2013年成人高考高中起点升专科、本科《数学》（理科）试卷及详解

一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分．在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的．

1．函数f（x）＝2sin（3x＋π）＋1的最大值为（　　）．

A．－1

B．1

C．2

D．3

【答案】D

【解析】因为sin（3x＋π）的最大值为1，所以f（x）的最大值为3．

2．下列函数中，为减函数的是（　　）．

A．y＝x3

B．y＝sinx

C．y＝－x3

D．y＝cosx

【答案】C

【解析】BD两项，y＝sinx和y＝cosx在R上均为周期函数，增减性在不同区间有变化；A项，y＝x3在R上是增函数，C项，y＝－x3在R上为减函数．

3．不等式|x|＜1的解集为（　　）．

A．{x|x＞1}

B．{x|x＜I}

C．{x|－1＜x＜1}

D．{x|x＜－1}

【答案】C

【解析】|x|＜1即是－1＜x＜1，所以解集为{x|－1＜x＜1}．

4．函数f（x）＝1＋cosx的最小正周期是（　　）．

A．

B．π

C．

D．2π

【答案】D

【解析】y＝cosx的最小正周期为2π，而y＝1＋cosx与y＝cosx的周期相同，也是2π．

5．函数y＝x＋1与图像的交点个数为（　　）．

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】C

【解析】联立方程组解得，即x2＋x－1＝0．此二次方程的判别式△＝12－4（－1）＝5＞0，所以方程有2个不同的根，即，根据曲线和方程组的关系，可得函数y＝x＋1与图像的交点个数为2．

6．若，则（　　）．

A．sinθ＞cosθ

B．cosθ＜cos2θ

C．sinθ＜sin2θ

D．sinθ＞sin2θ

【答案】C

【解析】因为，令θ＝π/4，逐一代入选项验证，可知sinθ＜sin2θ．

7．抛物线y2＝－4x的准线方程为（　　）．

A．x＝－1

B．x＝1

C．y＝1

D．y＝－1

【答案】B

【解析】y2＝－2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为即.

8．一个正三棱锥，高为1，底面三角形边长为3，则这个正三棱锥的体积为（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】正三棱锥的底面为正三角形，而边长为a的正三角形的面积为

则正三棱锥的底面积为，三棱锥的体积．

9．过点（2，1）且与直线y＝0垂直的直线方程为（　　）．

A．x＝2

B．x＝1

C．y＝2

D．x＝1

【答案】A

【解析】直线y＝0即为x轴，所求直线要与x轴垂直，即为x＝2．

10．（x－2y）5的展开式中，x3y2的系数为（　　）．

A．－40

B．－10

C．10

D．40

【答案】D

【解析】（x－2y）5展开式的通项为令k＝2，得

．

11．若圆x2＋y2＝c与直线x＋y＝1相切，则c＝（　　）．

A．

B．1

C．2

D．4

【答案】A

【解析】圆心（0，0）到直线x＋y＝1的距离等于半径，即所以

12．设a＞1，则（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】令a＝2，则有．

13．直线3x＋y－2＝0经过（　　）．

A．第一、二、四象限

B．第一、二、三象限

C．第二、三、四象限

D．第一、三、四象限

【答案】A

【解析】当x＜0且y＜0时，方程不成立，所以该直线不过第三象限．

14．等差数列{a_n}中，若a₁＝2，a₃＝6，则a₂＝（　　）．

A．3

B．4

C．8

D．12

【答案】B

【解析】a_3－a₁＝2d，得2d＝4，即d＝2，从而有a₂＝a₁＋d＝2＋2＝4.

15．设甲：x＝1，乙：x2＝1，则（　　）．

A．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

B．甲是乙的充分必要条件

C．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】由题意可知，x＝1x2＝1，即甲是乙的充分条件；反之，x2＝1x＝±1，不能推出x＝1，即甲不是乙的必要条件．

16．如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB，则直线AB₁与直线C₁D₁所成角的正弦值为（　　）．

A．

B．

C．

D．

 

【答案】C

【解析】根据异面直角所成角的定义，如上图所示，由于A₁B₁∥C₁D₁，所以∠AB₁A₁即为直线AB₁与C₁D₁所成的角．设AB＝a，则A₁B₁＝a，AA₁＝2a，所以

得从而．

17．一箱子中装有5个相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5，从中一次任取2个球，则这2个球的号码都大于2的概率为（　　）．

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】从箱子中取2个标号球的方法有种，从标号为3，4，5的球中取2个的方法有种，所以所求概率．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

18．复数（i＋i2＋i3）（1－i）的实部为______．

【答案】－1

【解析】，该复数的实部为－1．

19．已知球的一个小圆的面积为π，球心到小圆所在平面的距离为则这个球的表面积为______．

【答案】12π

【解析】如右图所示，⊙O₁的面积为π，故其半径O₁B＝1．依题意，所以Rt△OO₁B中，，即球的半径为，从而该球的表面积为S_球＝4πR2＝12π．

 

20．函数f（x）＝2x3 －3x2＋1的极大值为______．

【答案】1

【解析】

x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，所以f（x）单调递增；

x∈（0，1）时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减；

x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）单调递增．

从而当x＝0时f（x）取得极大值1；当x＝1时f（x）取得极小值0．

21．已知随机变量ξ的分布列是

则Eξ＝______．

【答案】

【解析】

三、解答题：本大题共4小题，共49分，解答应写出推理、演算步骤。

22．已知公比为q（q≠1）的等比数列{a_n}中，a₁＝－1，前3项和S₃＝－3．（本小题满分12分）

（1）求q；

（2）求{a_n}的通项公式．

解：

（1）根据已知，得又a₁＝－1，

所以q2＋q－2＝0，解得q₁＝1（舍去），q₂＝－2，所以q＝－2

（2）a_n＝a₁qn－1＝（－1）×（－2）n－1＝－（－2）n－1＝（－1）n2n－1

所以，{a_n}的通项公式是a_n ＝－（－2）n－1或（－1）n2n－1．

23．已知△ABC中，A＝30°，BC＝1．（本小题满分12分）

（1）求AB；

（2）求△ABC的面积．

解：

（1）根据可得AB2＝3AC2

又

整理得BC2 ＝AC2，解得AC＝1，所以

（2）△ABC的面积

24．已知椭圆C的离心率为，且a2，，b2成等比数列．本小题满分12分）

（1）求C的方程；

（2）设C上一点P的横坐标为1，F₁、F₂为C的左、右焦点，求△PF₁F₂的面积．

解：

（1）因为，设c＝k（k＞0），则a＝2k，

所以

解得，k＝1，所以a2＝4，b2＝3，椭圆方程为

（2）设P（1，y₀），将P（1，y₀）代入椭圆方程，得，得

又因为＝|F₁F₂|＝2c＝2，所以△PF₁F₂的面积

25．已知函数，且f'（0）＝0．（本小题满分13分）

（1）求a；

（2）求f（x）的单调区间，并说明它在各区间的单调性；

（3）证明对任意x∈R，都有f（x）≥－1．

解：

（1）依题可得f'（x）＝ex＋（x＋a）ex＋x

因为f'（0）＝0，即0＝e0＋ae0＋0，所以a＝－1．

（2）由（1）可知

由于ex＋1＞0，所以当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时f'（x）＜0，

得f（x）的单调区间为（－∞，0）和（0，＋∞）

函数f（x）在（－∞，0）为减函数，在（0，＋∞）为增函数．

（3）由（2）得f（0）＝－1为函数f（x）的最小值

所以对任意x∈R，有f（x）≥f（0）＝－1．