝vt　 　（1.8′）

（5）匀速直线运动的位移图像和速度图像

①位移-时间图像（s-t图）

表示位移和时间之间关系的图像叫做位移时间图像，简称位移图像。位移图像以时间t为横轴，以位移s为纵轴。

②速度-时间图像（v-t图）

表示速度与时间之间关系的图像叫做速度时间图像，简称速度图像。速度图像以时间t为横轴，以速度v为纵轴。因为匀速直线运动的速度恒定，所以它的速度图像为一根与横轴平行的直线段。直线所对应的纵坐标就是速率。

4．变速直线运动

（1）变速直线运动

在相等的时间里位移不相等的直线运动，叫做变速直线运动。

（2）平均速度

物体的位移s和发生这段位移所经历的时间t的比值，叫做质点在这段时间内的平均速度，用v­­表示，即

　  　（1.9）

对于变速运动，在不同的时间内，平均速度是不同的。在说平均速度时，必须指明是哪段时间内的平均速度。

（3）瞬时速度

质点在某一时刻的速度，叫做该时刻的瞬时速度，简称速度，用表示。显然，变速直线运动是瞬时速度变化的运动，匀速直线运动是瞬时速度恒定的运动。

瞬时速度的大小叫做瞬时速率，它表示该时刻质点运动的快慢。

（4）变速直线运动的位移公式

s＝t　  　（1.9′）

式中t是质点运动的一段时间，是相应时间内的平均速度，s是相应时间内的位移。

【例】物体M从A运动到B，前半程平均速度为v₁，后半程平均速度为v₂，那么全程的平均速度是（　　）。

A．（v₁＋v₂）/2

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】全程的平均速度。

5．匀变速直线运动

（1）匀变速直线运动

在任何相等的时间内，速度变化量都相等的直线运动，叫做匀变速直线运动。匀变速直线运动是最简单的变速直线运动。

（2）加速度

对于匀变速直线运动，在时间t内的速度改变量v_t－v₀与t成正比，它们的比值叫做加速度，用a表示，即有

匀加速直线运动的加速度是恒矢量，它等于单位时间内质点速度的变化量。

（3）匀变速直线运动的公式

速度公式

v_t＝v₀＋at　 　（1.10）

位移公式

s＝v₀t＋ 　（1.11）

速度-位移公式

v_t2＝v₀2＋2as　 （1.12）

在以上各式中，t是时间，v₀是初始时刻的速度（简称初速度），v_t是时刻t的瞬时速度，s是时间t内的位移，a是加速度。

对于初速度为零的匀变速直线运动，只要在上列各式中代入v₀＝0，即可得到一组相应的公式：

速度公式

v_t＝at   （1.10＇）

位移公式

s＝  （1.11＇）

速度-位移公式

v_t2＝2as  （1.12＇）

当物体做匀变速直线运动时，由位移公式得到它的平均速度是

　  （1.13）

对于初速度为零的匀加速直线运动，则有

这个公式只适用于匀变速直线运动，对一般的变速直线运动是不成立的。

在使用以上各公式时，还要注意加速度a的符号。加速度a的正负是这样规定的：以物体的运动方向为正方向，速度在增大的匀变速直线运动，加速度沿正方向，a＞0，这种运动称为匀加速直线运动；速度在减小的匀变速直线运动，加速度沿负方向，a＜0，这种运动称为匀减速直线运动。

（4）匀变速直线运动的速度-时间图像

匀变速直线运动的速度图像是一条倾斜的直线段，它起点的纵坐标表示了运动的初速度v₀，直线的斜率在数值上等于匀变速直线运动的加速度。

根据速度图像可以求出质点在任何时刻的速度，反过来也可以由速度图像求出质点速度达到某一值所需的时间。根据速度图像还可以求出任何时间间隔内的位移。

6．自由落体运动和重力加速度

（1）自由落体运动

物体在重力作用下，从静止开始下落的运动叫做自由落体运动。

（2）重力加速度

自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。由于加速度是物体受重力作用而产生的，因此叫重力加速度，用g表示。

