3.2 课后习题详解
1．画出如下消费者对两种商品：啤酒与可口可乐偏好的无差异曲线。
（1）消费者甲喜欢啤酒但不喜欢可口可乐，他总是喜欢有更多的啤酒，不管他有多少可口可乐。
（2）消费者乙认为在任何情况下，三瓶可乐与两瓶啤酒无差别。
（3）消费者丙喜欢一半啤酒与一半可乐一起喝，他从不单独只喝啤酒或只喝可乐。
答：（1）无差异曲线如图3-31（a）所示。对甲而言，其对可乐的消费已饱和，无论增加多少可乐的消费，他的效用都不会增加。
（2）无差异曲线如图3-31（b）所示。对消费者乙而言，可乐和啤酒是完全替代品。
（3）无差异曲线如图3-31（c）所示。对消费者丙而言，可乐和啤酒是完全互补品。
图3-31 无差异曲线
2．假如某消费者认为啤酒与可乐是完全可替代的（其替代比例为1：1）：
（1）试画出这个消费者关于这两种商品的无差异曲线；
（2）如果每瓶啤酒3元，每瓶可乐2元，消费者每月准备用30元购买这两种商品，那么他将怎样作出选择？试用图表示。
答：（1）该消费者关于啤酒与可乐这两种商品的无差异曲线如图3-32所示。
图3-32 两种商品的无差异曲线
（2）如图3-33所示，可作出该消费者的预算约束线和求出最优选择点。
图3-33
，
，
，消费预算线为：3b＋2c＝30。
因为
所以消费者将只消费可乐，即c＝30÷2＝15，b＝0。
3．某航空公司向它的乘客提供下列奖励计划：每年乘坐该航空公司飞机旅行超过30000英里者，可以获得机票减价25%的优惠；如果飞行超过50000英里者，可以获机票减价50%的优惠。画出该航空公司的乘客的预算线。
答：如图3-34所示，横轴s表示飞行里程数，纵轴P表示机票价格。由题意可知，该预算线在s＝30000和s＝50000处发生弯折。
图3-34
4．一个消费者愿意用1磅牛排换3磅汉堡包，目前他每月购买的牛排与汉堡包的重量相同，而牛排的价格是汉堡包的2倍，那么他是应该增加牛排的购买减少汉堡包的购买，还是相反？
解：以b和h分别代表牛排和汉堡包，由题意可知：
则有：
故应该增加牛排的购买减少汉堡包的购买。
5．小杨是个电脑游戏狂热爱好者。他除了吃饭，将其所有的钱全花在打游戏上。他的效用函数是
其中g代表打游戏的数量，f代表食物数量。
（1）请求出小杨对食物和打游戏的需求函数，假设其价格分别为
，
，小杨的收入为I。
（2）当
时，小杨对食物的价格需求弹性是多少？
（3）小杨的女朋友对小杨打游戏很不满，她说，小杨将其增加的收入全部花在打游戏上。如果
，她的不满是否有根据？
（4）当
时，小杨对食物及打游戏的需求又如何？
解：（1）效用最大化可表示为：
构造拉格朗日函数为：
F.O.C.：
解得：
所以，当时，
当
时，
，
。
（2）当
时，
（3）若
，因为食物的消费量是固定的（
），从而花在食物上的钱也是固定的（
），所以增加的收入全部花在打游戏上。
（4）根据第（1）问可知，当
时，
，
，即所有的收入都花在食物支出上，对游戏的需求为零。
6．一个消费者每月用200元购买两类食品：肉制品
平均每磅4元，豆制品
平均每磅2元。
（1）请画出他的预算线；
（2）如果他的效用函数为
为使效用最大化，与各是多少？
（3）如果商家对商品2采取买20磅送10磅的销售办法，试画出新的预算线。
（4）如果商品2价格提到4元，并取消优惠政策。那么新的预算线又怎样？效用最大的与各是多少？
解：（1）由
，
，
得预算线为
如图3-35所示。
图3-35
（2）若效用函数为
则：
故他会将所有收入花在豆制品上，从而
，
。
（3）如果商家对商品2采取买20磅送10磅的销售办法，则商品2的实际价格为
，从而新的预算线方程为
如图3-36所示。
图3-36
（4）如果商品2的价格提到4元，新的预算线为
由
故他仍会将所有收入花在豆制品上，从而，
。
7．假定某消费者总喜欢1杯牛奶和2根油条一起吃。如果每根油条价格为
，每杯牛奶价格为
