（2）2012年北京大学光华管理学院经济学（微观经济学部分）考研真题及详解

1．一个纳税人，效用函数为lnw，w为其财富，是固定值。国家按照固定税率t（0＜t＜1）对纳税人上报的收入征税，但此人可以少报收入，即报的收入为x（0＜x＜w）。同时税务机关有p（0＜p＜1）的概率查此人的收入。一旦查肯定能查出此人真实收入。查出之后，不仅要补齐所应缴纳的税款，同时还要承担罚金，罚金为应补交税款乘以一个大于0的固定常数θ。

（1）求此纳税人选择的最优x值。同时求此纳税人选择的x与其收入的关系。（5分）

（2）如果θ＝0，问此时此人选择的最优x。（5分）

（3）此人有没有可能选择x＝0？在什么条件下此人会这样做？（5分）

解：（1）由题意可知，纳税人的期望效用最大化问题为：

一阶条件为：

解得：

当pθ－（1－p）（1－t－θt）＜0且x≥0时，EU′＜0，所以pθ－（1－p）（1－t－θt）＜0时，x*＝0。

因此，此纳税人选择的最优x值为

与收入成正比或者恒为0。

（2）当θ＝0时，EU＝（1－p）ln（w－xt）＋pln（w－wt），关于x递减，因此x＝0。如果逃税没有成本的话，纳税人将完全逃税。

（3）由第一问可知，当pθ－（1－p）（1－t－θt）≤0时，此人选择x＝0。此时，税率较低（意味着被查出谎报收入所需要缴纳的罚金较少）；税务机关检查的概率较低（补全税收并缴纳罚款的概率较低）；罚金的乘数较低（缴纳罚款的数额较少）。

2．一个垄断厂商，成本为0。面临两个市场，学生市场和非学生市场。每位学生的需求函数为q＝100－2p，每位非学生的需求函数为q＝100－p。学生数量为x，非学生数量为y。

（1）如果统一定价，求均衡价格。每个学生的消费量是多少？每个非学生的消费者是多少？（6分）

（2）如果实行三级价格歧视，求两个市场的价格。每个学生消费量是多少？每个非学生消费是多少？（7分）

（3）从社会最优角度来说，统一定价和价格歧视哪个好？给出论证过程。（7分）

解：记学生为S，非学生为N，则学生和非学生市场的需求函数分别为：Q_S＝xq_S＝x（100－2p_S），Q_N＝yq_N＝y（100－p_N）。反需求函数分为：p_S＝50－Q_S/（2x），p_N＝50－Q_N/y。

（1）统一定价为p。

当p＜50时，S和N市场都可以占领：Q_S＝xq_S＝x（100－2p），Q_N＝yq_N＝y（100－p）。

厂商的利润最大化问题为：

一阶条件为：x（100－2p）＋y（100－p）＋p（－2x－y）＝0。

解得：p＝50（x＋y）/（2x＋y），是满足p＜50的条件的，此时每个学生的需求为q_S＝100x/（2x＋y）；每个非学生的需求为q_N＝50（3x＋y）/（2x＋y）。

此时厂商的利润为：π₁＝2500（2x＋y）（x＋y）2/（2x＋y）2＝2500（x＋y）2/（2x＋y）。

当50≤p≤100时，厂商只占领N市场：Q_N＝yq_N＝y（100－p）。

利润最大化问题为：

一阶条件为：y（100－p）－yp＝0，解得p＝50。

因此，Q_N＝50y，π₂＝2500y。

当p＞100时，厂商销售量为0。

最后，比较π₁与π₂：π₁－π₂＝2500[（x＋y）2/（2x＋y）－y]＝2500x2/（2x＋y）≥0。

因此厂商会选择定价p＝50（x＋y）/（2x＋y），此时每个学生的需求为q_S＝100x/（2x＋y）；每个非学生的需求为q_N＝50（3x＋y）/（2x＋y）。