重力加速度的方向竖直向下。地球上不同的地点，g的值不同。在一般计算中常取g＝9.8m／s2，粗略计算时可取g＝10m／s2。

（3）自由落体运动的公式

自由落体运动的方向竖直向下。在匀变速直线运动的公式中代入v₀＝0，a＝g，就可得自由落体运动的公式。

速度公式

v_t＝gt （1.14）

位移公式

　  　（1.15）

速度-位移公式

v_t2＝2gh　  （1.16）

自由落体运动在t时间内的平均速度为

此外，自由落体运动的落地速度是

　  （1.17）

落地所需时间是

　 　（1.18）

以上公式中h是下落的距离，h_E是物体开始下落时离地面的高度。

【例】小球做自由落体运动，落地时间是4s，小球下落过程中后2s内通过的位移是（　　）。（取g＝10m／s2）

A．40m

B．60m

C．20m

D．30m

【答案】B

【解析】小球下落的高度

因为位移与时间的平方成正比，所以前2s内的位移是

由此得后2s内小球的位移是

三、牛顿运动定律

1．牛顿第一定律

（1）牛顿第一定律

【定律】一切物体，如果没有受到外力作用，则总是保持静止状态或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种运动状态为止。

（2）惯性

物体保持其原有运动状态的性质叫惯性。惯性是物体的固有属性，一切物体，不论是否受力，不论运动情况如何，都具有惯性。惯性的大小由质量来量度。

【例】如下图所示，车厢中悬挂着一个质量为m的小球A，它离车厢地板的高度h＝0.8m，当车厢沿水平方向匀加速运动时，绳子与竖直方向的夹角θ＝37°。现在把绳子剪断，问当A落在地板上时，车厢比小球多前进了多少距离。（取）

【答案】0.6m

【解析】以小球为研究对象，它受重力和绳子拉力的作用，根据绳子与竖直方向的夹角θ可以决定车厢运动的加速度，当绳子剪断后，根据惯性定理，小球做平抛运动，而车厢继续做匀加速直线运动。

小球的受力图如上图所示，列力的平衡方程，有

F₁cosθ－mg＝0，F₁sinθ＝ma

得

  （1）

剪断绳子后小球做平抛运动，它落地的时间是

　  （2）

设绳子剪断时小球和车厢的速度为v₀，则小球落地时水平方向的位移为

S_球＝v₀t

车厢在t时间内前进的位移为

因此车厢比小球多前进了

把式（1）、（2）代入上式得

2．牛顿第二定律

（1）牛顿第二定律

【定律】当物体所受的合外力不等于零时，物体就要产生加速度，加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同，即

  　（1.19）

式中的F指物体所受的合外力。

牛顿第二定律指出，力是改变物体运动状态、使物体产生加速度的原因。做变速直线运动或曲线运动的物体，其速度大小或方向不断地变化，它所受到的合外力必不为零。

（2）质量

质量是物体所含物质多少的量度。根据牛顿第二定律，在相同的外力作用下，质量越大的物体加速度越小，运动状态越难改变，即惯性越大。

（3）质量和重量的联系与区别

质量和重量的关系可由牛顿第二定律得到。重量是使物体产生重力加速度的原因，因此

G＝mg  （1.20）

质量和重量的区别首先在于前者是标量而后者是矢量；此外，在地点改变时，质量不变，而重量则是改变的。

【例】电梯里放置一个弹簧秤，秤上挂着一个质量为1kg的物体。电梯以2m／s2的加速度上升，弹簧秤的读数是（　　）。

A．9.8N

B．7.8N

C．11.8N

D．0

【答案】C

【解析】根据题意，物体的加速度向上，由牛顿第二定律知，物体所受的合外力向上。因此，弹簧秤对物体的拉力F大于物体的重力G，即F＞mg＝9.8N。

3．牛顿第三定律

【定律】物体间的作用是相互的，作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在同一直线上。

一对作用力和反作用力必定是性质相同的力，它们同时出现、同时消失，并且分别作用在两个物体上。

4．牛顿定律的应用

（1）常见的动力学问题基本上可以分成两类：

①已知物体的受力情况，求解运动情况；

②已知物体的运动情况，求解受力情况。

还有一些动力学问题是上面两类问题的混合，即已知物体的一些受力情况和运动情况，求解另一些物体的受力情况和运动情况。

（2）解动力学问题的一般步骤：

①确定研究对象；

②分析研究对象的受力情况，并画出它的受力图；

③根据物体的受力图，应用力的分解方法把物体所受的各个力沿两个相互垂直的方向分解。通常，选取物体的运动方向和与运动方向垂直的方向作为分解力的两个方向。同样，把物体的加速度矢量也在这两个方向上分解。如果选x轴沿运动方向，y轴沿垂直于运动的方向，则有

