第二章消费者行为理论_范里安《微观经济学：现代观点》（第9版）配套题库（上册）【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】-QQ阅读男生历史网

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第二章　消费者行为理论

第一节　预算约束

一、单项选择题

1如果所有商品的价格上升为原来的t倍，Smith的收入也上升为原来的t倍，则相对于变动前的情形，Smith通过最优消费获得效用水平将（　　）。（电子科技大学2009研）

A．增加

B．减小

C．不变

D．由于不知道Smith的效用函数而无法确定

【答案】C

【解析】设消费的商品X、Y价格分别为p_X、p_Y，收入为M，所以它的预算线为p_XX＋p_YY＝M；当商品的价格上升为原来的t倍，Smith的收入也上升为原来的t倍，新的预算线为：tp_XX＋tp_YY＝tMÞp_XX＋p_YY＝M，即预算线不变。因为预算线不变，所以Smith的最优消费没有发生变化，所获得的效用水平不变。

2若商品X和Y的价格按相同的比率上升，而收入不变，则预算线（　　）。（中山大学2010研）

A．也不变动

B．向左下方平行移动

C．向右上方平行移动

D．可能向左下方平行移动，也可能向右上方平行移动

【答案】B

【解析】设收入为M，则预算线方程可表示为P_XX＋P_YY＝M；当P_X和P_Y按相同比例上升，收入不变时，预算线斜率－（P_X/P_Y）不变，截距M/P_X和M/P_Y同比例减小，所以预算线向左下方平行移动。

3亨利消费啤酒（B）和咖啡（C），开始时，他的预算约束线可以表示为B＝20－2C，后来他的预算线变成B＝10－C。预算线的变化可以被下面哪种情形所解释？（　　）（上海财经大学2009研、2013研）

A．咖啡价格下降，但是亨利的收入上升

B．咖啡价格和亨利的收入都上涨

C．咖啡价格和亨利的收入都下降

D．咖啡价格上升，但是亨利的收入下降

【答案】C

【解析】预算线绕（10，0）点转动，斜率变小，可能是啤酒的价格上涨，也可能是收入和咖啡的价格同时下降。

4收入和价格以同一比例变化，预算线（　　）。（中山大学2003研）

A．向右平移

B．向左平移

C．纵截距、横截距和斜率均不变

D．纵截距、横截距变化，但斜率均不变

【答案】C

【解析】设收入为m，两种商品分别为x和y，相对应的价格为p_x和p_y，所以预算线可以表示为p_xx＋p_yy＝m；设收入和价格均变为原来的η（η＞0）倍，故新的预算线可以表示为ηp_xx＋ηp_yy＝ηm，整理得p_xx＋p_yy＝m。所以，收入和价格以同一比例变化，预算线纵截距、横截距和斜率均不变。

5小李关于商品x和商品y的预算约束线不取决于下列的哪一项？（　　）（上海财经大学2012研）

A．他的收入

B．商品x的价格

C．商品y的价格

D．他对商品x和商品y的偏好

【答案】D

【解析】消费者的预算约束线的一般形式为：p_xx＋p_yy＝m。可知消费者的预算约束线不取决于其对各商品的偏好。偏好影响效用函数而非预算约束线。

二、计算题

假设政府对一个每月收入$400的贫困家庭进行补贴。补贴方案有三种：一、政府允许该家庭购买$400的食品券，单位美元食品券的价格为$0.5；二、政府直接发放给该家庭$200的食品券补贴；三、政府直接发给该家庭$200的货币补贴。尝试画出该家庭的无差异曲线，解释该家庭的最优消费决策，并据此对比分析这三种方案的优劣。（中山大学2005研）

解：如图2-1所示，用横轴表示花费在食品上的货币数量，用纵轴表示花费在其他商品的费用，建立坐标系。初始预算线为CD。

图2-1　三种方案的优劣比较

第一种补贴方案下，意味着家庭可以用$200购买$400的食品劵，因此预算线变为折线CE₁B，最优选择为E₁点，效用水平为U₁。

第二种补贴方案下，政府直接发放给该家庭$200的食品券补贴，预算线变为折线CE₂B（E₁点在折线CE₂B上），最优选择为E₂点，效用水平为U₂。

第三种补贴方案下，由于现金补贴没有使用上的约束（可以购买任意商品），政府直接发放给家庭的$200货币补贴将使得预算线平行向右移动$200，预算线变为AB，该预算线经过E₁和E₂点。此时，最优选择为E₃点，表明家庭更偏向于消费其他商品。

由上述分析可知，对于这个家庭来说，第三种方案最好，第二种方案次之，第一种方案最差。因为第三种方案涵盖了第二种方案的所有消费选择（包括最优消费选择），而第二种方案涵盖了第一种方案的所有消费选择。

第二节　偏　好

一、名词解释

1偏好的可传递性假设（中央财经大学2009研）

答：偏好的可传递性假设是指，假如（x₁，x₂）≻（y₁，y₂），并且（y₁，y₂）≻（z₁，z₂），那么就可假定（x₁，x₂）≻（z₁，z₂）。换句话说，假如消费者认为x至少与y一样好，y至少和z一样好，那么消费者就认为x至少与z一样好。

偏好的可传递性假设保证了消费者偏好的一致性，因而也是理性的。对于任何三个商品组合A、B和C，如果消费者对A的偏好大于对B的偏好，对B的偏好大于对C的偏好，那么，在A、C这两个组合中，消费者必定有对A的偏好大于对C的偏好。

2无差异曲线（中央财经大学2005、2007、2013研；中国海洋大学2013研；深圳大学2013研；厦门大学2014研；中国地质大学2015研）

答：无差异曲线是序数效用论的一种分析方法，是用来表示消费者有相同偏好的两种商品的所有组合。或者说，它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合的。无差异曲线的绘制如图2-2所示。

图2-2　无差异曲线

图2-2中，横轴和纵轴分别表示商品1的数量x₁和商品2的数量x₂。图2-2中的曲线表示商品1和商品2的不同组合给消费者带来的效用水平是相同的。与无差异曲线相对应的效用函数为u＝f（x₁，x₂）＝u₀，其中，x₁、x₂分别为商品1和商品2的消费数量；u是常数，表示某个固定的效用水平。

