2.2　课后习题详解

2.1已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）微分方程的特征方程为：λ²＋5λ＋6＝0，

特征根为：λ₁＝－2，λ₂＝－3，

微分方程的齐次解为：，

代入初始条件得：C₁＝2，C₂＝－1，

所以系统的零输入响应为：。

（2）微分方程的特征方程为：λ²＋2λ＋5＝0，

特征根为：λ_1，2＝－1±j2，

微分方程的齐次解为：，

激励为0，代入初始条件得：C₁＝2，C₂＝0，

所以系统的零输入响应为：。

（3）微分方程的特征方程为：λ²＋2λ＋1＝0，

特征根为：λ_1，2＝－1，

微分方程的齐次解为：，

代入初始条件得：C₁＝1，C₂＝2，

所以系统的零输入响应为：。

（4）微分方程的特征方程为：λ²＋1＝0，

特征根为：λ_1，2＝±j

微分方程的齐次解为：

激励为0，代入初始条件得：y_zi（0_－）＝C₁＝2，y_zi^′（0_－）＝C₂＝0，

所以系统的零输入响应为：y_zii（t）＝2cost，t≥0。

（5）特征方程为：λ³＋4λ²＋5λ＋2＝0，

特征根为：λ₁＝λ₂＝－1，λ₃＝－2，

微分方程的齐次解为：，

代入初始条件得：，

所以系统的零输入响应为：。

2.2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其0_＋值y（0_＋）和y'（0_＋）。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）方程右端不含有冲激项，y（t）及其各阶导数不发生跃变，则

y（0_＋）＝y（0_－）＝1，y′（0_＋）＝y′（0_－）＝1

（2）将f（t）＝δ（t）代入微分方程，有

y″（t）＋6y′（t）＋8y（t）＝δ″（t）　  ①

可见y″（t）中含δ″（t）。

设

y″（t）＝aδ″（t）＋bδ′（t）＋cδ（t）＋r₁（t）  ②

其中r₁（t）不含δ（t）及其导数项。

积分得

y′（t）＝aδ′（t）＋bδ（t）＋r₂（t）　 ③

而，

再积分得

y（t）＝aδ（t）＋r₃（t）　  ④

代入原方程得

比较系数得：a＝1，6a＋b＝0，8a＋6b＋c＝0

解得：a＝1，b＝－6，c＝28

对式②③分别从0_－到0_＋积分得

y′（0_＋）－y′（0_－）＝c＝28

y（0_＋）－y（0_－）＝b＝－6

所以y′（0_＋）＝y′（0_－）＋28＝29，y（0_＋）＝y（0_－）－6＝－5。

（3）将f（t）＝δ（t）代入微分方程，有

y″（t）＋4y′（t）＋3y（t）＝δ″（t）＋δ（t）

可见y″（t）中含δ″（t）。

设

y″（t）＝aδ″（t）＋bδ′（t）＋cδ（t）＋r₁（t）　 ②

其中r₁（t）不含δ（t）及其导数项。

积分得

y′（t）＝aδ′（t）＋bδ（t）＋r₂（t）　 ③

再积分得

y（t）＝aδ（t）＋r₃（t）  ④

将式②③④代入①得

比较系数得：a＝1，4a＋b＝0，3a＋4b＋c＝1

解得：a＝1，b＝－4，c＝14

对式②③分别从0_－到0_＋积分得

y′（0_＋）－y′（0_－）＝c＝14

y（0_＋）－y（0_－）＝b＝－4

所以y′（0_＋）＝y′（0_－）＋14＝12，y（0_＋）＝y（0_－）－4＝－2。

（4）将f（t）＝e^－2tδ（t）代入微分方程，有：y″（t）＋4y′（t）＋5y（t）＝－2e^－2t＋δ（t）。

可见y″（t）中含δ（t），y（t）中不含δ（t）。

方程两端0_－到0_＋积分得

y（t）在t＝0处连续，得：

所以y′（0_＋）＝y′（0_－）＋1＝3，y（0_＋）＝y（0_－）＝1。

2.3图2-1所示RC电路中，已知R＝1Ω，C＝0.5F，电容的初始状态u_c（0_－）＝－1V，试求激励电压源u_s（t）为下列函数时电容电压的全响应u_c（t）。

