第一部分　历年真题及详解

2015年武警部队院校招生统考士兵本科及士官高等职业技术教育《数学》真题及详解

参考公式：

一、选择题（本大题包括10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个选项符合题意）

1．已知全集为R，集合，则A∩B等于（　　）．

A．{0，2}

B．{－1，0，2}

C．{x|0≤x≤2}

D．{x|－1≤x≤2}

【答案】A

【解析】A∩B为A与B的交集，是由属于A且属于B的元素组成的集合，而集合B中属于集合A的元素为0和2，因此A∩B＝{0，2}．

2．在等比数列中，已知，则＝（　　）．

A．3

B．9

C．27

D．81

【答案】B

【解析】设等比数列的公比为q，则

可以得到．因此

3．设，则a、b、c的大小关系是（　　）．

A．b＞c＞a

B．a＞b＞c

C．c＞a＞b

D．a＞c＞b

【答案】D

【解析】a与c的指数相等，底数越大，数值也越大，因此a＞c；b与c为同底数幂，且底数小于1，指数越大，数值越小，因此c＞b．

4．不等式的解集是（　　）．

【答案】A

【解析】两种情况：

①；

②；

因此不等式的解集为．

5．复数Z满足（1＋i）Z＝2i，则复数Z在复平面内对应的点在（　　）．

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】A

【解析】将两边同时乘以，得到

因此Z在复平面内对应的点在第一象限．

6．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（　　）．

A．3×3!

B．3×(3!)³

C．(3!)⁴

D．9!

【答案】C

【解析】先考虑一个三口之家的坐法种数为3！，把每个家庭看成一个整体，他们之间的排列方法有3！种，总坐法种数为．

7．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（　　）．

A．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

B．若α⊥β，lα，则l⊥β

C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m

D．若α∥β，lα，nβ，则l∥n

【答案】A

【解析】A项，因为l∥β，则β内必存在一条直线k∥l，又因为l⊥α，则k⊥α，平面β经过平面α的一条垂线，即α⊥β．

8．将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D-ABC的体积为（　  ）．

【答案】D

【解析】如图1所示，取AC的中点E，连接DE，BE．

图1

∵三角形ADC为等腰直角三角形且E为AC中点，

∴DE⊥AC且DE＝，

同理得BE⊥AC且BE＝．

在三角形BDE中，由勾股定理可得DE⊥BE．

∵DE⊥BE，DE⊥AC且DE不在平面ABC内，∴DE⊥平面ABC．

∴D-ABC的体积为．

9．过坐标原点且与点的距离都等于1的两条直线的夹角为（　　）．

A．90°

B．45°

C．30°

D．60°

【答案】D

【解析】以点为原点作一半径为1的圆，则两条直线为经过原点作的圆的切线，设两切线夹角为，则．

10．已知点A（－2，3）在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　）．

A．

B．－1

C．

D．

【答案】C

【解析】抛物线的准线方程为，则，焦点，直线AF的斜率为．

二、填空题（本大题包括5小题，每小题5分，共25分）

11．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是________．

【答案】

【解析】①时，，定义域为R，满足题意；

②时，为使函数的定义域为R，则方程无解，即

解得；

因此．

12．已知向量a、b满足，，，则________．

【答案】

【解析】．

13．若________．

【答案】

【解析】由可得

因为，则，可得

14．在的展开式中，含x³的项的系数是________．

【答案】－30

【解析】含的系数为．

15．椭圆长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是________．

【答案】

【解析】椭圆公式可化为，则设顶点A(－2,0)，得到两条直角边所在直线的斜率为1和－1．设斜率为1的直线与椭圆的另一交点为C点，直线AC的方程为，可列出方程组

求得C点的坐标为或（舍），则该三角形的面积为

三、解答题（本大题包括7小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（10分）已知函数的反函数为．

（1）用定义证明在定义域上的单调性；（6分）

（2）若，求x的取值集合D．（4分）

解：（1）函数f（x）的值域为（－1，＋∞），则的定义域为（－1，＋∞）．

由可得

则反函数为

任取且x₁＜x₂，则

由得0＜x₁＋1＜x₂＋1，则

可得

即，因此在（－1，＋∞）上为单调增函数．

（2），即，可列方程组

解之得0≤x≤1，因此D＝[0，1]．

17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求cosA的值；（5分）

（2）求的值．（5分）

解：（1）在△ABC中，由正弦定理和已知条件可得

代入已知条件，可得a＝2c．

由余弦定理，可得

（2）在△ABC中，由（1）知，可得，则

代入到，可得

18．（10分）已知是递增的等差数列，是方程的根．

（1）求的通项公式；（4分）

（2）求数列的前n项和．（6分）

解：（1）方程的两根为x₁＝2，x₂＝3．

因为{a_n}为递增的等差数列，所以a₂＝2，a₄＝3．

设数列{a_n}的公差为d，则

a₄－a₂＝2d

即3－2＝2d，解得．

{a_n}的首项为

{a_n}的通项公式为

（2）设的前n项和为S_n，由（1）可知，则

上式相减得

解得

19．（10分）已知向量．

（1）若，求证：a⊥b；（4分）

（2）设，若，求α和β的值．（6分）

（1）证明：由题意得，则

将代入上式可得

解得，因此．

（2）解：由题意可得

展开可得

由上式得

由0＜β＜π，可得0＜π－β＜π，又因为0＜α＜π，则α＝π－β，代入到sinα＋sinβ＝1可得

因为，所以

20．（10分）骰子（六个面上分别标以数1，2，3，4，5，6）每抛掷一次，各个面向上的概率均等．

（1）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（4分）

（2）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率．（6分）

解：（1）设A表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．

向上的数之和为6的情况有5种，分别为（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）．

连续抛掷两次总的结果共有6×6＝36种．因此

（2）设B表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”．

每次抛掷向上的数为奇数和偶数的概率相等，都为，则在5次独立重复试睑中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次，事件B的概率为

因此抛掷5次，向上的数为奇效恰好出现3次的概率为．

21．（12分）如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PDC⊥底面ABCD，PD＝DC，∠PDC＝90°，E是PC的中点．

（1）求证：PA∥平面EDB；（5分）

（2）若EF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面EFD．（7分）

图2

证明：（1）在正方形ABCD中，连接AC交BD于O点，连接EO，如图3所示．

图3

依题意得，四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点．

∵E为PC的中点，∴EO∥PA；

又∵PA平面EDB且EO平面EDB，

∴PA∥平面EDB．

（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝CD，而在平面ABCD中，BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC；

∵DE平面PDC，∴BC⊥DE；

∵PD＝DC且E是PC的中点，

∴PC⊥DE；

又∵在平面PBC中，BC∩PC＝C，

∴DE⊥平面PBC，∴PB⊥DE；

又∵EF⊥PB，且EF在平面EFD中，DE∩EF＝E，

∴PB⊥平面EFD．

22．（13分）双曲线C的中心在坐标原点，右焦点为，渐近线为．

（1）求双曲线C的标准方程；（5分）

（2）设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A、B两点，则当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？（8分）

解：（1）设双曲线方程为，两焦点之间的距离为，由题意可知

解得．

因此双曲线的标准方程是．

（2）由双曲线C和直线l可列方程组

可得

由Δ＞0且3－k²≠0，可得．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为以AB为直径的圆过原点，则

OA⊥OB

可得x₁x₂＋y₁y₂＝0．

由根与系数的关系可得

可得

解得．