无差异曲线具有以下三个基本特征：①由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线；②在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交；③无差异曲线是凸向原点的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。

二、单项选择题

1关于某消费者的无差异曲线的下列陈述中，一般来讲，不正确的是（　　）。（电子科技大学2010研）

A．一条无差异曲线的点代表相同的效用水平

B．两条无差异曲线相交意味着该消费者不是理性的

C．“多多益善”假设暗示：越靠近原点的无差异曲线代表着更高的效用水平

D．无差异曲线的斜率实际上代表了该消费者在不同商品之间替代意愿

【答案】C

【解析】多多益善表示偏好的非饱和性，对消费者而言，两种商品都是喜好品，无差异曲线凸向原点，离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高。

2关于某消费者的一条无差异曲线上A点的下列陈述中，一般来讲，不正确的是（　　）。（电子科技大学2009研）

A．在“多多益善”的假设下，在该无差异曲线下方的消费组合对应的效用水平低于A点对应的效用水平

B．该无差异曲线在A点的斜率的绝对值等于边际替代率

C．该无差异曲线在A点的斜率的绝对值等于相应商品的相对价格

D．该无差异曲线上的所有消费组合对应的效用水平等于A点对应的效用水平

【答案】C

【解析】只有无差异曲线和相应的预算线相切的点才是效用最大化的点，此时无差异曲线斜率的绝对值才等于商品的价格之比，对于无差异曲线上任意一点A来说，这并不一定成立。

3对消费者A的一条无差异曲线上的两个点的下列陈述中，一般来讲，正确的是（　　）。（电子科技大学2008研）

A．二者对应的效用水平相同，但商品组合的比例可能不同

B．二者对应的效用水平相同，但商品组合的比例相同

C．二者对应的效用水平不同，但商品组合的比例相同

D．二者对应的效用水平不同，但商品组合的比例不同

【答案】A

【解析】对于消费者无差异的消费束构成无差异曲线，因此同一条无差异曲线上的两个点所代表的效用水平是相同的；边际替代率是递减的，随着一种商品消费的增加，消费者为了增加一单位这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量是递减的，因此任何两个点所代表的商品组合比例是不同的。

4在两商品经济中，王四觉得商品1越多越好，商品2越多越糟，那么（　　）。（上海财经大学2009研）

A．无差异曲线一定是凸向原点的

B．无差异曲线一定向右上方倾斜

C．无差异曲线可能是呈椭圆形

D．以上都不是

【答案】B

【解析】对于王四来说，商品1越多越好，商品2越多越糟，说明商品2是厌恶品。在以横轴表示嗜好品商品1消费数量，纵轴表示厌恶品商品2消费数量的坐标系中，消费者的无差异曲线必定是向右上方倾斜，且偏好增加的方向是指向右下方。

5对于一个严格凹的效用函数，如果消费组合x和y是无差异的，则消费组合0.5x＋0.5y对应的效用水平（　　）消费组合x（或者y）对应的效用水平。（电子科技大学2009研）

A．大于

B．等于

C．小于

D．无法确定

【答案】A

【解析】如图2-3所示，x和y两点在同一条无差异曲线上，此时两点连线的中点一定位于无差异曲线的内部，也即该点位于一条比原先无差异曲线离原点要远的无差异曲线上。无差异曲线离原点越远，所代表的效用值越高，所以x和y这两点的中点所代表的效用值要大于这两点相应的效用值。

图2-3　无差异曲线

6垂直的无差异曲线意味着（　　）。（上海财经大学2006研）

A．当消费者增加横轴上的商品的消费时，他的满足不会增加

B．当消费者增加纵轴上的商品的消费时，他的满足不会增加

C．当两种商品的消费量都增加时，消费者的满足会增加

D．以上说法都不正确

【答案】B

【解析】如图2-4所示，无差异曲线为一条垂直线。当商品2的数量增加时，消费者的效用（满足）不增加。当商品1的数量增加时，无差异曲线向右移动，离原点位置更远，可见其效用（满足）会增加。

图2-4　垂直的无差异曲线

7下列有关消费者偏好的哪个假定可以排除饱和点（Satiation）的存在？（　　）（上海财经大学2008研）

A．完备性

B．传递性

C．单调性

D．凸性

【答案】C

【解析】当消费者的偏好满足良好性状偏好时，即对于消费者来说，只要商品不是厌恶品，则人们认为消费商品多多益善，这个假定称为偏好的单调性，这个假定可以排除饱和点（餍足点）的存在。

8边际替代率递减意味着消费者的偏好关系满足下列哪个假定条件？（　　）（上海财经大学2007研）

A．单调性（Monotone）

B．凸性（Convexity）

C．完备性（Completeness）

D．传递性（Transitivity）

【答案】B

【解析】边际替代率递减意味着无差异曲线凸向原点，消费者偏好关系满足凸性假设。

9当边际替代率沿着无差异曲线递减时，一个先决条件是（　　）。（厦门大学2005研）

A．无差异曲线的斜率为负

B．无差异曲线的斜率为正

C．无差异曲线是凸的

D．无差异曲线是凹的

【答案】C

【解析】对严格凸的无差异曲线来说，边际替代率即无差异曲线的斜率是递减的。

10张三的效用函数为x2＋16xw＋64w2，其x和w分别是他对两个商品的消费，（　　）。（上海财经大学2011研）

A．张三的偏好是非凸的

B．张三的无差异曲线为直线

C．张三有一个餍足点

D．张三的无差异曲线为双曲线

【答案】B

【解析】张三的效用函数为u＝x2＋16xw＋64w2＝（x＋8w）2，可知x＝u1/2－8w，这属于完全替代偏好，故张三的无差异曲线为直线。

三、简答题

1考虑一个定义在有限集X上的理性偏好关系≥。让～和＞分别表示从理性的偏好关系中导出的无差异的和严格的偏好关系。

（1）证明～和＞是传递的。

（2）从x＞y和y＞z推导x＞z。（提示：请从偏好关系的定义出发解题）（中山大学2004研）

证明：（1）～和＞的传递性是偏好的公理之一。在一个理性的偏好关系中，如果x＞y，y＞z，且z≥x，则意味着消费者对于x、y、z，认为x强偏好于y，y强偏好于z，同时z弱偏好于x，那么消费者无法做出喜爱的选择，要么该消费者是非理性的，要么该消费者不是研究的对象。因为让他选择他最喜爱的消费束，他会遇到一个难题，即无论他选择哪个消费束，总有一个别的消费束是更喜爱的。如果要得到一个可以说明人们是怎样作出最佳选择的理论，那就需要偏好服从传递性。同理可证～也有传递性。