（1）u_s（t）＝ε（t）

（2）u_s（t）＝e^－tε（t）

（3）u_s（t）＝e^－2tε（t）

（4）u_s（t）＝tε（t）

图2-1

解：由电路图可知：；

代入初始条件得：u_c′（t）＋2u_c（t）＝2u_s（t）。

（1）当时，方程等号右端不含冲激项，故

u_c（0_＋）＝u_c（0_－）＝－1

微分方程齐次解为：u_Cn（t）＝C₁e^－2t，

特解为：u_Cp（t）＝1，t≥0，

全解为：u_C（t）＝u_Cn（t）＋u_Cp（t）＝C₁e^－2t＋1，t≥0，

代入初始条件得：u_C（0_＋）＝C₁＋1＝－1，

得：C₁＝－2，

则电路在此激励下全响应为：u_C（t）＝－2e^－2t＋1，t≥0。

（2）当时，方程等号右端不含冲激项，故

u_C（0_＋）＝u_C（0_－）＝－1

微分方程齐次解为：u_Cn（t）＝C₁e^－2t，

特解为：u_Cp（t）＝2e^－t，t≥0，

全解为：u_C（t）＝u_Cn（t）＋u_Cp（t）＝C₁e^－2t＋2e^－t，t≥0，

代入初始条件得：C₁＝－3，

则电路在此激励下全响应为：u_C（t）＝－3e^－2t＋2e^－t，t≥0。

（3）当激励u_S（t）＝e^－2tε（t）时，方程右端不含冲激项，故

u_c（0_＋）＝u_c（0_－）＝－1

齐次解为：u_Cn（t）＝C₁e^－2t，

特解为：u_Cp（t）＝2te^－2t，t≥0，

全解为：u_C（t）＝u_Cn（t）＋u_Cp（t）＝C₁e^－2t＋2e^－t，t≥0，

代入初始条件得：u_C（0_＋）＝C₁＝－1，

则电路在此激励下全响应为：u_C（t）＝－e^－2t＋2te^－2t，t≥0。

（4）当激励时，方程右端不含冲激项，故

u_c（0_＋）＝u_c（0_－）＝－1

齐次解为：u_Cn（t）＝C₁e^－2t，

特解为：u_Cp（t）＝t－0.5，t≥0，

全解为：u_C（t）＝u_Cn（t）＋u_Cp（t）＝C₁e^－2t＋t－0.5，t≥0，

代入初始条件得：u_C（0_＋）＝C₁－0.5＝－1，即C₁＝－0.5，

则电路在此激励下全响应为：u_C（t）＝－0.5e^－2t＋t－0.5，t≥0。

2.4已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应，零状态响应和全响应。

（1）

（2）

（3）

解：（1）①由零输入响应的性质可知

特征方程为：

特征根为：

微分方程的解为：y_zi（t）＝C₁e^－3t＋C₂e^－t，t≥0，

代入初始条件得：y_zi（0_＋）＝C₁＋C₂＝1，y_zi′（0_＋）＝－3C₁－C₂＝1，

解得：C₁＝－1，C₂＝2，

故系统零输入响应为：y_zi（t）＝－e^－3t＋2e^－t，t≥0

②由零状态响应的性质可知

齐次解为：y_zsh（t）＝C₃e^－3t＋C₄e^－t，t≥0，

特解为：，

全解为：，

代入初始条件得：，y_zs′（0_＋）＝－3C₃－C₄＝0，

解得：，

故系统零状态响应为：，

综上，系统全响应为：，

（2）由零输入响应的性质可知

特征方程为：

特征根为：

齐次解为：，

代入初始条件得：y_zi（0_＋）＝C₂＝1，y_zi′（0_＋）＝C₁－2C₂＝2，

解得：C₁＝4，C₂＝1，

故系统零输入响应为：y_zi（t）＝（4t＋1）e^－2t，t≥0。

②由零状态响应的性质可知

方程右端含，比较可得

齐次解为：，

特解为：，

全解为：，

解得：C₃＝－1，C₄＝－2，

故系统零状态响应为：，

综上，系统全响应为：。

（3）①由零输入响应的性质可知

特征方程为：

特征根为：

齐次解为：，

解得：C₁＝0，C₂＝1，

故系统零输入响应为：。

②由零状态响应的性质知

方程右端含，比较可得

方程的解为：，

解得：C₃＝0，C₄＝1，

故系统零状态响应为：y_zs（t）＝e^－tsint，t≥0，

综上，系统全响应为：。

2.5如图2-2所示的电路，已知，列出i（t）的微分方程，求其零状态响应。

图2-2

解：各元件端电压和端电流的关系为

，

由KCL得：，

由KVL得：，且，

联立各式得：，

代入数据得：，

零状态响应全解为：，

方程右端不含冲激项，所以

解得：C₁＝－2，C₂＝1，

故零状态响应为：。

2.6如图2-3所示的电路，已知若以为输出，求其零状态响应。

图2-3

解：各元件端电流和端电压关系为

根据电路元件关系有：，

联立各式可得：，

代入数据得：，

零状态响应全解为：，

方程右端无冲激项，所以

解得：，

故系统的零状态响应为：。

2.7计算题2.4中各系统的冲激响应。

解：（1）设冲激响应为，则有

比较可知，中含冲激项，所以，

微分方程齐次解为：，

代入初始条件得：，

解得：c₁＝0.5，c₂＝－0.5，

故系统的冲激响应为：h（t）＝0.5（e^－t－e^－3t）ε（t）。

（2）冲激响应h（t）满足

时，，

比较可得：，

齐次解为：，

代入初始条件得：，，

故系统的冲激响应为：。

（3）冲激响应h（t）满足

时，，

比较可得：，

齐次解为：，

代入初始值得：，，

故系统冲激响应为：。

2.8如图2-4所示的电路，若以i_s（t）为输入，u_R（t）为输出，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。

图2-4

解：由KCL及伏安特性知

，，，

联立以上三式得：，

代入数据得：，

设系统单位冲激响应为，比较可知中含冲激项，，

解得：，

代入初始值得系统冲激响应为：，

则系统的阶跃响应为：。

2.9如图2-5所示的电路，若以u_s（t）为输入，u_c（t）为输出，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。

图2-5

解：由KVL得：u_R（t）＝u_S（t）－u_C（t），

由KCL及元件伏安特性得：，

联立以上两式得：，

代入数据得：，

阶跃响应g（t）满足：，

方程右端无冲激项，所以，

微分方程全解为：，

代入初始值得：，

故系统的冲激响应为：。

2.10如图2-4所示的电路，若以电容电流i_c（t）为响应，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。