，消费者花费1元在牛奶与油条上，那么他将打算购买多少牛奶和油条？
解：令和分别表示牛奶和油条，由题意可知，和为互补品，从而该消费者的效用函数为
在最优消费点上，有：
，
。
解得：
8．当商品X的价格上涨，商品Y的消费不变。
（1）试绘出相应的P.C.C.曲线。
（2）请判断X和Y分别为低档品还是正常品？为什么？
答：（1）设商品X的初始价格为，消费者的初始均衡点为
。X商品价格由上涨至和
后，均衡点从移动到
再到
。由于商品Y的消费量不变，所以P.C.C.曲线为平行于横轴的直线，如图3-37所示。
图3-37
（2）关于两种商品类型的判断需要通过I.C.C.曲线来分析。
I.C.C.曲线是在消费者偏好和商品价格不变的情况下，仅由收入变化引起的最优消费组合均衡点的变化轨迹。
第一种情况：在图3-37中作两条补偿预算线，平行于原预算线并分别与
、
相切于、点的右侧，因此，随着收入下降，消费者对两种商品的购买力都会下降，因此，X、Y都为正常品。
第二种情况：如图3-38所示，价格上升后，新的均衡点为，Y的消费量不变，X的消费量减少，作补偿预算线与新无差异曲线相切于A点，从图中可以看出，商品Y的消费量减少了，但商品X的消费量增加了。此时，Y是正常品，而X是低档品；同理，X还有可能是中性品。
因此，仅能判断出Y是正常品，但不能判断X是正常品、中性品还是低档品。
图3-38
9．若X，Y的I.C.C.曲线为垂直线，则我们可从中得出哪些推论？
答：设
、
、
表示三个不同的收入水平，且
，根据题意得图3-39。
图3-39
I.C.C.曲线为垂直线表示随着收入增加，商品X的消费数量不变，增加的收入全部用于购买商品Y，从而商品X为中性品，商品Y为正常品。
（1）X为中性品。在其他条件不变的情况下，商品X的消费量不随收入变化而变化，其需求收入弹性为零，因而它是中性品；其次，在其他条件不变的情况下，如果它的价格发生变化，将只有替代效应，没有收入效应，总效应＝替代效应，其需求曲线的斜率一定为负。
（2）Y为正常品。在其他条件不变的情况下，商品Y的消费量随收入的增加而增加，其需求的收入弹性大于零，因而它是正常品。
10．假设效用函数为
请证明X与Y的恩格尔曲线是一条直线。
证明：消费者效用最大化问题为：
构造拉格朗日函数为：
F.O.C：
解得：
，
。即
和
的恩格尔曲线均为直线，其斜率分别为
和
。
11．若电影票价上涨，则某人将花更少的钱去看电影，试绘出他的P.C.C.线。
答：如图3-40所示，横坐标表示电影票的数量，纵坐标表示消费者的货币收入或在其他商品上的支出。随着电影票价的上涨（
），预算线绕其与纵轴的交点向原点方向旋转，并分别与无差异曲线相切于
、
、
，那么
、
、
分别为三种价格水平下该消费者在电影票上的花费，由于电影票价上涨，消费者将花更少的钱去看电影，所以有
，P.C.C.曲线向右下方倾斜。
图3-40
12．设某人对X，Y的效用函数为
（1）试求出此人普通的需求曲线。
（2）若PX＝4元，PY＝6元，I＝120元，此人会消费多少X及Y？
（3）求此人Y商品收入补偿的需求曲线？
解：（1）
构造拉格朗日函数：
F.O.C.：
解得：
，
，即此人对X和Y的普通需求函数。
（2）将
，
，
代入（1）的结果中，得
（3）在消费均衡点，此人的满足程度为
设不变，Y的收入补偿曲线可由下式求得：
构造拉格朗日函数：
F.O.C.：
解得
，此即Y商品的收入补偿需求曲线。
13．某消费者对X、Y商品的效用函数为U＝2X＋Y。商品X、Y的价格
、
给定，消费者的收入亦给定。
（1）请绘出该消费者对这两种商品的无差异曲线。
（2）当消费者收入增加时，如果X商品的价格小于Y商品的价格，请画出该消费者对商品X的收入—消费曲线和恩格尔曲线。
（3）当消费者的收入I给定时，如果X商品的价格小于Y商品的价格，试求该消费者对商品X的需求函数。
答：（1）该消费者对两种商品的无差异曲线如图3-41所示。
图3-41