（2）用反证法证明

假设z＞x，又x＞y，由（1）证明的传递性得z＞y，这和y＞z矛盾。假设z～x，又x＞y，可得z＞y，这也和y＞z矛盾。所以x＞z，得证。

2在平面直角坐标系里，以横轴表示苹果的消费量，以纵轴表示梨的消费量。如果有两个人，A更喜欢苹果，B更喜欢梨，他们关于苹果和梨的无差异曲线有何不同？请在平面直角坐标系上大致画出他们偏好的差异并加以说明。（北京师范大学2005研）

答：A、B两人的无差异曲线大致如图2-5所示。

A的无差异曲线要比B的无差异曲线陡。因为A更喜欢苹果，B更喜欢梨，所以在得到相同单位的苹果时，A由于更喜欢苹果所以愿意用更多的梨做交换，而B由于更喜欢梨所以不愿意用更多的梨做交换。如上所述，A的边际替代率应该大于B的边际替代率。因为边际替代率在图形上表示为切线斜率的负值，所以A的无差异曲线要比B的无差异曲线陡。

图2-5　A、B两人的无差异曲线

第三节　效　用

一、名词解释

边际替代率（厦门大学2009研；中央财经大学2012研；中山大学2015研）

答：边际替代率（marginal rate of substitution，MRS）即为无差异曲线的斜率，它表示的是消费者愿意用一种商品替代另一种商品的比率。商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：MRS₁₂＝－（∆x₂/∆x₁），其中，∆x₁、∆x₂分别为商品1和商品2的变化量。如果∆x₁、∆x₂趋于无穷小，那么，边际替代率就是无差异曲线的斜率的绝对值。因此，求无差异曲线上任何一点的边际替代率，只要过该点作切线，这条切线的斜率的绝对值就是该点的边际替代率。

边际替代率递减是消费者偏好所普遍具有的一个特征。这是因为，当人们对某一种商品的拥有量增加后，人们就越来越不愿意减少其他商品来进一步增加这种商品。事实上，边际效用递减规律暗含了边际替代率递减规律。边际效用递减规律表明，随着一种商品消费量的增加，其边际效用越来越小。而在这里，当商品1的消费量不断增加时，其边际效用不断减少，从而使它的替代能力不断降低；当商品2的消费量不断减少时，其边际效用不断增加，从而使它能够交换到的其他商品的数量不断增加，因此，在这里，边际效用递减规律表现为边际替代率递减规律。

二、单项选择题

1小王消费两种商品，X和Y。他的效用函数为U（x，y）＝2x＋5y，x和y分别表示他在X和Y上的消费量。假设商品X的价格为4，商品Y的价格为15，小王的收入为150。现在假设小王可以选择加入一家俱乐部，若加入，则可以享受到购买商品Y的折扣，折扣之后的商品Y的价格为10。试问，小王愿意为加入该俱乐部最多支付多少钱的入会费？（　　）（上海财经大学2011、2016研）

A．0

B．30

C．50

D．75

【答案】A

【解析】函数为U（x，y）＝2x＋5y，两种商品为完全替代品，未加入俱乐部之前时MU_x/P_x＝2/4＞5/15＝MU_y/P_y，则消费者全部收入用来消费商品X，此时x＝150/4＝37.5，效用为U＝2×37.5＝75。

加入俱乐部后，假定费用为R，此时MU_x/P_x＝MU_y/P_y＝1/2；此时消费者购买的消费束为4x＋10y＝150－R上的任意组合，此时效用为U′＝2x＋5y＝75－R/2；令U′≥U，可得：R≤0，故小王最多愿意付0元加入该团购俱乐部。

2如果有A和B两个消费者，对于A消费者来说，以商品X替代商品Y的边际替代率为5；对于B消费者来说，以商品X替代商品Y的边际替代率为3，假如A和B之间最终进行了交换，那么X和Y两种商品之间的交换比率可能为（　　）。（上海财经大学2013研）

A．一单位X和5单位Y相交换

B．一单位X和3单位Y相交换

C．X和Y之间的交换比率介于1/5和1/3之间

D．上述均不正确

【答案】C

【解析】对于消费者A来说，5单位Y才可以换1单位商品X，因此只要用更少的商品Y换取1单位X，则消费者A的福利会增加。对于消费者B来说，1单位X可以换3单位Y，只要1单位X能够换取更多单位的Y，则B的福利会增加，因此，若A与B最终进行了交换，则X和Y之间的交换比率介于1/5和1/3之间。

3当一个消费者同时消费其他商品和闲暇时，效用函数是U（C，L）。下面关于效用函数不正确的是（　　）。（上海财经大学2013研）

A．其他商品C和闲暇L的边际效用都大于0

B．当消费者消费更多的闲暇、同时减少其他消费品时，闲暇和其他消费的边际替代率降低

C．当消费者增加其他消费品C的消费时，C的边际效用递减

D．当消费者增加闲暇的消费时，闲暇的边际效用增加

【答案】D

【解析】增加闲暇意味着工资的减少，当减少到一定程度之后，增加闲暇的机会成本递增，从而闲暇的边际效用递减。

4小王这学期在选修李教授的微观经济学。该课程会进行一次期中测验和一次期末测验，在计算总成绩时，期末测验的分数占比80%，期中测验分数占比20%。如果横轴表示期中测验成绩，纵轴表示期末测验成绩，小王的偏好取决于总成绩。那么小王的无差异曲线为（　　）。（上海财经大学2012研）

A．一条斜率为－4的直线

B．一条斜率为－0.25的直线

C．L型，拐点落在直线y＝0.25x上

D．L型，拐点落在直线y＝4x上

【答案】B

【解析】假定期中测试成绩为x，期末成绩为y，可知期中成绩与期末成绩是完全替代的，因此小王的效用函数可表示为u（x，y）＝x＋4y，即有y＝u－x/4，无差异曲线为一条斜率为－0.25的直线。