（2）若实行三级价格歧视，则利润最大化问题为：

一阶条件为：100－2p_S－2p_S＝0，100－p_N－p_N＝0。

解得，p_S＝25，p_N＝50。进而可求得每个学生需求为q_S＝50，每个非学生需求为q_N＝50。

（3）在实行统一定价策略时，学生市场的消费者总剩余为：

非学生市场的消费者总剩余为：

生产者总剩余为：π＝2500（x＋y）2/（2x＋y）。

所以，在实行统一定价策略时的社会总剩余为：

在实行三级价格歧视时，学生市场的消费者总剩余为：1/2（50－25）·50x＝625x；非学生市场的消费者总剩余为：1/2（100－50）·50y＝1250y；生产者总剩余为：25·50x＋50·50y＝1250x＋2500y。所以，在实行三级价格歧视时社会总剩余为1875x＋3750y。

两种情况下的社会总剩余差值为：

所以，在实行统一定价策略时社会总剩余更大。

3．两个寡头生产同质产品，进行两阶段博弈。生产成本为C（q_i）＝c_iq_i（i＝1，2），为简单起见c₁＝c₂＝c。两厂商在第一阶段决定产能投资规模。如果产能投资规模为x_i，则生产边际成本变为c－x_i。但是产能投资有成本，C（x_i）＝k_ix_i2/2（i＝1，2），为简单起见，k₁＝k₂＝k。企业面对的市场逆需求函数为q＝α－βp。设βc＜α＜kc。两个厂商第一阶段先进行产能博弈。到第二阶段，两厂商在观察到对方的产能投资规模后，同时进行价格博弈。

（1）第二阶段博弈的均衡是什么？（5分）

（2）求第一阶段博弈的两厂商的最优反应函数。（5分）

（3）回到第一阶段博弈，纳什均衡是什么？（5分）

（4）条件βc＜α＜kc在本题中的作用是什么？（5分）

解：不失一般性，研究厂商i（i＝1，2），另一个厂商就是厂商j＝3－i。

（1）假设c－x_i＞c－x_j，即x_i＜x_j。p_i不可能小于c－x_i，否则厂商i就会亏损，从而选择退出市场。所以p_i＝c－x_i优于p_i＜c－x_i。p_i＝c－x_i也不劣于p_i＞c－x_i。所以，p_i＝c－x_i是厂商i的弱优策略。

给定p_i＝c－x_i，p_j只要取比p_i＝c－x_i小一点点的价格就可以占有全部市场，即p_j＝c－x_i－ε_j，其中ε_j为无穷小量。在价格和产能确定后，产量也可以随之确定，q_i＝0，q_j＝α－βp_j＝α－β（c－x_i－ε_j）。

特别地，当c－x_i＝c－x_j时，由上面的分析易知必有p₁＝p₂＝c－x₁。

综上，第二阶段博弈的均衡为：

（2）若x_i≤x_j时，p_i＝c－x_i，所以

显然，厂商i只能选择x_i＝0时才能不亏损。

若x_i＞x_j，p_i＝c－x_j－ε_i，因此q_i＝α－β（c－x_j－ε_i），

一阶条件为：

解得：x_i＝βx_j/k＋（α－βc）/k＋βε_i/k。

因此，x_i对x_j的反应曲线可以写成：

上式已经明确列出了两个厂商分别的最优反应曲线，但到这里仍不能直接去解两条反应曲线的交点，还有一个非常重要的条件没有考虑，就是对每个厂商都应该满足π_i≥0。

若x_i≤x_j时，x_i＝0，所以π_i＝0；

若x_i＞x_j时，π_i＝x_i[α－βc－（2k－β）（x_j＋ε_i）]/2≥0，解之得x_j≤（α－βc）/（2k－β）－ε_i。

也就是说，如果x_j≥（α－βc）/（2k－β），那么厂商i不会选择x_i≥（α－βc）/（2k－β）。这就意味着两条反应曲线相交之处一定不会是x_i＝x_j＝（α－βc＋β）/（k－β）。