由效用函数U＝2X＋Y可知，
即无差异曲线的斜率恒为－2。
（2）若
，有
所以该消费者会将收入全部用于消费X商品：
此函数即代表对商品X的恩格尔曲线，如图3-42所示。
图3-42
（3）当
时，消费者仅消费X，故消费者对X的需求函数为
14．某消费者的效用函数为U＝XY，PX＝1元，PY＝2元，收入I＝40元，现在PY突然下降到1元。试问：
（1）Y价格下降的替代效应，使他买更多还是更少的Y？
（2）Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入？收入效应使他买更多还是更少的Y？
（3）Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X？收入效应使他买更多还是更少的X？Y价格下降对X的需求的总效应是多少？对Y需求的总效应是多少？
解：由消费者均衡条件
可得，X＝2Y，结合预算方程X＋2Y＝40，可知X＝20，Y＝10。
当
时，此时消费者均衡条件变为X＝Y，结合预算方程X＋Y＝40，可得新的消费量为X＝20，Y＝20。
故Y价格下降对Y的总的效应为20－10＝10，对X的总的效应为0。
替代效应是指保持原有消费组合不变，当商品价格变动时，商品消费数量的变动。
如果保持原有的效用水平不变，即需要的收入补偿为：U＝XY＝20×10＝200，而当时，
（1）Y价格下降对Y需求的替代效应为
，使他买更多的Y。
（2）Y价格下降对Y需求的收入效应为
相当于使他增加了
的收入，收入效应使他买更多的Y。
（3）Y价格下降对X需求的替代效应为
，即替代效应使他买更少的X。
Y价格下降对X需求的收入效应为
即收入效应使他买更多的X；Y价格下降对Y的总的收入效应为20－10＝10，对X的总的收入效应为0。
15．老王喜欢喝白酒，当其他商品价格固定不变时，他对高质量的白酒的需求函数为q＝0.02M－2P。收入M＝7500元，价格P＝30元。现在价格上升到40元，问价格上涨的价格效应是多少瓶酒？其中替代效应是多少瓶？收入效应是多少瓶？
解：当
，
时，
当
时，
故价格上涨的价格效应是70－90＝－20瓶酒。
替代效应是在新的价格下保持原有消费组合不变，此时补偿收入为：
当
，时，
故替代效应为88－90＝－2瓶，收入效应为－20－（－2）＝－18瓶。
16．为了刺激消费，政府拟在以下两种方案中选择其一：对购买的每单位某种商品均补贴r（比例补贴），或者给予消费者收入补贴R（定额补贴）。假定这两种不同补贴的总金额相同。请用图比较这两种不同补贴方案会对消费者的选择和效用有什么影响？说明政府采取哪一种方案更能提高消费者的效用水平？
答：如图3-43所示。
图3-43
比例补贴后，相当于每单位X商品的价格下降了，因而预算线由AB绕A点移动至
的位置。设原来的消费点为C，效用为
，当政府给予比例补贴后，消费者会以
的收入来购买OG的X。而在补贴前，该消费者欲购买OG的X，需要花费EF的收入才能得到，其差额
即为政府补贴金额。
在政府付出相同金额（）的情况下，把比例补贴改为定额补贴，即给予消费者数额的现金，则预算线会通过
点而与AB线平行（因为此时X价格不会变动，如图中
所示）；此时新的预算线会与一条满足水平更高的无差异曲线相切，故消费者的消费点会移至点
，而消费者的效用会增加至
，比间接补贴的效用更大。由于在定额补贴之下，消费者能有更多的选择自由，而不会把补贴的金额全数用来购买X，故所能获得的效用也比间接补贴要大。
17．假定效用函数为
q为消费的商品数量，M为收入。试求：
（1）商品的需求函数及其反需求函数。
（2）求p＝0.05，q＝25时的消费者剩余。
解：（1）消费者面临的消费最大化问题为：
构造拉格朗日函数：
通过一阶条件
，
和
，即可求出该商品的需求函数为：
，反需求曲线为：
（2）当
，
时，消费者剩余如图3-44阴影部分所示。
图3-44
消费者剩余为：