5关于消费者需求曲线向斜下方倾斜的原因，下列陈述中正确的是（　　）。（电子科技大学2010研）

A．消费者的边际效用递减

B．替代效应

C．收入效应

D．替代效应的程度高于收入效应

【答案】A

【解析】基数效用论者认为，商品的需求价格取决于商品的边际效用。具体地说，如果某一单位的某种商品的边际效用越大，则消费者为购买这一单位的该种商品所愿意支付的最高价格就越高；反之，如果某一单位的某种商品的边际效用越小，则消费者为购买这一单位的该种商品所愿意支付的最高价格就越低。由于边际效用递减规律的作用，随着消费者对某一种商品消费量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，相应地，消费者为购买这种商品所愿意支付的最高价格即需求价格也是越来越低的。这意味着，建立在边际效用递减规律上的需求曲线是向右下方倾斜的。

6序数效用理论认为，不同消费者从相同商品中获得的效用大小（　　）。（上海财经大学2004研）

A．取决于商品的使用价值

B．取决于商品的价格

C．不可比较

D．可以比较

【答案】C

【解析】基数效用论认为效用可以用具体的数来衡量，所以可以加总，并且不同消费者对同一商品的效用大小可以进行比较；序数效用论认为效用不可以用具体的数来表示，但是可以排序，同一消费者对不同商品的偏好可以通过排序来比较，不同消费者从相同商品中获得的效用大小不可以比较。

7商品的需求价格由（　　）决定。（上海财经大学2003研）

A．消费者的收入

B．消费者的偏好

C．该产品的边际效用

D．该商品的生产成本

【答案】C

【解析】总效用决定消费商品的数量，边际效用决定消费商品的价格。基数效用论者认为商品的需求价格取决于商品的边际效用。如果一单位的某种商品的边际效用越大，则消费者购买一单位这种商品所愿意支付的最高价格就越高；反之，如果某一单位的这种商品的边际效用越小，则消费者为购买一单位这种商品所愿意支付的最高价格就越低。

8就商品X、Y的偏好次序来讲，下列效用函数中哪一个与效用函数U（X，Y）＝XY相等？（　　）（中山大学2006研）

A．U（X，Y）＝（X－1）（Y－1）

B．U（X，Y）＝（X/2）（Y/2）

C．U（X，Y）＝（X＋3）（Y＋3）

D．以上三者都正确

【答案】B

【解析】根据效用函数的性质，一个效用函数的单调变换所代表的偏好与原效用函数代表的偏好相同。B项，U（X，Y）＝（X/2）（Y/2）＝（1/4）XY为原来效用函数的单调变换。

9对于消费两种商品的消费者，如果这两种商品x和y是完全替代的，则当消费组合A＝（x_A，y_A）和B＝（x_B，y_B）无差异时，则消费组合0.5A＋0.5B对应的效用水平（　　）消费组合A（或者B）对应的效用水平。（电子科技大学2010研）

A．大于

B．等于

C．小于

D．无法确定

【答案】B

【解析】因为两种商品是完全替代的，所以效用函数可以设为u（x，y）＝ax＋by，所以u（A）＝ax_A＋by_A＝u（B）＝ax_B＋by_B＝u；则u（0.5A＋0.5B）＝0.5（ax_A＋by_A）＋0.5（ax_B＋by_B）＝u，所以效用水平不变。

10关于一个严格凹的效用函数，下列陈述中正确的是（　　）。（电子科技大学2008研）

A．两个无差异商品组合均比二者的严格凸组合好

B．任何一条无差异曲线凸向原点

C．存在一条无差异曲线凹向原点

D．以上陈述均不对

【答案】B

【解析】效用函数的凹性对应无差异曲线的凸性，所以如果效用函数是凹的，那么无差异曲线是凸向原点的。

11已知某消费者的效用函数为u（x，y）＝min｛2x，y｝，商品x和y的单位价格分别为1和2元。如果该消费者以最大化效用为目标，那么他应以何种比例消费这两种商品？（　　）（中央财经大学2010研）

A．x＝y

B．x＝2y

C．x＝0.5y

D．没有预算约束，无法判断

【答案】C

【解析】u（x，y）＝min｛2x，y｝是描述完全互补偏好的效用函数，则商品x和y之间的消费比例关系是恒定的，即当以y＝2x的比例消费这两种商品时，该消费者实现了最大化效用。

12已知某消费者的收入为10元，效用函数为u（x，y）＝max｛2x，y｝，商品x和y价格分别为3和2元。如果该消费者以最大化效用为目标，那么他消费的商品y数量应该是多少？（　　）（中央财经大学2012研）

A．5

B．4

C．2

D．0

【答案】D

【解析】由效用函数可以看出每单位的x带来的效用是每单位的y带来的效用的两倍，而每单位x的价格是每单位y的价格的1.5倍，消费者将全部收入用于购买x才会获得最大的效用。因此，消费者对商品y的需求为零。

13某人消费X和Y，他的效用函数为U＝min｛X＋2Y，4X＋Y｝。如果X和Y的价格分别为4和5，那么他至少要花多少钱，才能使其效用水平与消费4单位X和3单位Y时一样？（　　）（上海财经大学2009研）

A．10

B．12

C．18

D．以上都不是

【答案】D

【解析】该人消费4单位X和3单位Y时，效用U＝min｛4＋2×3，4×4＋3｝＝10。由效用函数可知，当满足X＋2Y＝4X＋Y即Y＝3X时，消费者实现效用最大化。根据对偶性，消费者实现既定效用下成本最小化的条件也为Y＝3X，所以要使效用等于10，则需7X＝10，解得X＝10/7，Y＝30/7，所以最小支出为4×（10/7）＋5×（30/7）＝190/7。

14假设一个消费者的效用函数为U（x₁，x₂）＝f（x₁）＋x₂，下列说法中不正确的是（　　）。（上海财经大学2007研）

A．消费者的偏好具备位似特征（Homothetic Preference）

B．商品1的收入效应为零

C．边际替代率与x₂无关

D．商品1的价格变化所引起的消费者效用的变化可用消费者剩余的变化量（∆CS）来精确度量

【答案】A

【解析】在二维商品空间里，如果经原点出发的任一条射线与所有的无差异曲线相交，并且每个交点所对应的无差异曲线斜率相等，则这一簇无差异曲线代表的偏好关系称为位似特征（Homothetic Preference），也称为同类偏好。从消费者的效用函数U（x₁，x₂）＝f（x₁）＋x₂可以得出该消费者的偏好不具备位似特征，属于拟线性偏好。