解：由题2.8可知：，

微分得：，

由元件伏安特性得：，

两边求导得：，

代入微分方程得：，

阶跃响应g（t）满足：g′（t）＋2g（t）＝δ（t），

等价于：，

微分方程齐次解为：g（t）＝Ce^－2t，t＞0，

代入初始值得阶跃响应：g（t）＝e^－2tε（t），

故系统单位冲激响应：。

2.11如图2-5所示的电路，若以电阻R₁上电压u_R（t）为响应，试列出其微分方程，并求出冲激响应和阶跃响应。

解：由题2.9可知：u_C′（t）＋u_C（t）＝0.5u_S（t），

根据电压关系：u_C（t）＝u_S（t）－u_R（t），

代入上式得：，

冲激响应满足

由于方程右端含，故设

对式②积分，得

其中均为不含冲激项的函数。

将②、③式代入①式中，整理得

比较上式冲激函数及其导数前的系数，解得a＝1，b＝－0.5。

对②式从0_－到0_＋积分，得

因为满足

h′（t）＋h（t）＝0

故可设齐次方程的解为

将初始值h（0_＋）＝－0.5代入上式，解得C＝－0.5。

所以

h（t）＝－0.5e^－t，t＞0

当t＜0时，h（t）＝0，且由③式知h（t）中含冲激项，且强度为a＝1，因此，h（t）可写成

根据阶跃响应与冲激响应之间的关系，得阶跃响应为

2.12如图2-6所示的电路，以电容电压u_c（t）为响应，试求其冲激响应和阶跃响应。

图2-6

解：由KCL及元件伏安特性有：，

微分得：，

又因为，即，

所以，

代入数值得：，

阶跃响应g（t）满足：，

方程右端不含冲激项，所以，

微分方程全解为：，

解得：C₁＝－2，C₂＝1，

故系统阶跃响应为：，

系统单位冲激响应为：。

2.13如图2-7所示的电路，L＝0.2H，C＝1F，R＝0.5Ω，输出为i_L（t），求其冲激响应和阶跃响应。

图2-7

解：由KCL及元件伏安特性可知：

联立可得：；

代入数值得：；

阶跃响应满足：；

又；

解得：；

则系统阶跃响应为：；

系统冲激响应为：。

2.14描述系统的方程为：y′（t）＋2y（t）＝f′（t）－f（t），求其冲激响应和阶跃响应。

解：冲激响应h（t）满足h′（t）＋2h（t）＝δ′（t）－δ（t），设h₁′（t）＋2h₁（t）＝δ（t），则

h（t）＝h₁′（t）－h₁（t）

可知：。

代入初始条件得：；

系统的冲激响应为：；

系统的阶跃响应为：。

2.15描述系统的方程为：，求其冲激响应和阶跃响应。

解：设新变量，满足方程

设冲激响应为，则有

微分方程齐次解为：

代入初始值得：

系统的冲激响应为：

系统的阶跃响应为：

2.16各函数波形如图2-8所示，图（b）、（c）、（d）中均为单位冲激函数，试求下列卷积，并画出波形图。

（1）f₁（t）*f₂（t）

（2）f₁（t）*f₃（t）

（3）f₁（t）*f₄（t）

（4）f₁（t）*f₂（t）*f₂（t）

（5）f₁（t）*[2f₄（t）－f₃（t－3）]