　  （1.21）

这样就得到了解题所需的两个方程式，称为牛顿运动方程式。

④根据题意，分析方程式中哪些量是已知的，哪些量是待求的。

四、机械能、动量

1．功

（1）功的定义

当物体在力的作用下，沿着力的方向移动了一段位移，则力对物体做了功。

（2）功的计算

①恒力的功

当物体在恒力F作用下沿力的方向发生了一段位移s时，恒力对物体做功为

W＝Fs 　 （1.22）

当力与物体的运动方向不一致时，设力F与位移s的夹角为α，则力沿位移方向的分力对物体做功为

W＝Fscosα　   （1.23）

式（1.23）是恒力做功的普遍表达式。当，cosα＞0，W＞0，这时，作用力F起着推动物体运动的作用，称为动力。当时，cosα＜0，W＜0，这时作用力F起着阻碍物体运动的作用，叫做阻力。当，cosα＝0，W＝0时，力F与位移s垂直，力对物体不做功。由此可见，与运动方向垂直的力对物体不做功。

②合力的功

如果几个力F₁、F₂…F_n同时作用在物体上，在这些力的作用下，物体运动的位移是s，可以用两种方法求这些力的总功。

第一种方法是先按照力的合成法则，求出这些力的合力F，然后计算合力的功，即

W＝Fscosα

式中，α是合力F与位移s的夹角。

第二种方法是先分别计算每个分力的功，然后再求出这些功的代数和，即

W＝W₁＋W₂＋…＋W_n＝F₁scosα₁＋F₂scosα₂＋…＋F_nscosα_n

应当注意，在讨论做功问题时，必须弄清楚哪个力对哪个物体做功，或哪个物体克服什么力做功，不要混淆。

【例】用长为l的细绳系住一个质量为m的小球，使它在竖直平面内做变速圆周运动。运动一周后小球的动能增加了E，重力对小球做功为A_G，绳子拉力对小球做功为A_T，则（　　）。

A．A_G＝2mgl，A_T＝E－2mgl

B．A_G＝mgl，A_T＝E－mgl

C．A_G＝2mgl，A_T＝－2mgl

D．A_G＝0，A_T＝0

【答案】D

【解析】小球做圆周运动，绳子拉力始终沿圆周的半径方向，与运动方向垂直，因此拉力始终不做功，A_T＝0。小球运动一周后回到原来的位置，高度不变，因此在小球运动一周的全过程中重力的总功为零，A_G＝0。

2．功率

（1）功率

功率用来描述物体做功的快慢。功率的大小等于物体所做的功与完成这些功所用时间的比值。

（2）功率的计算

在时间t中力所做的功为W，则平均功率为

　  （1.24）

平均功率可以用力和平均速度表示，由式（1.23）得

瞬时功率表示某个时刻做功的快慢，它的表达式为

P＝Fvcosα  （1.25）

式中，v是该时刻的瞬时速度。

把式（1.25）看成是物体在恒力作用下做方向不变的直线运动时，计算功率的普遍表达式。在式（1.25）中，当v为平均速度时，求得的是平均功率；当v为瞬时速度时，则求出的是瞬时功率。

当α＝0时，即力与位移方向相同时，功率为P＝Fv。

3．动能定理

（1）动能

物体由于运动而具有的能叫做动能。物体的动能用E_k表示，即

  　（1.26）

动能只有大小，没有方向，是个标量。

（2）动能定理

一个物体，当动力对它做功或者它克服阻力做功时，动能都会发生变化。动力对物体做功，物体的动能就增加，增加的动能等于动力对物体所做的功。运动物体克服阻力做功，它的动能就减少，减少的动能等于物体克服阻力所做的功。