所以最终的最优反应曲线为：

如图1所示：

图1　厂商1与厂商2的最优反应曲线

（3）纳什均衡为两厂商反应曲线的交点，所以，存在两个纳什均衡为

或

（4）这里要注意厂商i的最优反应曲线的纵截距是（α－βc）/k，由图中可以看出其纵截距必须大于（α－βc）/（2k－β），这样才能使两条反应曲线有交点，不然整个博弈都不存在纳什博弈。而且截距应当大于0。所以有：（α－βc）/k＞（α－βc）/（2k－β）且（α－βc）/k＞0。可得，βc＜α＜kc一定保证了两不等式成立，所以该条件是纳什均衡存在的充分条件。

4．X、Y、Z三个人，第一阶段X和Y进行产能古诺博弈，决定产能投资规模K_X和K_Y。第二阶段Z决定产量。但是Z决定的产量不能超过X、Y的产能投资规模之和，即Q≤K_X＋K_Y。Z的目标是X和Y的收益最大化（Z得到一个可以忽略不计的收入）。市场需求函数是D＝10－P。最终的收益在X和Y之间分配取决于X和Y的产能投资规模。第一阶段X和Y的投资有成本，MC_X＝MC_Y＝2。即X的净收益为：K_XQ（10－Q）/（K_X＋K_Y）－2K_X，类似可以得到Y的净收益。

（1）求X和Y第一阶段古诺博弈的最优反应函数。（8分）

（2）求最终的纳什均衡。（7分）

解：（1）由于Z最大化X和Y的收益，因此等价于求Q≤K_X＋K_Y条件下Q（10－Q）的最大值。

若K_X＋K_Y≥5，则Q＝5时，Q（10－Q）取到最大值25；若K_X＋K_Y＜5，则Q＝K_X＋K_Y时，Q（10－Q）取到最大值（K_X＋K_Y）（10－K_X－K_Y）。

再回到第一阶段博弈。

若K_X＋K_Y≥5且K_Y＜5，Q＝5。X的最大化净收益问题为：

一阶条件为：25K_Y/（K_X＋K_Y）2－2＝0。

即：

而K_X＋K_Y≥5，可得K_Y≥2。此时X的最大净收益为。

如果2≤K_Y＜5，有K_X＋K_Y＝M＜5，则X的最大净收益为π＜15－3K_Y。

所以，此时的反应函数为

类似地，对Y最大化净收益可以得到即：

，

若K_X＋K_Y＜5时，Q＝K_X＋K_Y。X的最大化净收益问题为：

一阶条件为：8－2K_X－K_Y＝0，或：K_X＝（8－K_Y）/2。

结合K_X＋K_Y＜5可得K_Y＜2。此时，X的利润为[4－K_Y/2]2。

如果K_X＋K_Y＝M≥5，此时X的利润为π＜15－3K_Y，小于K_X＋K_Y＜5的利润。

所以，此时的反应函数为K_X＝（8－K_Y）/2。

同理，K_Y＝（8－K_X）/2。

若K_Y≥5，则最大化X的利润函数可得

K_Y≤6.25；K_X＝0，K_Y＞6.25。同理

K_X≤6.25；K_Y＝0，K_X＞6.25。所以X和Y第一阶段古诺博弈的最优反应函数如图2所示。

图2　X和Y的最优反应曲线

综合上面两点可知，X和Y的最优反应函数分别为：

和

（2）如图2所示，整个博弈只有一个纳什均衡：解交点左边可得，K_X＝K_Y＝25/8。所以最终的纳什均衡为X和Y的产能都为25/8。

5．城市早上有6000人上班。可以选择两条路：环路和中心市区。走环路需要45分钟但是不堵车。走中心市区不堵车时20分钟，堵车时花费时间为（20＋N/100）分钟，其中N为选择走市区的人数。

（1）如果两条路都不收取任何费用，那么均衡时有多少人走中心市区？（5分）

（2）如果政府决定通过限制走中心市区的人数来实现最小化所有人花费的总时间。政府每天随机抽取一部分人走中心市区，其他人则走环路。那么政府选择抽取的最优人数是多少？（5分）

（3）如果政府打算通过征收费用来实现最小化所有人花费的总时间。对每个走中心市区的人收取相同的固定费用F，然后将收取的所有费用水平分配给所有6000个人。假设时间对于第i个人的价值为W_i＝15－i/1000，其中i＝1，2，…，6000。求最优的固定费用F。