三、简答题

1两百多年前，亚当·斯密在《国富论》（The Wealth of Nations，1776）中提出价值悖论：没有什么能比水更有用，然而水很少能交换到任何东西。相反，钻石几乎没有任何使用价值，但却经常可以交换到大量的物品。试画图解释上述悖论。（中山大学2005研；厦门大学2010研；东南大学2017研）

答：对人的生命不可或缺的水的价格要比没有多少实际用处的钻石的价格低这一悖论就是著名的“钻石与水悖论”，也称为“价值悖论”。不同学派对此给予不同的解释，其中边际学派试图用“边际效用”来说明价值悖论。

如图2-6所示，由于水源充足，边际效用很少，因此最后一单位水所带来的边际效用MU₁就微不足道了。相反，相对于人类而言，钻石几乎没有任何使用价值，其总效用并不大，但由于钻石稀缺，边际效用MU₂很大。根据边际效用理论，消费者分配收入的方式是使一切物品的最后一个货币单位支出的边际效用相等，即MU_i/P_i＝λ。消费者也是根据这一原则把收入分配于水和钻石的：MU₁/P₁＝MU₂/P₂＝λ，即MU₂/MU₁＝P₂/P₁。

钻石的边际效用MU₂高，水的边际效用MU₁低，所以钻石的价格P₂要远远高于水的价格P₁，即人们愿为边际效用高的钻石支付高价格，为边际效用低的水支付低价格。“物以稀为贵”的道理正在于“稀”的物品边际效用高。

图2-6　利用边际效用分析“价值悖论”

2边际效用递减和边际替代率递减有何关系？消费者最优选择的等边际条件和切点条件有何关系？（上海大学2009研）

答：（1）边际效用递减决定了边际替代率递减

边际效用递减规律是指在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量是递减的。

边际替代率递减规律是指在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。

之所以会普遍发生商品的边际替代率递减的现象，其原因在于：随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的，从而消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，也即他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少。由此可知，边际效用递减决定了边际替代率递减。

（2）消费者的最优选择的切点条件是等边际条件的一个特例，等边际条件也满足消费者效用最大化时，两者才是相等的。

由于在保持效用水平不变的前提下，消费者增加一种商品的数量所带来的效用增加量和相应减少的另一种商品数量所带来的效用减少量必定是相等的，即有|MU₁·∆X₁|＝|MU₂·∆X₂|

该式可以写为（MU₁/MU₂）＝－∆X₂/∆X₁＝MRS₁₂；

消费者最优选择的等边际条件为：MRS₁₂＝－∆X₂/∆X₁＝（P₁/P₂）；

因此消费者的最优选择的等边际条件和切点条件相同。

四、计算题

1若某人的效用函数取下述形式：U＝U（x₁，x₂）＝（x₁＋2）2（x₂＋2）3。求每一商品的边际效用函数。当消费的每一个商品均为3个单位时，第一个商品的边际效用值是多少？（厦门大学2010研）

解：由效用函数U＝U（x₁，x₂）＝（x₁＋2）2（x₂＋2）3，可得：

当x₁＝x₂＝3时，MU₁＝2（x₁＋2）（x₂＋2）3＝1250。

2假设某消费者的效用函数为U（x₁，x₂）＝lnx₁＋x₂，试证明：给定商品1和2的价格p₁和p₂，如果消费者的收入I足够高，则收入的变化不会影响该消费者对商品1的消费。（电子科技大学2009研）

证明：该消费者的效用最大化行为可表示为：

构造拉格朗日辅助函数L＝lnx₁＋x₂－λ（p₁x₁＋p₂x₂－I）；

效用最大化的一阶条件为：

解得：x₁＝p₂/p₁

所以，如果消费者的收入I足够高，则收入的变化不会导致该消费者对商品1消费的变化，即对商品1的需求不受收入影响。

第四节　选择、需求与显示偏好

一、名词解释

1消费者均衡（东南大学2002、2006研；厦门大学2012研；东北财经大学2007、2012研；对外经济贸易大学2014研）

答：消费者均衡是指消费者的效用达到最大并维持不变的一种状态，其研究单个消费者如何把有限的货币收入分配在各种商品的购买中以获得最大的效用。也可以说，它是研究单个消费者在既定收入下实现效用最大化的均衡条件。这里的均衡指消费者实现最大效用时既不想再增加、也不想再减少任何商品购买数量的这样一种相对静止的状态。

基数效用论认为，消费者实现效用最大化的均衡条件是：如果消费者的货币收入水平是固定不变的，市场上各种商品的价格是已知的，那么，消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等。或者说，消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱所带来的边际效用相等，即MU_i/P_i＝λ，其中λ为货币的边际效用。

序数效用论者把无差异曲线和预算线结合在一起说明消费者均衡。任何一个理性的消费者在用一定的收入购买商品时，其目的是为了从中获得尽可能大的消费满足。消费者偏好决定了消费者的无差异曲线，一个消费者的关于任何两种商品的无差异曲线簇可以覆盖整个坐标平面；消费者的收入和商品的价格决定了消费者的预算线，在收入既定和商品价格已知的条件下，一个消费者关于两种商品的预算线只能有一条。那么，当一个消费者面临一条既定的预算线和无数条无差异曲线时，只有既定的预算线和其中一条无差异曲线的相切点，才是消费者获得最大效用水平或满足程度的均衡点，此时满足MRS₁₂＝P₁/P₂。

2恩格尔曲线（Engle Curve）（中国人民大学2011研；西安交通大学2013研；湘潭大学2015研；厦门大学2009、2016研；中山大学2017研）

答：由消费者的收入提供曲线可以推导出消费者的恩格尔曲线。恩格尔曲线表明的是在商品价格和其他条件不变的情况下，消费者在每一收入水平上对某种商品的需求量之间的内在联系。德国统计学家恩格尔认为，随着收入水平的提高，不同商品的需求量呈现出不同的变化趋势，如图2-7所示。

