第5章 无穷级数
一、常数项级数与收敛级数
1.常数项级数
(1)定义
给定一个数列由这数列构成的表达式
称为(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记为,即
其中第n项称为级数的一般项.
(2)收敛与发散
如果级数的部分和数列有极限s,即
称无穷级数收敛,极限s称为该级数的和,并写成
如果没有极限,则称无穷级数发散.
2.收敛级数的基本性质
(1)性质1
①如果级数收敛于和s,则级数也收敛,且其和为ks;
②级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不会改变.
(2)性质2
如果级数与分别收敛于和s与σ,则级数也收敛,且其和为s±σ.
(3)性质3
在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.
(4)性质4
①如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数
仍收敛,且其和不变;
②如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.
(5)性质5(级数收敛的必要条件)
如果级数收敛,则.
3.几何级数
其中a≠0,q为级数的公比.则
(1)若,几何级数收敛,其和为;
(2)若,几何级数发散.
4.p级数
(1)当时,p级数收敛;
(2)当时,p级数发散.
二、正项级数
1.正项级数
各项都是正数或零的级数称为正项级数.
2.比较判别法
设正项级数和,若∃某正整数N,对∀n>N有,则:
(1)若收敛,则收敛;
(2)若发散,则发散.
推论:设正项级数和,且
①如果,且收敛,则收敛;
②如果或,且发散,则发散.
3.比值判别法
设正项级数,如果,则:
(1)ρ<1时,收敛;
(2)ρ>1(或ρ=+∞)时,级数发散;
(3)ρ=1时级数可能收敛也可能发散.
三、交错级数
1.交错级数
各项是正负交错的级数称为交错级数,即,其中,,…都是正数.
2.莱布尼茨定理
若交错级数满足:
(1);
(2),则收敛.
四、任意项级数
1.定义
各项是任意实数的级数称为任意项级数.
2.绝对收敛与条件收敛
(1)绝对收敛:若收敛,则绝对收敛.
(2)条件收敛:若收敛,而发散,则条件收敛.
注:如果收敛,则一定收敛.
(3)绝对收敛与条件收敛的关系
①如果级数绝对收敛,则级数必定收敛;
②如果级数发散,则不能断定级数也发散.
五、幂级数
1.定义
各项都是常数乘幂函数的函数项级数称为幂级数,形式为
其中常数称为幂级数的系数.
2.收敛性
如果幂级数不是仅在x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R存在,使得:
(1)当时,幂级数绝对收敛;
(2)当时,幂级数发散;
(3)当与时,幂级数可能收敛也可能发散.
则正数R称为幂级数的收敛半径.开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间,再由幂级数在x=±R处的收敛性来决定幂级数的收敛域是(-R,R)、[-R,R)、(-R,R]或[-R,R]这四个区间之一.
3.收敛半径R的计算
如果,其中、是幂级数的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径
4.幂级数的和函数性质
(1)的和函数s(x)在其收敛区间I上连续.
(2)的和函数s(x)在其收敛区间I上可积, 即
(3)的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导,即
(4)的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数.
5.麦克劳林展开式与常见函数的幂级数展开式
(1)麦克劳林展开式
(2)常见函数的幂级数展开式
①;
②;
③;
④;
⑤.