第3章　线性系统的时域分析法

3.1　复习笔记

一、系统时间响应的性能指标

1．典型输入信号

控制系统中常用的一些基本输入信号如表3-1-1所示。

表3-1-1　控制系统典型输入信号

2．动态性能与稳态性能

（1）动态性能指标

——延迟时间，到稳态值一半的时间；

——上升时间，从终值10%上升到终值90%所用的时间，有时也取t＝0到第一次穿越的时间（对有振荡的系统）；

——峰值时间；

——调节时间，进入误差带且不超出误差带的最短时间；

——超调量，。

（2）稳态性能

稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t→∞时，输出量与期望输出的偏差。

二、一阶系统的时域分析

1．一阶系统的数学模型

一阶系统的传递函数为：

2．一阶系统的时间响应

一阶系统对典型输入信号的时间响应如下表所示。

表3-1-2　一阶系统对典型输入信号的时间响应

三、二阶系统的时域分析

1．二阶系统的数学模型

二阶系统的传递函数为：

其中，，称为自然频率；,称为阻尼比。

2．欠阻尼二阶系统

（1）当时，为欠阻尼二阶系统，此时有一对共轭复根

（2）单位阶跃响应

式中，，或者。

各性能指标

3．临界阻尼二阶系统

（1）当时，为临界阻尼二阶系统，此时。

（2）单位阶跃响应

4．过阻尼二阶系统

（1）当时，为过阻尼二阶系统。

（2）单位阶跃响应

四、高阶系统的时域分析

闭环主导极点：距虚轴最近的极点，其他极点距虚轴远远大于该（对）极点，周围又无零点的极点称闭环主导极点。

五、线性系统的稳定性分析

1．线性系统稳定的充要条件

闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环系统传递函数的所有极点均位于s左半平面。

2．劳斯——赫尔维茨稳定判据

（1）赫尔维茨判据

设系统特征方程为：

则系统稳定的充要条件是：

①的各项系数均为正；

②其赫尔维茨行列式的顺序主子式均大于零。

（2）劳斯判据

系统稳定的充要条件是劳斯表中的第一列为正。劳斯表中第一列正负号改变的次数是特征方程正实部根的数目。

注意劳斯判据的特殊情况：

①某行第一列项为零，而其余各项不为零，或不全为零。此时可以用（）乘以原特征方程，其中为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。

②劳斯表中出现全零行。这种情况表明特征方程中存在绝对值相同但符号相异的特征根，此时可用全零行上面一行的系数构造一个辅助方程，并将辅助方程对s求导，用所得导数方程的系数取代全零行的元，便可继续计算。

六、线性系统的稳态误差计算

1．误差与稳态误差

图3-1-1　控制系统

（1）误差：如图3-1-1所示的控制系统中，称为误差信号，简称误差。

（2）稳态误差：误差信号的稳态分量称为稳态误差。

2．系统的稳态误差计算

（1）系统的型次

设系统的开环传递函数为：

其中，k 为开环增益，为时间常数，是纯积分环节的次数，称系统的型次。

（2）典型输入信号下各型次系统的稳态误差计算

在阶跃信号、斜坡信号、加速度信号三种典型输入信号下，各型次系统的稳态误差如表3-1-3所示。

表3-1-3　典型输入信号作用下的稳态误差

3．动态误差系数

由误差表达式可得，称为动态误差系数。它们与静态误差系数的关系为：

0型系统：；

Ⅰ型系统：；

Ⅱ型系统：。

4．扰动作用下的稳态误差

图3-1-2　存在扰动的控制系统

如图3-1-2所示，对于存在扰动的控制系统，可以用以下两种方法分析其稳态误差。

（1）动态误差系数法，将误差的拉氏变换为Taylor级数来分析；

（2）当在s右半平面及虚轴上解析时，可以用终值定理来计算稳态误差。

5．减小或消除稳态误差的措施

（1）增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益；

（2）在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节；

（3）采用串联控制内回路扰动；

（4）采用复合控制。