图2-7　恩格尔曲线

图2-7（1）中，商品1是正常品，其需求量X₁随着收入水平m的上升而增加。图2-7（2）中，商品1由正常品转变为劣等品。在较低的收入水平范围，商品1的需求量与收入水平成同方向的变动；在较高的收入水平范围，商品1的需求量与收入水平成反方向的变动。

3低档商品（上海交通大学2007研；厦门大学2009研；上海大学2009研；中山大学2007、2013研；电子科技大学2014研）

答：低档商品是指需求收入弹性为负的商品。因此，低档商品需求量随着收入增加而减少，随着收入减少而增加。与此对应的一个概念是正常商品，即需求收入弹性为正的商品，正常商品需求量随着收入增加而增加，随着收入减少而减少。

对于低档商品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动，且在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，因而相应的需求曲线是向右下方倾斜的。

低档商品的一个重要特征是商品降价的收入效应为负。商品降价使得消费者实际收入增加，再根据低档商品定义，收入增加使得低档商品需求量减少，因此低档商品降价的收入效应为负。由于商品降价的替代效应始终是正，因此低档商品的收入效应减弱了替代效应。

低档商品中有一类特殊的商品——吉芬商品。根据定义，吉芬商品降价使得吉芬商品需求量减少。由于吉芬商品降价的替代效应为正值（吉芬商品需求量增加），因此吉芬商品降价的收入效应为负，并且绝对值大于替代效应。

4吉芬商品（北京大学2009研；上海大学2004、2009研；厦门大学2008、2010研；中央财经大学2009、2010研；华中科技大学2013研；中山大学2007、2017研）

答：19世纪，英国统计学家罗伯特·吉芬发现一个现象，1845年爱尔兰发生灾荒，导致土豆价格上升，但居民对土豆的需求量却反而增加了，而这无法用传统的经济学理论进行解释，故此现象称为“吉芬难题”，并将像土豆这种需求量与价格同方向变动的商品称之为“吉芬商品”。

吉芬商品是一种特殊的低档商品。作为低档商品，吉芬商品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应则与价格成同方向的变动。吉芬商品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格成同方向的变动。这也就是吉芬商品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。吉芬商品的替代效应和收入效应如图2-8所示。

图2-8　吉芬物品的替代效应和收入效应

5直接显示偏好（中央财经大学2007研；中山大学2013研；厦门大学2015研）

答：显示偏好理论是保罗·萨缪尔森于1948年在《用显示性的偏好论述的消费理论》一文中提出的研究需求理论的一种方法。通过观察消费者的购买行为（如何对价格和收入的变化做出反应）推测人们的偏好。

设（x₁，x₂）是消费者在收入为m时按价格（p₁，p₂）购买的商品束，消费者花尽所有的收入，因此有等式形式的预算约束p₁x₁＋p₂x₂＝m。

又设（y₁，y₂）是在收入既定条件下有能力购买的商品束，这意味着它满足不等式预算约束：p₁x₁＋p₂x₂≥p₁y₁＋p₂y₂。

如果这一不等式成立，且（y₁，y₂）确实是不同于（x₁，x₂）的商品束，就称（x₁，x₂）是（y₁，y₂）的直接显示偏好。

可以看出，显示偏好是按某种预算实际需求的消费束和按这种预算能够购买但并未购买的消费束之间的一种关系。

二、单项选择题

1假设Smith的效用函数为U（X，Y）＝min｛X，Y｝，收入为36，商品的价格分别为P_X＝3和P_Y＝6，则Smith的最优消费组合为（　　）。（电子科技大学2010研）

A．（X*，Y*）＝（12，0）

B．（X*，Y*）＝（0，6）

C．（X*，Y*）＝（4，4）

D．（X*，Y*）＝（6，3）

【答案】C

【解析】Smith的效用函数表明两种商品是完全互补关系，所以，最优的消费决策是两种商品消费量相等，即X＝Y，又因为预算约束为3X＋6Y＝36，所以最优消费组合为（X*，Y*）＝（4，4）。

2假设Smith的效用函数为U（X，Y）＝X＋Y，收入为24，商品的价格分别为P_X＝3和P_Y＝4，则Smith的最优消费组合为（　　）。（电子科技大学2009研）

A．（X*，Y*）＝（4，3）

B．（X*，Y*）＝（8，0）

C．（X*，Y*）＝（0，6）

D．（X*，Y*）＝（8，6）

【答案】B

【解析】Simth的效用函数表明两种商品是替代关系，所以，最优的消费决策是尽量多购买价格低的那种商品。本题中，X比Y要便宜，所以Simth应全部购买X，又因为预算约束为3X＋4Y＝24，所以最优消费组合为（X*，Y*）＝（8，0）。

3已知某消费者的效用函数为，商品x和y的单位价格分别为1元和4元。预算约束为100，如果该消费者以最大化效用为目标，那么他应该消费的x和y的数量分别是多少？（　　）（中央财经大学2011研）

A．（20，20）

B．（50，12.5）

C．（40，15）

D．（30，15）

【答案】B

【解析】效用函数的正单调变换不改变效用函数的偏好关系。由效用函数U（x，y）＝xy可得：

MU_x＝∂U/∂x＝y

MU_y＝∂U/∂y＝x

根据消费者最优条件MU_x/P_x＝MU_y/P_y，再结合预算约束条件x＋4y＝100，可得消费者的最优选择为x＝50，y＝12.5。

4假设在预算线的某个商品束（x₁，x₂），MRS＝dx₂/dx₁＝－2，预算线的斜率－p₁/p₂＝－3，在相同的预算下，下面哪种情形消费者的效用会提高？（　　）（上海财经大学2012研）

A．增加x₁，保持x₂不变

B．增加x₂，保持x₁不变

C．增加x₁，减少x₂

D．增加x₂，减少x₁

【答案】D

【解析】边际替代率的绝对值为2，表示消费者愿意1单位的x₁消费2单位的x₂，而市场上p₁/p₂＝3，表示1单位的商品x₁可以换取3单位的x₂。因此，消费者减少消费1单位的商品x₁可得到3单位的x₂，比意愿交换量多出1单位的x₂，所以，为了使效用最大化消费者应该增加x₂的消费，减少x₁的消费。

