三、不等式和不等式组
1．不等式的性质
（1）若
，则
；若，则，即
．（对称性）
（2）若，且
，则
，即
．（传递性）
（3）若，则
，即
．（平移性）
推论：
．（叠加性）
（4）若且
则
，即
；
若且
则
，即
．（伸缩性）
推论1：
．（叠乘性）
推论2：
．（乘方性）
推论3：
．（开方性）
2．解一元一次不等式
（1）去分母
不等式左右两边同时乘以或除以同一个正数，不等式的符号不变；不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数，不等式的符号改变．
（2）去括号
括号前面是“＋”号，去掉括号，括号内的数符号不变；括号前面是“－”号，去掉括号，括号内的数改变符号．
（3）移项
不等式的两边同时加上或同时减去同一个数，不等号的方向不变．
（4）合并同类项
系数相加，字母部分不变．
（5）系数化为一
不等式左右两边同时乘以或除以同一个正数，不等式的符号不变；不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数，不等式的符号改变．
【例】不等式
的解集是______．
【答案】
【解析】去分母
，去括号
，移项
,合并同类项得
，所以解集为
．
3．解一元一次不等式组
（1）求出不等式组中的每个不等式的解集；
（2）将每个不等式的解表示在同一条数轴上；
（3）在数轴上找出解集的公共部分．
①同大取大，例如
，则解集为
．
②同小取小，例如
，则解集为
．
③大小中间夹，例如，
，则解集为
．
④大大小小取空集，例如，
，则解集为
．
4．可化为一元一次不等式组的不等式
不等式中含两个（或两个以上）方向相同的不等号，可将不等式化为一元一次不等式组，再按照解不等式组的方法步骤解此不等式．
【例】解不等式：
.
解：原不等式可化为
由①得
，由②得
，则原不等式的解集为．
5．解一元二次不等式
（1）解不等式
①将原不等式化成一般形式
；
②计算
；
a．
，则
．
求方程
的两根
，原不等式的解集为
．
b．
，则
．
求方程的两根，原不等式的解集为
．
c．
，则方程没有实数根．
抛物线
与
轴没有交点且在轴上方，原不等式的解集为R．
（2）解不等式
①将原不等式化成一般形式；
②计算；
a．，则．
求方程的两根，原不等式的解集为
．
b．，则．
求方程的两根，原不等式的解集为
．
c．，则方程没有实数根．
抛物线与轴没有交点且在轴上方，原不等式的解集为
．
6．不等式解集的表示方法
（1）集合表示法
例如，解集
可以表示成
．
（2）区间表示法
①开区间
满足的的集合称为开区间，记作
；
②闭区间
满足
的的集合称为闭区间，记作
；
③左闭右开区间
满足
的的集合称为左闭右开区间，记作
；
④左开右闭区间
满足
的的集合称为左开右闭区间，记作
；
⑤满足
或
的的集合，记作
；
⑥实数集R，记作
．
（3）数轴表示法
①“≥”或“＞”朝右画，“≤”或“＜”朝左画；
②“≥”或“≤”在数轴上用实心，“＞”或“＜”在数轴上用空心．
例如，解集可以表示成
7．绝对值不等式
（1）解不等式
（c＞0），相当于解ax＋b≥c或ax＋b≤－c（注意这是两个一元一次不等式解集的并集），即首先去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式再求解．
（2）解不等式
相当于解
即
（注意这是两个一元一次不等式解集的交集）．
（3）当不等式中a＜0时，如
，可先将其变形为
，即先将绝对值号里面的各项改变符号，使x的系数变为正数，以便减少不必要的错误．