如果物体同时受到几个力的作用，其中既有动力，又有阻力，经过一段位移s后，它的速度由v₁变为v₂，则合外力的功等于物体动能的变化量，即

   （1.27）

动能定理表明，可以通过对物体做功的方式来改变物体的动能，反过来，当物体的动能改变时，则一定有外力对物体做功。

4．重力势能和弹性势能

（1）重力势能

地球上的物体处于一定高度时所具有的能量，叫做重力势能，这种能量与物体的重力和高度有关。用E_P表示物体的重力势能，选取地面为重力势能的零点，则其大小是

E_P＝mgh　   （1.28）

式中h是物体所处的高度。物体的重力势能等于物体所受的重力和它的高度的乘积。

（2）重力做功与物体重力势能改变的关系

当重力对物体做功时，物体由高处运动到低处，重力势能减少，重力对物体做功的大小等于重力势能的减小。这是一个普遍的规律。

从重力做功与重力势能变化的普遍关系中可以看出，重力做功的特点是，重力做功只决定于物体运动的始末位置，而与运动的具体路径无关。

（3）弹性势能

任何发生弹性形变的物体，都具有势能，这种势能叫做弹性势能。例如，压缩或伸长的弹簧，具有弹性势能。弹簧的弹性势能决定于它的形变量（伸长量或压缩量）。

（4）弹力做功与弹性势能改变的关系

弹力做功与重力做功具有相同的特点。弹簧的弹力做功的大小等于弹簧弹性势能的改变量。当弹力做正功时，弹性势能减小；弹力做负功时，弹性势能增大。

5．机械能守恒定律

（1）机械能

在力学中所研究的能量是机械能，机械能是动能和势能之和。

（2）机械能守恒定律

动能和势能统称机械能。通过重力或弹力做功，动能和势能可以相互转化。因此，机械能是可以相互转化的。

一个物体，如果只有重力和弹力对它做功，在发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律，即

E_P＋E_k＝恒量　 　 （1.29）

或E_P1＋E_k1＝E_P2＋E_k2　  　（1.29′）

式中E_k1、E_k2和E_P1、E_P2分别为能量转化过程始、末状态物体的动能和势能。

由于机械能守恒定律只涉及物体始、末状态，不涉及物体运动的具体过程，因此对于符合机械能守恒条件的力学问题来说，用机械能守恒定律解题肯定比用牛顿运动定律或动能定理解题方便。

但是，在应用机械能守恒定律解题时，一定要注意机械能守恒定律的适用条件：只有重力和弹力对物体做功。由于在我们所讨论的范围内，只考虑重力势能，不考虑弹性势能，因此机械能守恒定律的条件可简化为：只有重力对物体做功。

【例】如下图所示，把小球拉到水平位置后自由释放，设小球质量为m，悬线长是l，则小球经过最低点时悬线的拉力是（　　）。

A．3mg

B．2mg

C．mg

D．0

【答案】A

【解析】小球在运动过程中，受重力G和绳子拉力F_T的作用。绳子拉力不做功，只有重力做功。因此机械能守恒。

选最低点为重力势能的零点。小球在开始运动时只有重力势能，动能为零，机械能为

E₀＝E_P＝mgl

小球在最低点时，只有动能，重力势能为零，它的机械能为

因为机械能守恒，所以E＝E₀，由此得

（1）

小球在最低点时，根据向心力公式有

因此，绳子的拉力为

  　 （2）

由式（1）、（2）得

F_T＝mg＋2mg＝3mg

五、曲线运动

1．曲线运动

（1）曲线运动

轨迹为曲线的运动叫做曲线运动。对于曲线运动，物体在某一点的速度方向，就是曲线在该点的切线方向，速度的方向是时刻变化的。因此，不论速度的大小是否改变，曲线运动都是变速运动。

（2）物体做曲线运动的条件

在直线运动中，物体所受合外力的方向与运动速度的方向在同一条直线上。物体所受合外力的方向与运动速度的方向不在同一条直线上时，物体将做曲线运动，这就是物体做曲线运动的条件。