5假设一种物品为吉芬商品，那么，当该物品的价格上升时，应该有（　　）。（上海财经大学2009研；中山大学2010研）

A．替代效应为正值，收入效应为负值，并且前者的作用小于后者

B．替代效应为正值，收入效应为负值，并且前者的作用大于后者

C．替代效应为负值，收入效应为正值，并且前者的作用小于后者

D．替代效应为负值，收入效应为正值，并且前者的作用大于后者

【答案】C

【解析】吉芬商品是一种特殊的低档商品，作为低档商品，吉芬商品的替代效应与价格呈反方向变动，收入效应则与价格同方向变动。吉芬商品的特殊性在于：它的收入效应大于替代效应，从而使得总效应与价格呈同方向的变动，其需求曲线向右上方倾斜。

6给定以下三个商品组合：

A．包括5个苹果和8个桔子

B．包括15个苹果和6个桔子

C．包括10个苹果和7个桔子

如果A、B两点在同一条无差异曲线上，并且这条无差异曲线的边际替代率（MRS）逐渐变小，那么，C点的效用与A、B相比（　　）。（中央财经大学2009研）

A．C优于A和B

B．A、B优于C

C．C和A、B相同

D．（A）和（B）都正确，（C）错误

【答案】A

【解析】A、B两点所在的同一条无差异曲线边际替代率逐渐变小，因此可知该无差异曲线是凸向原点的。根据函数凹凸性的定义，C点位于A、B点中间，C点所在的无差异曲线应在A、B点上方，因此C点的效用值应当大于A、B两点的效用值。

7张三和李四彼此厌恶对方，他们各自消费食物。他们的效用函数为：u_z＝f_z－f_l2/16和u_l＝f_l－f_z2/16，其中f_z，f_l分别表示张三和李四食物的消费量。假设他们共同拥有36单位的食物，问此时让他们尽可能幸福，同时也是公平的食物配置是（　　）。（上海财经大学2011研）

A．每人分配18个单位

B．每人分配4单位，并把剩余食物扔掉

C．每人分配8单位，并把剩余食物扔掉

D．每人分配12单位，并把剩余食物扔掉

【答案】C

【解析】食品公平配置意味着张三和李四都更偏好于自己的消费束，则有：

f_z－f_l2/16≥f_l－f_z2/16

f_l－f_z2/16≥f_z－f_l2/16

从而可得公平配置下有f_l＝f_z，则对于张三效用函数为：

u_z＝f_z－f_l2/16＝f_z－f_z2/16

最大化的一阶条件为：

du_z/df_z＝1－f_z/8＝0

解得f_z＝8。从而f_l＝f_z＝8。

8下面哪种情形不能用来解释需求曲线的移动？（　　）（上海财经大学2009研）

A．消费者的收入发生变化

B．消费者的偏好发生变化

C．市场上消费者的数量发生变化

D．该商品的价格发生变化

【答案】D

【解析】需求曲线的移动是外生变量的变化引起的，而商品价格是需求函数的内生变量，商品价格的变动只会引起均衡点沿需求曲线变化。

9已知商品X的价格为8元，商品Y的价格为3元。若消费者购买5个单位X和3个单位Y，此时X和Y的边际效用分别为20和14，那么为获得效用最大化，该消费者应该（　　）。（中山大学2006、2009研）

A．停止购买两种商品

B．增加X的购买，减少Y的购买

C．增加Y的购买，减少X的购买

D．同时增加对两种商品的购买

【答案】C

【解析】题中MU_x/P_x＝20/8＜MU_y/P_y＝14/3，这说明对于消费者来说，同样的一元钱购买商品X所得到的边际效用小于购买商品Y所得到的边际效用。理性的消费者会减少对商品X的购买量，增加对商品Y的购买量。在这样的调整过程中，消费者的总效用是增加的。当X、Y的数量调整至MU_X/P_X＝MU_Y/P_Y时，消费者实现效用最大化。

10国内儿童奶粉市场由国内品牌奶粉和进口品牌奶粉构成，由于近期国内品牌奶粉爆出含有三聚氰胺有毒化学成分，假设其他因素不变，由此引起的国内消费者对进口品牌奶粉的需求曲线（　　）。（中山大学2009研）

A．向左移动

B．向右移动

C．没有变化

D．不能确定

【答案】B

【解析】由于国内品牌奶粉的低质量，国内消费者会将对奶粉的需求从国内品牌奶粉部分地转移到进口品牌奶粉上。价格以外的因素导致需求增加，会使对进口品牌奶粉需求曲线向右移动，即国内消费者会购买更多的进口品牌奶粉。

11给定一个理性的消费者效用函数为U（X₁，X₂）＝X₁1/2X₂1/2，商品价格分别为P₁＝2、P₂＝1，如果该消费者选择了X₁＝4，那么该消费者可用于两种商品支出的预算收入是多少？（　　）。（上海财经大学2009研）

A．12

B．16

C．20

D．不能确定

【答案】B

【解析】由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，消费者效用最大化时花在X₁上的钱和花在X₂上的钱是一样的（因为c＝d＝1/2），因此X₂＝8。所以，该消费者可用于两种商品支出的预算收入为16。

12如果X的价格是$1.50，Y的价格是$1，某个消费者购买Y的边际效用是30。假设该消费者的购买行为满足效用最大化，他购买X的边际效用是（　　）。（中山大学2007研）

A．45

B．30

C．20

D．15

【答案】A

【解析】消费者效用最大化的条件是MU_X/MU_Y＝P_X/P_Y，故该消费者购买X的边际效用为：MU_X＝（P_X/P_Y）MU_Y＝（1.5/1）×30＝45。

13一个消费者将他的所有收入花费在两种商品A和B上。他购买A的价格是25，总效用为800，边际效用为12。购买B的价格是75，总效用为200，边际效用是24。为了达到消费者均衡，他应该消费（　　）。（中山大学2008、2011研）

A．更少的B和更多的A

B．更多的B，相同数量的A

C．更多的A，相同数量的B

D．更多的B和更少的A

【答案】A

【解析】题中MU_A/P_A＝12/25＞MU_B/P_B＝24/75，这说明对于消费者来说，同样的一元钱购买商品A所得到的边际效用大于购买商品B所得到的边际效用。理性的消费者会增加对商品A的购买量，减少对商品B的购买量。在这样的调整过程中，消费者的总效用是增加的。当A、B的数量调整至MU_A/P_A＝MU_B/P_B时，此时消费者获得了最大的效用。

