第一节　解题策略

一、代入法

代入法是最为常见的解题方法之一，是将题目的选项直接代入题干判断正误的方法。

代入法有多种形式，包括：

1．直接代入法

直接将选项代入题干中进行验证的方法，适用题型包括同余、不定方程、多位数、年龄、和差倍比等。

【例1】四个连续的自然数的积为1680，它们的和为（　　）。

A．26

B．52

C．20

D．28

【答案】A

【解析】设四个自然数中最小的为x，则四个自然数分别为：x，x＋1，x＋2，x＋3，则4个自然数的和为4x＋6，即4个数的和减去6能被4整除，代入选项，只有A符合。

2．特殊值代入法

将题干中某种未知量用特殊值(通常是方便计算)代入，求出结果。

【例2】一辆汽车以60千米/时的速度从A地开往B地，它又以40千米/时的速度从B地返回A地，则汽车行驶的平均速度为(　　)千米/小时。

A．50

B．48

C．30

D．20

【答案】B

【解析】假设AB两地距离为120千米，则A地开往B地用了2小时，从B地返回A地用了3小时，来回总路程为240千米，则汽车行驶的平均速度为240÷5＝48千米/小时。

3．代入法的其他形式

代入法经常和粗略判断法、排除法、猜证结合法等综合运用。

【例3】有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，点完细蜡烛需要1小时，点完粗蜡烛需要2小时。有一次停电，将这样两支蜡烛同时点燃。来电时，发现两支蜡烛所剩长度一样，则此次停电共停了（　　）。

A．10分钟

B．20分钟

C．40分钟

D．60分钟

【答案】C

【解析】因为细蜡烛的长度是粗蜡烛长度的2倍，且点完细蜡烛需1个小时，则所求的时间应在30分钟和60分钟之间，把各选项代入，只有当停电时间为40分钟时符合题意。因此C项正确。

二、数字特性法

常用的数字特性包括大小特性、奇偶特性、尾数特性、余数特性、整除特性、因子特性、幂次特性等多种特性方法，其中尤以整除特性最为常用。

解决这类问题，首先能迅速从题干中判定出答案所应符合的数字特性；其次应该熟悉基本的数字规律，包括奇偶性规律与整除规律。

1．奇偶运算基本法则

（1）基础

①奇数±奇数＝偶数；

②偶数±偶数＝偶数；

③偶数±奇数＝奇数；

④奇数±偶数＝奇数。

（2）推论

①任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

②任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

【例4】某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数(包括不做)相差多少？(　　)

A．33

B．39

C．17

D．16

【答案】D

【解析】答对的题目＋答错的题目＝50，是偶数，则答对的题目与答错的题目的差也应是偶数，D项，16为偶数，符合题意。

2．整除判定基本法则

（1）能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性

①能被2(或5)整除的数，末一位数字能被2(或5)整除；

②能被4(或25)整除的数，末两位数字能被4(或25)整除；

③能被8(或125)整除的数，末三位数字能被8(或125)整除；

④一个数被2(或5)除得的余数，就是其末一位数字被2(或5)除得的余数；

⑤一个数被4(或25)除得的余数，就是其末两位数字被4(或25)除得的余数；

⑥一个数被8(或125)除得的余数，就是其末三位数字被8(或125)除得的余数。

（2）能被3、9整除的数的数字特性

①能被3(或9)整除的数，各位数字和能被3(或9)整除。

②一个数被3(或9)除得的余数，就是其各位相加后被3(或9)除得的余数。

【例5】下列四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同时被2、3、5整除的数是多少？(　　)

A．XXXYXX

B．XYXYXY

C．XYYXYY

D．XYYXYX

【答案】B

【解析】这个六位数能被2、5整除，则末位为0；这个六位数能被3整除，则六位数各位数字和是3的倍数，因此B项正确。

【例6】两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时。同时点燃两根蜡烛，一段时间后，同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍。问两根蜡烛燃烧了多长时间？（　　）[2013贵州农信社]

A．30分钟

B．35分钟

C．40分钟

D．45分钟

【答案】D

【解析】设两根蜡烛燃烧了x分钟，由点完粗蜡烛需180分钟，点完细蜡烛需要60分钟可得：1－x/180＝3×（1－x/60），得x＝45。

（3）倍数关系核心判定特征

①如果a:b＝m:n(m，n互质)，则a是m的倍数；b是n的倍数。

②如果a:b＝m:n(m，n互质)，则a±b应该是m±n的倍数。

③如果x＝y(m，n互质)，则x是m的倍数；y是n的倍数。