2．平抛运动

（1）平抛运动

把物体用一定的初速度沿水平方向抛出，忽略空气阻力，物体所做的运动叫做平抛运动。物体做平抛运动的条件是初速度v₀沿水平方向，运动过程中只受重力的作用。

（2）平抛运动的分解

平抛运动的分解是指把平抛运动沿水平方向和竖直方向进行分解。因为物体沿水平方向有初速度而不受外力的作用，所以平抛运动的水平方向分运动为匀速直线运动。又因物体在竖直方向无初速度而受重力作用，所以竖直方向分运动是自由落体运动。

（3）平抛运动的公式

根据匀速直线运动和自由落体运动的公式，可以得到平抛运动的公式是：

水平方向

v_x＝v₀　 （1.30）

竖直方向

　   （1.31）

速度的大小为

　  　（1.32）

以上公式中的各量如图1-4所示。

图1-4

平抛运动物体落地的时间为

　 （1.33）

其中h_E是抛出点的高度。从同一高度以不同初速度抛出的物体，它们的落地时间相同，等于同一高度做自由落体运动的落地时间。平抛运动物体在落地时间t_f内，在水平方向上做匀速直线运动的距离叫做平抛运动的水平射程，为

　 （1.34）

水平射程由初速度v₀和高度h_E决定。

【例】飞机在h_E＝500m高空中以v₁＝60m／s的速度水平飞行。海面上有一艘敌舰以v₂＝15m／s的速度与飞机同向航行。该飞机要轰炸敌舰，应在何处投弹？如果敌舰与飞机反向航行，其他条件不变，应在何处投弹？（取g＝10m／s2）

【答案】450m；750m

【解析】炸弹脱离飞机后做平抛运动，初速度就是飞机的速度。炸弹的飞行时间是

在这段时间里，炸弹飞行的水平距离是

s₁＝v₁t_f

敌舰航行的距离是

s₂＝v₂t_f

设飞机投弹时离开敌舰的水平距离是s。为了使炸弹击中敌舰，炸弹与敌舰必须在t时相遇，因此

s₁＝s＋s₂

由此得

s＝s₁－s₂＝v₁t_f－v₂t_f＝（v₁－v₂）t_f

代入题给数据后得到

s＝（60－15）×10m＝450m

如果敌舰与飞机反向航行，为使炸弹击中敌舰，应有

s＝s₁＋s₂＝（v₁＋v₂）t_f

由此得

s＝（60＋15）×10m＝750m

3．匀速圆周运动

（1）匀速圆周运动

物体沿圆周运动，如果在任意相同时间内通过的圆弧长度都相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。物体做匀速圆周运动时，合外力的大小不变而方向始终跟速度方向垂直，即合外力方向始终沿半径指向圆心。因此，匀速圆周运动是一种变速运动，加速度不为零。

