2020年考研数学(三)考试大纲解析
上QQ阅读APP看本书,新人免费读10天
设备和账号都新为新人

第5章 无穷级数

一、常数项级数与收敛级数

1.常数项级数

(1)定义

给定一个数列由这数列构成的表达式

称为(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记为,即

其中第n项称为级数的一般项.

(2)收敛与发散

如果级数的部分和数列有极限s,即

称无穷级数收敛,极限s称为该级数的和,并写成

如果没有极限,则称无穷级数发散.

2.收敛级数的基本性质

(1)性质1

如果级数收敛于和s,则级数也收敛,且其和为ks;

级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不会改变.

(2)性质2

如果级数分别收敛于和s与σ,则级数也收敛,且其和为s±σ.

(3)性质3

在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.

(4)性质4

如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数

仍收敛,且其和不变;

如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.

(5)性质5(级数收敛的必要条件)

如果级数收敛,则

3.几何级数

其中a≠0,q为级数的公比.则

(1)若,几何级数收敛,其和为

(2)若,几何级数发散.

4.p级数

(1)当时,p级数收敛;

(2)当时,p级数发散.

二、正项级数

1.正项级数

各项都是正数或零的级数称为正项级数.

2.比较判别法

设正项级数,若∃某正整数N,对∀n>N有,则:

(1)若收敛,则收敛;

(2)若发散,则发散.

推论:设正项级数,且

如果,且收敛,则收敛;

如果,且发散,则发散.

3.比值判别法

设正项级数,如果,则:

(1)ρ<1时,收敛;

(2)ρ>1(或ρ=+∞)时,级数发散;

(3)ρ=1时级数可能收敛也可能发散.

三、交错级数

1.交错级数

各项是正负交错的级数称为交错级数,即,其中,…都是正数.

2.莱布尼茨定理

若交错级数满足:

(1)

(2),则收敛.

四、任意项级数

1.定义

各项是任意实数的级数称为任意项级数.

2.绝对收敛与条件收敛

(1)绝对收敛:若收敛,则绝对收敛.

(2)条件收敛:若收敛,而发散,则条件收敛.

注:如果收敛,则一定收敛.

(3)绝对收敛与条件收敛的关系

如果级数绝对收敛,则级数必定收敛;

如果级数发散,则不能断定级数也发散.

五、幂级数

1.定义

各项都是常数乘幂函数的函数项级数称为幂级数,形式为

其中常数称为幂级数的系数.

2.收敛性

如果幂级数不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R存在,使得:

(1)当时,幂级数绝对收敛;

(2)当时,幂级数发散;

(3)当时,幂级数可能收敛也可能发散.

则正数R称为幂级数的收敛半径.开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间,再由幂级数在x=±R处的收敛性来决定幂级数的收敛域是(-R,R)、[-R,R)、(-R,R]或[-R,R]这四个区间之一.

3.收敛半径R的计算

如果,其中是幂级数的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径

4.幂级数的和函数性质

(1)的和函数s(x)在其收敛区间I上连续.

(2)的和函数s(x)在其收敛区间I上可积, 即

(3)的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导,即

(4)的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数.

5.麦克劳林展开式与常见函数的幂级数展开式

(1)麦克劳林展开式

(2)常见函数的幂级数展开式