图2-8

解：（1）f₂（t）＝δ（t＋2）＋δ（t－2）

根据卷积的性质

f₁（t）分别向左向右各平移2个单位后叠加，波形如图2-9（a）所示。

（2）f₃（t）＝δ（t＋1）＋δ（t－1）

根据卷积的性质

f₁（t）分别向左向右平移1个单位后叠加，波形如图2-9（b）所示。

（3）f₄（t）＝δ（t－2）－δ（t－3）＋δ（t－4）

根据卷积的性质

f₁（t）时移后叠加，波形如图2-9（c）所示。

（4）由（2）可知，

f₁（t）时移后叠加，波形如图2-9（d）所示。

（5）根据已知波形

所以

波形如图2-9（e）所示。

图2-9

2.17求下列函数的卷积积分f₁（t）*f₂（t）。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

根据卷积的迟延性，若f（t）＝ε（t）*ε（t），则有f₁（t）*f₂（t）＝f（t＋2－3）＝f（t－1）；

因ε（t）*ε（t）＝tε（t），故f₁（t）*f₂（t）＝（t－1）ε（t－1）。

（7）设f（t）＝ε（t）*sin（πt）ε（t），则

所以

（8）设，则

（9）设，则

根据卷积时移性质，有；

所以

（10）设；

则

根据卷积时移性，有；

所以。

2.18某LTI系统的冲激响应如图2-10（a）所示，求输入为下列函数时的零状态响应（或画出波形图）。

（1）输入为单位阶跃函数ε（t）。

（2）输入为f₁（t），如图2-10（b）所示。

（3）输入为f₂（t），如图2-10（c）所示。

（4）输入为f₃（t），如图2-10（d）所示。

（5）输入为f₂（－t＋2）。

图2-10

解：由各波形图可得

h（t）＝ε（t）－ε（t－2）

f₁（t）＝ε（t－2）－ε（t－3）

（1）当输入为单位阶跃函数时，系统的零状态响应为

（2）当输入为f₁（t）时，系统的零状态响应为

（3）当输入为f₂（t）时，系统的零状态响应为

（4）当输入为f₃（t）时，系统零状态响应为

（5）由输入波形可知

系统零状态响应为

设

则

2.19试求下列LTI系统的零状态响应，并画出波形图。

（1）输入为f₁（t），如图2-11（a）所示，。

（2）输入为f₂（t），如图2-11（b）所示，。

（3）输入为f₃（t），如图2-11（c）所示，。

（4）输入为f₄（t），如图2-11（d）所示，。

图2-11

解：（1）由图2-11（a）可知f₁（t）＝ε（t－1），零状态响应为

设

根据卷积的延时特性可得

波形如图2-12（a）所示。

（2）由图2-11（b）可知f₂（t）＝ε（t－1）＋1，零状态响应为

因为

所以。

波形如图2-12（b）所示。

（3）由图2-11（c）可知f₃（t）＝2[ε（t）－ε（t－1）]，零状态响应为

根据卷积的延迟特性可得

波形如图2-12（c）所示。

（4）由图2-11（d）可知f₄（t）＝ε（t＋1）－2ε（t）＋ε（t－1），零状态响应为

根据卷积的分配律和延迟特性可得

波形如图2-12（d）所示。

图2-12

2.20已知，求

解：根据卷积的性质及冲激偶函数的特性可得

2.21已知f（t）的波形如图2-13所示，求。

图2-13

解：根据卷积的性质及冲激偶函数的特性可得

根据图2-13可得：；

所以。

2.22某LTI系统，其输入f（t）与输出y（t）的关系为

求该系统的冲激响应h（t）。

解：令f（t）＝δ（t），则有

由冲激函数的特性可知，只有t－3＜0即t＜3时，，否则为0，故有

所以。

2.23某LTI系统，其输入f（t）与输出y（t）由下列方程表示

y′（t）＋3y（t）＝f（t）*s（t）＋2f（t）

式中，求该系统的冲激响应。

解：令，则有

引入微分算子p，有

所以，即。

2.24某LTI系统的冲激响应，当输入为f（t）时，其零状态响应，求输入信号f（t）。