（2）线速度、角速度、周期频率

①线速度

在匀速圆周运动中，物体通过的圆弧长度s与所用时间t的比值s/t是一个常量，叫做匀速圆周运动的线速度，用v表示，即

　 　（1.35）

②角速度

在匀速圆周运动中，连接物体与圆心的半径，半径转动的角度φ与所用时间t的比值也是一个常量，叫做匀速圆周运动的角速度，用ω表示，单位是弧度每秒，符号为rad／s，即

　 　（1.36）

圆弧长度s与所对应的圆心角满足公式s＝Rφ，两边除以t后得到

v＝Rω  （1.37）

这就是线速度和角速度之问的关系式，R是圆周的半径。

③周期频率

每秒钟物体沿圆周运动的周数叫做频率，用f表示，单位是赫兹，符号为Hz。有时也用频率f和周期T来描述匀速圆周运动。

角速度与频率和周期的关系是

因此线速度与周期的关系是

（3）向心加速度

匀速圆周运动中加速度的方向始终与速度方向垂直，沿半径指向圆心，大小是

   （1.38）

这个加速度由于始终指向圆心，称作向心加速度。由于R和v（或ω）的大小不变，向心加速度的大小也不变。

4．向心力

根据牛顿第二定律，做匀速圆周运动的物体所受的合外力的方向和向心加速度的方向相同，始终沿半径指向圆心，它的大小等于

   （1.39）

这个力叫做向心力。

对于匀速圆周运动，向心力的大小不变，方向始终与物体的运动方向垂直，指向圆心。向心力是产生向心加速度的原因，它只改变运动的方向，不改变速度的大小。

做匀速圆周运动的物体的加速度沿半径指向圆心，所以加速度沿运动方向上的分量为零。根据牛顿第二定律可知，做匀速圆周运动的物体所受的诸外力沿运动方向的分力之和为零。

5．人造地球卫星、第一宇宙速度

（1）人造地球卫星

在地球引力的作用下绕地球运动的人造航天器称为人造地球卫星。

（2）第一宇宙速度

在地面上发射人造地球卫星的最小速度为第一宇宙速度。按照力学理论可以推得第一宇宙速度为

式中g为重力加速度，R_e为地球的半径。把g＝9.80rn／s2、R_e＝6.37×106m代入上式得

v₁＝7.9km／s

６．冲量和动量

（1）冲量

力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量，简称冲量。设恒力F作用在物体上，则它在t₁到t₂这一时间段内对物体作用的冲量是

I＝F（t₂-t₁）

冲量是矢量。恒力的冲量方向就是力F的方向。冲量的单位是牛顿秒，符号为N·s。

（2）动量

运动物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量，用P表示，单位是千克米每秒，符号为kg·m／s，大小为

p＝mv

动量是矢量。动量的方向就是物体运动速度的方向。

一个物体处于确定的运动状态下就具有确定的动量。当物体的运动状态变化时，它的动量也会随之改变。

【例】两个物体的质量分别为m₁和m₂，m₂：m₁＝3：1。当它们的动量相等时，它们的动能之比E_k1：E_k2＝_____；当它们的动能相等时，它们的动量之比p₁：p₂＝_____。

【答案】；

【解析】对于同一个物体来说，动能与动量的大小之间有确定的关系

因此

，

它们的动能之比为

上式中，当p₁＝p₂时，有

当E_k2＝E_k2时，则

（3）动量定理

①动量定理

物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化，其表达式是

F（t₂－t₁）＝p₂－p₁＝mv₂－mv₁

由于冲量和动量都是矢量，因此动量定理既反映了冲量与动量变化的数量关系，又反映了它们之间的方向关系。

②动量定理中的平均力

在研究打击、碰撞之类的问题中，力的作用时间很短，力的大小变化却很大，很难测量。但是这类过程中的动量变化比较容易测得，这样就可利用动量定理先求出外力的冲量，再测出力的作用时间，就可方便地求出这一过程中平均力的大小。

设物体动量的变化量为mv₂－mv₁，力的作用时间为Δt，则平均力是

这里所引进的平均力是对时间的平均。

应用动量定理求解物体做直线运动的问题时，可沿着直线选取一个方向为正方向，凡与此方向相同的动量、冲量都取正值，相反的则取负值。

（4）动量守恒定律及其应用

①动量守恒定律

相互作用的物体，如果不受外力作用，或所受外力的矢量和为零，它们的总动量保持不变。用代数式表示为

m₁v₁＋m₂v₂＝m₁v₁′＋m₂v₂′

式中v₁、v₂和v₁′、v₂′分别是m₁、m₂在始、末状态的速度。应注意，上式中的v₁、v₂、v₁′、v₂′都是代数值，对于已知量，其正、负按题意确定，对于未知量可先设沿正方向，然后由解题的结果来确定。

必须指出，动量守恒定律是对两个或两个以上的具有内力相互作用的物体（常称系统）而言的。动量守恒定律的适用条件是系统不受外力作用或作用在该系统的外力的矢量和为零。

②用动量守恒定律解题

下面两种情况可用动量守恒定律来处理：

a．如果相互作用的物体所受外力的矢量和不为零，而这些外力沿某个方向上的分力之和为零，那么各物体的动量在该方向上的分量之和保持不变。

b．如果相互作用的物体所受外力的矢量和不为零，但物体之间相互作用的内力非常大，远大于外力，在这种情形下可以忽略外力，近似地认为系统的动量守恒。

（5）碰撞

①碰撞的概念

两物体在相遇的很短时间内，产生了很大的相互作用力，使它们的运动状态发生变化，这种过程叫做碰撞。如子弹打入木块。在碰撞过程中，虽然作用时间很短，但相互作用力很大，其他外力在一般情况下可以忽略，因此相互作用的物体的总动量守恒。