（4）以上三种方法哪种最优？解释其最优的原因。

解：（1）当在市中心行驶与在环路行驶时间相同时，人们的选择达到均衡。即有：20＋N₁*/100＝45，解得N₁*＝2500。所以，当两条路都不收取任何费用时，均衡时2500人走市中心区。

（2）设政府每天抽取N₂*个人走中心市区，使所有人花费的总时间最小，即：

一阶条件为：－45＋20＋N₂*/50＝0。

解之得，N₂*＝1250，即政府选择抽取1250人走中心市区时达到最优。

（3）（说明）由于回忆的问题，也有人坚持认为题干中所说的“实现最小化所有人花费的总时间”应该改为“最大化所有人的总效用”。所以根据两种可能分别解出该问题。

①最小化所有人花费的总时间

若以最小化所有人花费的总时间为目标，则走市区的最佳人数问题与第2问是实质是一样的，结果也相同，即N₂*＝1250。

i越小，第i个人对时间的评价就越高，他也就越愿意走市区，也可以说他愿意为走市区付出的代价越大。通过确定一个适当的“过路费F”作为可以通过中心市区的门槛，使得恰好有1250个人走中心市区，即F正好使得i＝1250的人对于走中心市区和走环路无差异，即二者对其的效用应该是一样的：

走中心市区对i＝1250的人的花费的时间的价值为：U_central＝[20＋1250/100]W₁₂₅₀＋F－1250F/6000。

走环路对i＝1250的人花费的时间的价值为：U_circle＝45W₁₂₅₀－1250F/6000。

其中，W₁₂₅₀＝15－1250/1000＝13.75。

由U_central＝U_circle，可解得F*＝171.875。

②最大化所有人的总效用

“最大化所有人的总效用”等价于“最小化花费时间的总价值”。

设有m个人走中心市区，他们分别是i₁，i₂，…，i_m。不妨设i₁＜i₂＜…＜i_m，则另外（6000－m）个人走环路。

（a）对于每个走中心市区的人i_k，其中k＝1，2，…，m，用时（20＋m/100）分钟，其花费时间的价值为

其中

（b）对于每个走环路的人i_k，其中k＝m＋1，m＋2，…，6000，用时45分钟，其花费时间的价值为

其中

因此，所有人花费时间的总价值为：

其中

是个常数。所以最小化总花费时间的价值U等价于最小化

令其为函数f（m）。

若m≥2500，则f（m）中的i_k，k＝1，2，…，m取的尽量大的数才能使f（m）最小，即取i_k＝6000－m＋k。所以

易知当m＝2500时，f（m）取最小值0。此时的时间价值总损失为3239865。

若m＜2500，则f（m）中的i_k，k＝1，2，…，m取的尽量小的数才能使f（m）最小，即取i_k＝k。所以

易知m＝1302时，f（m）取最小值，且注意到此最小值小于0。此时的时间价值总损失为2995749.127。

综上所述，当i＝1，2，…，1302的人走市中心时，所有人花费时间的总价值最小，也即所有人的总效用最大。

（4）统一成实际花费时间的总价值来比较三种机制的社会福利。

①不收取任何费用。

每个人用时45分钟，总花费为3239865。

②政府随机抽取机制。

可以看作每个人有1250/6000＝5/24的概率走中心市区，有1－5/24＝19/24的概率走环路（注意这种机制与第三种以时间为标的机制的差别）。期望价值损失为

③（a）以总时间为标准，有1250个人走市区，4750个人走环路。

花费时间的价值为

（b）以总花费时间的价值为标准只要把m＝1302代入所有人总价值式中即可计算出

比较可知，U₁＞U₂＞U₃1＞U₃2所以第三种机制最好。

对此的解释是：因为第一种机制缺乏政府管制，所以没有后两种机制有效；因为第二种机制中走中心市区的市民是不确定的，每天的交换使得成本增加，而第三种机制中的每一个市民走哪条路都是固定的，所以第三种机制更有效。