解：系统的零状态响应

又已知，所以；；

可判断f（t）是因果信号，f（0_－）＝0；

由于方程右端不含冲激项，因此f（0_＋）＋f（0_－）＝0；

微分方程的解为：；

代入初始值得：C＝－1；

故输入信号：。

2.25某LTI系统的输入信号f（t）和其零状态响应y_zs（t）的波形如图2-14所示。

图2-14

（1）求该系统的冲激响应h（t）。

（2）用积分器、加法器和延时器（T＝1）构成该系统。

解：（1）由图2-14可知，f（t）＝δ（t）＋δ（t－1）＋δ（t－2）；

因为y_zs（t）＝h（t）*f（t）；

所以

h（t）为因果信号。

①当0＜t＜1时，h（t－1）＝h（t－2）＝0，所以。

②当1＜t＜2时，h（t－2）＝0，h（t－1）＝（t－1）[ε（t－1）－ε（t－2）]，

所以，

则。

③当2＜t＜3时，，，

所以，

则h（t）＝0。

④当3＜t＜4时，，h（t－1）＝0

所以h（t）＝0。

⑤当t＞4时，h（t－1）＝0，h（t－2）＝0，，所以h（t）＝0。

综上所述

（2）由（1）可知

系统框图如图2-15所示。

图2-15

2.26试求图2-16所示系统的冲激响应。

图2-16

解：由左边加法器可得：x′（t）＝f（t）－x（t），即x′（t）＋x（t）＝f（t）。

由右边加法器可得：y（t）＝2x′（t）－x（t），

等式两边取微分得：

两式相加得：

设h₁（t）满足，则有：。

故系统的冲激响应：。

2.27如图2-17所示的系统，试求当输入时，系统的零状态响应。

图2-17

解：由图2-17可得，左边积分器的输入为，右边积分器的输出为。

列方程得：，

两边微分得：，

因为f（t）＝ε（t）－ε（t－4π），所以零状态响应y_zs满足

设h₁（t）满足

解得：h₁（t）＝sintε（t），

则零状态响应为：。

2.28如图2-18所示的系统，试求输入f（t）＝ε（t）时，系统的零状态响应。

图2-18

解：设右端积分器的输出为x（t），则积分器的输入分别为、。

由左端加法器可得：，

由右端加法器可得：y（t）＝2x′（t）＋x（t），

设阶跃响应满足

微分方程解为：

代入初始值得：

系统的零状态响应：。

2.29如图2-19所示的系统，它由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为

h_a（t）＝δ（t－1）

h_b（t）＝ε（t）－ε（t－3）

求复合系统的冲激响应。

图2-19

解：设输入为，则由系统框图可知

2.30如图2-20所示的系统，它由几个子系统所组成，各子系统的冲激响应分别为

h₁（t）＝ε（t）　（积分器）

h₂（t）＝δ（t－1）　（积分器）

h₃（t）＝－δ（t）　（倒相器）

求复合系统的冲激响应。

图2-20

解：令，则加法器的两个输入分别为

所以复合系统的冲激响应为：

2.31求函数的自相关函数。

解：自相关函数

分段讨论：

当τ＜0时，有

当τ＞0时，有

综上可知，。

2.32求函数的自相关函数。

解：自相关函数

分段讨论：

当τ＜－1或τ＞1时，R（τ）＝0；

当－1＜τ＜0时，；

当0＜τ＜1时，。

综上可知

2.33函数f₁（t）和f₂（t）的波形如图2-21所示，求互相关函数R₁₂（τ）和R₂₁（τ）。

图2-21

解：互相关函数

分段讨论：

当τ＜－2或τ＞1时，R₁₂（τ）＝0；

当－2＜τ＜－1时，；

当－1＜τ＜0时，；

当0＜τ＜1时，。

整理得

由互相关函数的性质R₂₁（τ）＝R₁₂（－τ），可得

2.34函数，求互相关函数R₁₂（τ）和R₂₁（τ）。

解：互相关函数

分段讨论：

当τ＜0时，；

当τ＞0时，。

整理得

由互相关函数R₂₁（τ）＝R₁₂（－τ），可得