②弹性碰撞

如果在碰撞前后，两物体的总动能保持不变，我们称这种碰撞为弹性碰撞。对于速度在同一直线上的两个物体的弹性碰撞，由于动量守恒，有

　   （1.40）

由于总动能相等，有

　 （1.41）

由式（1.40）、（1.41）联立解得

③完全非弹性碰撞

如果两个物体碰撞后，合在一起，以共同的速度运动，这种碰撞叫做完全非弹性碰撞。在完全非弹性碰撞过程中，动量守恒，但总动能在碰撞前后发生了改变。碰撞后两物体的速度相同，即

六、机械振动和机械波

1．振动

（1）振动

物体在平衡位置附近来回往复地运动，叫做机械振动，简称振动。

振动是一种基本的运动形式，它在自然界中普遍存在。例如，钟摆的来回摆动。

（2）描述振动的物理量——周期、频率、振幅

①周期和频率

物体完成一次全振动（即来回运行一周）所需的时间称为振动的周期，常用T表示，它的单位是秒，符号为s。

物体在1s内完成全振动的次数叫做振动的频率，常用f表示，它的单位是赫兹，符号为Hz。

②振幅

振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振幅。它是表示振动幅度或振动强弱的物理量。当给定振幅A时，表示物体限制在平衡位置两侧±A的范围内运动，整个运动的范围就是2A。

2．简谐运动

（1）弹簧振子的简谐运动

如图1-5所示，在光滑的水平桌面上，把轻弹簧的一端固定，另一端系一个质量为m的物体，形成一个弹簧振子。设振子在位置O处时，弹簧没有发生形变，弹簧作用于振子上的弹力为零，O点称为弹簧振子的平衡位置。

弹簧振子在弹力和物体惯性的支配下，在平衡位置附近重复地往返运动，形成了机械振动。弹簧振子的振动叫做简谐运动，它是最简单、最基本的机械振动。

图1-5

（2）简谐运动的特征

①受力特征

弹簧的弹力和物体的惯性是弹簧振子做简谐运动的原因，由于弹力的方向总是指向平衡位置，所以它能使振子在往返过程中保持在平衡位置，故又称为回复力。根据胡克定律，在弹簧的弹性限度内，弹簧的弹力F与弹簧的形变量（伸长量或压缩量）即物体离开平衡位置的位移x成正比，它的方向与位移方向相反。因此，F可表示为

F＝－kx　  （1.42）

式中k是弹簧的劲度系数，负号表示弹力F的方向始终与物体位移方向相反，指向平衡位置。

②运动特征

根据牛顿第二定律，可得到弹簧振子做简谐运动时的加速度为

　  （1.43）

因此，物体做简谐运动时，运动的加速度大小与离开平衡位置位移的大小成正比，加速度的方向与位移方向相反，始终指向平衡位置。

③物体做简谐运动的判断

判断物体是否做简谐运动，就要看它所受的合外力是否是线性回复力，即是否满足式（1.42），或者看它运动的加速度是否满足式（1.43）。

（3）简谐运动的运动过程

简谐运动的运动过程应注意物体在平衡位置和振动端点的特点。

①当物体在平衡位置时，位移为零，合外力为零，加速度为零，速度最大，动能最大，势能为零。

②当物体在振动的两个端点时，位移最大（等于振幅），合外力最大，加速度最大，速度为零，动能为零，势能最大。

（4）单摆的简谐运动

①单摆做简谐运动的条件

在细线的一端系上一个小球，另一端固定在悬点上形成的装置叫做单摆。单摆是一种理想的物理模型，这种模型中摆线的伸缩和质量可以忽略，球的直径也比摆线的长小得多。细线在竖直位置时，小球处于平衡位置O。拉开摆球，使它偏离平衡位置，然后把它放开，摆球就沿着以平衡位置O为中点的一段圆弧BC进行往复振动，如图1-6所示。

图1-6

可以证明，当单摆的摆角很小（小于5°）时，在重力G与绳子拉力F_T作用下，单摆做简谐运动。因此单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°。

②单摆的周期公式

　  （1.44）

　 

