1.2 典型题（含历年真题）详解
一、选择题
1．
等于（ ）．[2013年真题]
A．
B．－
C．
D．－
【答案】D
【解析】
在x＝处连续，极限值等于函数值．
2．
（ ）．[2012年真题]
A．1
B．cos1
C．0
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在
处连续，故
．
3．
（ ）．[2011年真题]
A．0
B．－1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】
．
4．设函数
（ ）．
A．0
B．
1
C．1
D．不存在
【答案】D
【解析】由
，
所以
不存在．
5．当x
0时，ln（1＋ax）是2x的等价无穷小量，则a＝（ ）．
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】
，a＝2．
6．设
则a＝（ ）．
A．－1
B．2
C．1
D．2
【答案】A
【解析】因为
，所以a＝－1．
7．设
（ ）．
A．连续的
B．可导的
C．左极限≠右极限
D．左极限＝右极限
【答案】D
【解析】
又因为f(0)＝2，所以函数f(x)在x＝0处不连续也不可导．
8．设函数
在x＝2处连续，则a＝（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数在x＝2处连续，则有
，即
故a＝．
9．设函数
，则
＝（ ）．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】
10．
（ ）．
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】
．
11．设函数
则
（ ）．
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】D
【解析】因为
所以
．
12．设
则
＝（ ）．
A．0
B．1
C．3
D．5
【答案】C
【解析】
14．函数
在点
处有定义，是在点
处连续的（ ）．
A．必要条件，但非充分条件
B．充分条件，但非必要条件
C．充分必要条件
D．非充分条件，亦非必要条件
【答案】A
【解析】函数在处有定义不一定在该点连续，但是函数在处连续在该点就一定有定义．
15．设
存在，则在
处（ ）．
A．一定有定义
B．一定无定义
C．有定义且
D．可以有定义，也可以无定义
【答案】D
【解析】的存在与函数在该点是否有定义无关．
16．
等于（ ）．
A．0
B．
C．2
D．1
【答案】C
【解析】
．
17．
（ ）．
A．0
B．tan1
C．
D．2
【答案】B
【解析】
在
处连续，故
．
18．
，则k＝（ ）．
A．2
B．－2
C．
D．－
【答案】B
【解析】
，则
．
19．下列极限正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A项，
；B项，
；C项，因为当
时，x为无穷小量，又
是有界的，所以
等于0；D项，
．
30．x＝1是函数f（x）＝ 
的（ ）．
A．连续点
B．可去间断点
C．无穷间断点
D．跳跃间断点
【答案】B
【解析】
，所以x＝1是f（x）的间断点，又因为
，所以x＝1是第一类间断点中的可去间断点．
21．设
在x＝0处连续，且f（0）＝
，则a＝（ ）．
A．2
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】因
在x＝0连续，则
，即
又
，所以
，即
．
22．设
为连续函数，则a＝（ ）．
A．
B．
C．2
D．1
【答案】A
【解析】因为
在x＝2连续，所以
23．要使
在x＝0处连续，应补充f（0）等于（ ）．
A．
B．6
C．
D．0
【答案】B
【解析】因为
所以要使f（x）在x＝0处连续，应补充f（0）＝6．
24．在下列函数中，当x→0时，函数f（x）的极限存在的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A项，
，所以当x→0时极限不存在；B项，
，所以当x→0时极限不存在；C项，
，所以当x→0时极限存在；D项，
，极限不存在．
25．
是函数f（x）在点x＝x0处连续的（ ）．
A．必要条件
B．充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】函数f（x）在点x＝x0处连续的充要条件是
因此
只是f（x）在点x0处连续的必要条件．
26．已知
，则点x0是函数的（ ）．
A．间断点
B．连续点
C．可导点
D．连续性不确定的点
【答案】D
【解析】因为
中的A不一定等于函数值
，所以在x0处的连续性是不确定的．
27．设f（x）在点x0处连续，则（ ）．
A．
一定存在
B．一定不存在
C．
一定存在
D．
不一定存在
【答案】C
【解析】A项，
在x＝0处连续，但在x＝0处导数不存在；B项，
在x＝0处连续，导数也存在；CD两项，在x0处连续即左极限＝右极限＝f（x0），故极限一定存在．
28．设
，则
（ ）．
A．0
B．1
C．无穷大
D．不能判定
【答案】Ｄ
【解析】
，则可能有以下三种情况：
二、填空题
1．设函数
在x＝1处连续，则a＝______．[2013年真题]
【答案】1
【解析】因为函数x＝1处连续，则有
，
，
，故
，
＝1．
2．
______．[2012年真题]
【答案】
【解析】由等价无穷小可得
．
3．已知函数
，则
＝______．[2011年真题]
【答案】0
【解析】
．
4．
______．
【答案】
【解析】
．
5．
______．
【答案】
【解析】
．
6．设函数
在点x＝0处的极限存在，则a＝______．[2010年真题]
【答案】1
【解析】函数在点x＝0处的极限存在，故有
，
，故a＝1．
7．
＝______．
【答案】1
【解析】
8．
______．
【答案】
【解析】
9．
______．
【答案】
【解析】由等价无穷小知，
，所以
10．若
则k＝______．
【答案】
【解析】
，
．
11．设函数
，在x＝0处连续，则a＝______．
【答案】2
【解析】因为函数在x＝0处连续，故有
，由于
，故
所以a＝2．
12．
＝______．
【答案】
【解析】解法1：
解法2：因为
所以
13．
______．
【答案】6
【解析】
14．
______．
【答案】2
【解析】
所以
15．
______．
【答案】
【解析】
16．已知函数
在x＝0处连续，则ａ＝______．
【答案】2
【解析】函数f（x）在x＝0处连续，可知，
，
，得a＝2．
14．函数
的间断点为______．
【答案】x＝1和x＝0
【解析】分母
时分式无意义，则x＝1和x＝0为间断点．
三、解答题
1．计算
[2013年真题]
解：此处为
型极限，可使用洛必达法则
2．计算
[2012年真题]
解：
3．计算
[2011年真题]
解：
4．计算
解：
5．计算
解：
6．求
．
解：
7．已知
，求a．
解：
又
，所以a＝2．
8．设
在x＝0处连续，求k的值．
解：在x＝0处，f（0）＝esin0－3＝2，
，
f（x）在x＝0处连续
f（0）＝f（0－0）＝f（0＋0），所以k＝－2．
9．求
的间断点，并指出类型．
解：因为
，所以x＝0，x＝1，x＝2是f（x）的间断点．
，又因，f（0）、f（1）、f（2）都不存在，所以x＝0是f（x）的第一类间断点（可去间断点）；x＝1，x＝2是，f（x）的第二类间断点（无穷间断点）．
10．若
，求a与b．
解：若
则当x→2时，x2＋ax＋b与x－2为同阶无穷小量．
令x2＋ax＋b＝（x－2）（x＋k），则
＝5，此时k＝3，代入上式得x2＋ax＋b＝（x－2）（x＋3），即x2＋ax＋b＝x2＋x－6，所以a＝1，b＝6．