单摆的摆动在水平方向的分运动也是简谐运动，它的周期与单摆摆动的周期相等。

（5）简谐运动的图像

做简谐运动的物体的位移随时间而变化的关系曲线，叫做简谐运动的图像。它是一条余弦（或正弦）曲线，如图1-7所示。

图1-7

图中相邻两个（正的或负的）最大值出现的时间间隔表示振动的周期T，曲线在纵坐标上的最大值表示振动的振幅A。

从振动图像中不但可以直接确定振幅A和周期T，还可以确定任意时刻物体的位移，判断速度和加速度的方向。

3．波动

（1）机械波

机械振动在介质中的传播过程，叫做机械波。例如声波、水波等。

①产生机械波的条件：首先要有波源（即发生振动的物体），其次要有能够传播振动的介质，两者不可缺一。

②在机械波形成的过程中，介质中各个质点都在各自的平衡位置附近振动，传播的只是振动这种运动形式，介质本身并不随波发生迁移。沿波的传播方向，各质点的振动步调是不一致的，靠近波源的质点先振动，远离波源的质点后振动。

③波在传播过程中，通过介质中质点之间弹性力的联系，带动介质中原来静止的质点先后振动起来，这表明它们相继获得了能量。所以，在波传播的同时，波源的振动能量也被传递出去，所以波是能量传递的一种形式。

（2）机械波的分类——横波和纵波

按照质点的振动方向与波的传播方向的关系，可将机械波分成横波和纵波。

①横波

如果质点的振动方向和波的传播方向垂直，这种波称为横波，例如在绳子上传播的波。如图1-8所示。

图1-8

②纵波

如果质点的振动方向与波的传播方向平行，这种波称为纵波。例如在弹簧中传播的波。如图1-9所示。空气中传播的声波也是纵波。

图1-9

（3）描写波动的物理量——波长、频率、波速

①波长

波长用λ表示。两个相邻的波峰（或波谷）之间的距离等于一个波长。在一个波长的距离内，包含了一个完整波。

②波的周期

波的周期是指波在介质中传播时，前进一个波长的距离所需要的时间，用T表示。由于一个波长内包含了一个完整波，因此周期也等于介质中前进一个完整波所需要的时间。

③频率

频率等于单位时间内通过传播方向上某点的完整波的数目，是周期的倒数，即

④波速

波速v是波在介质中传播的速度，它等于波在介质中单位时间内传播的距离。波速的大小决定于介质的性质。同一列波，在不同的介质中传播时，波速不相等。

波速、频率（或周期）与波长三者之间的关系是

 （1.45）

（4）波的图像

波动的传播过程可以用图像直观地表示出来，就是波形图。波形图是余弦（或正弦）曲线，如图1-10所示，图中画出了某时刻的波形图。

图1-10

在波形图中不但可以直接确定振幅和波长，而且还可以确定介质中各质点在该时刻的位移，并判断各点速度和加速度的方向。

一个或一个以上完整周期的波形图才能对波进行完整的描述。

（5）振动与波动的区别和联系

①区别

振动是指一个质点的运动形式，而波动是指介质中一群质点的集体运动形式。

②联系

a．当机械波在介质中传播时，介质中各质点都先后做机械振动，这些质点的振动是以波动的形式相互联系。应该说，介质中质点的振动是形成波动的基础，而波动是介质中相互关联的质点的集体运动。

b．介质中各点的振幅就是波的振幅，各质点振动的周期就是波的周期。

4．波的干涉和衍射现象

（1）波的干涉

两列波在空间相遇后出现这种情形：有些地方质点的振动始终加强，有些地方质点的振动始终减弱，并且加强的地方和减弱的地方有规律地间隔分布，这种现象叫做波的干涉现象。

并不是所有的波在空间相遇都能出现干涉现象，只有两列频率相同、振动方向相同、振动步调一致的波在空间相遇才能出现干涉现象。

（2）波的衍射

当波在传播途中遇到障碍物时，有时会改变传播方向，并绕过障碍物而继续传播，这种现象称为波的衍射。

除了障碍物外，在波的传播方向上放置一个有狭缝或小孔的屏时，有时也会观察到波的衍射现象。

必须指出，只有当障碍物、狭缝或小孔的线度接近或小于波的波长时才能观察到明显的衍射现象。

波的干涉、衍射现象是波动的基本性质。