14由于价格或收入变化导致了一个消费者的消费均衡移动。他发现，在他的新的均衡点处，边际效用总是低于原来均衡点处的相应值。这意味着（　　）。（中山大学2008研）

A．在新均衡处，他的状况变坏了

B．在新均衡处，他的状况变好了

C．如果他的收入改变了，而其他条件不变，则在新均衡处，他的状况变坏了

D．如果价格改变了，而其他条件不变，则在新均衡处，他的状况变好了

【答案】D

【解析】消费者处于均衡时的条件是MU/P＝λ即MU＝Pλ。新的均衡条件下，MU变小，也即Pλ乘积变小。如果其他条件不变，价格改变，那么价格P需降低。价格降低，对于消费者来说，可以达到更高的效用水平，他的状况变好了。

15如果消费者的效用为u（x₁，x₂）＝2x₁＋x₂，而且商品1和商品2的价格分别为p₁＝2，p₂＝1，花费的货币总数为m，那么消费者将（　　）。（上海财经大学2008研）

A．可能同时购买两种商品，而且0＜x₁＜m，0＜x₂＜m/2

B．可能同时购买两种商品，而且0＜x₁＜m/2，0＜x₂＜m

C．只购买商品x₁

D．只购买商品x₂

【答案】B

【解析】因为MU_x1/P₁＝1＝MU_x2/P₂，可得出消费者购买商品1和商品2无差异，所以消费者可能同时购买这两种商品。全部购买x₁时x₁＝m/p₁＝m/2；全部购买x₂时x₂＝m/p₂＝m。所以，商品1和商品2这两种商品的购买范围为0＜x₁＜m/2，0＜x₂＜m。

16假设消费者收入增加了20%，此时他对商品X的需求只增加了10%，商品X是（　　）。（上海财经大学2007研）

A．正常商品（Normal Goods）

B．低档商品（Inferior Goods）

C．吉芬商品（Giffen Goods）

D．边际产品（Marginal Goods）

【答案】A

【解析】收入增加，需求量也增加，可知该商品是正常物品。如果是低档商品，收入增加，需求量应该减少。

17假设对于苹果和橘子，甲更喜欢苹果，乙更喜欢橘子，水果的价格对两人相同，在效用最大化时（　　）。（中山大学2006研）

A．甲的苹果对橘子的边际替代率大于乙的

B．甲将消费比他拥有的更多的橘子

C．两人的边际替代率相等

D．只有B和C正确

【答案】C

【解析】当效用最大化时MRS₁₂＝MU₁/MU₂＝P₁/P₂，由于水果的价格对两人相同，所以两人的边际替代率相同。

18商品x和y的价格都是1元。某人用20元钱，正考虑挑选10单位的x和10单位的y。如果他有较好的凸性偏好，两种商品对他而言都是多多益善。在图上，把他消费的x的数量画在横轴（x轴）上，y的数量画在纵轴（y轴）上。当通过商品束（10，10）的无差异曲线的斜率为－2时，我们可以推断：（　　）。（中山大学2004研）

A．（10，10）是他能买得起的最优选择

B．他不大喜欢其中之一

C．他的效用会更大一些，如果他多消费一些y，少消费一些x

D．他的效用会更大一些，如果他多消费一些x，少消费一些y

【答案】D

【解析】ACD三项，题中MRS_xy＝2＞P_x/P_y＝1，即MU_x/MU_y＞P_x/P_y，所以，商品束（10，10）不是消费者的最优选择（虽然消费者能够选择该商品束），故为了获得更大的效用，消费者应多消费一些x，少消费一些y；B项，两种商品对消费者而言都是多多益善，即消费者两个物品都喜欢。

19下列哪项陈述正确？（　　）（上海财经大学2004研）

A．所有的低档品都是吉芬商品，所有的吉芬商品都是低档品

B．所有的低档品都是吉芬商品，但不是所有的吉芬商品都是低档品

C．所有的吉芬商品都是低档品，但不是所有的低档品都是吉芬商品

D．上述说法都不正确，因为在低档品和吉芬商品之间没有确定的关系

【答案】C

【解析】低档商品的替代效应与价格呈反方向变动，收入效应与价格呈同方向变动。吉芬商品是一种特殊的低档商品，吉芬商品收入效应很大，以致于超过了替代效应的作用，从而使总效应与价格同方向变动，价格上涨，消费者对吉芬商品的需求反而上升。吉芬商品一定是低档商品，但是低档商品不一定是吉芬商品。

20对于向上倾斜的需求曲线而言，（　　）。（上海财经大学2004研）

A．收入效应肯定大于替代效应，且商品肯定是正常商品

B．收入效应的大小肯定和替代效应的大小相同

C．商品肯定是低档品（Inferior Good），并且收入效应肯定比替代效应大

D．以上都不对

【答案】C

【解析】向上倾斜的需求曲线表明随着价格的上升，人们对该商品的需求会增加，这说明替代效应和收入效应相加的总效应与价格是同方向变动的。任何商品的替代效应都与价格反方向变动，说明此商品的收入效应与价格同方向变动，是低档品，并且收入效应的作用大于替代效应。

21假设资本财产是劳动的完全替代品，资本财产价格下跌，则可以断言（　　）。（上海财经大学2004研）

A．替代效应会降低对劳动力的需求

B．对劳动力的需求必然会降低

C．对劳动力的需求必然增加

D．对资本财产的需求降低

【答案】A

【解析】替代效应是指由于商品价格的变动所引起的商品的相对价格的变动，进而由商品相对价格的变动引起的商品需求量的变动。资本财产和劳动是完全替代品，资本财产的价格下降使得资本财产更加便宜、劳动相对更加昂贵，因此，在替代效应的作用下会降低对劳动力的需求。

22如果A商品价格上升引起B商品的需求曲线向左下方移动，那么（　　）。（中山大学2002研）

A．A和B是替代品

B．A和B是互补品

C．A为正常品B为次等品

D．A为次等品B为正常品

【答案】B

【解析】A商品价格上升引起B商品的需求曲线向左下方移动，表明A商品价格的上升导致B商品需求量的减少。一种商品的价格与另一种商品的需求量之间成反方向的变动，说明这两种商品之间存在着互补关系。

23假设消费者的选择行为可由一组观察值（pi，xi）表示，其中pi是时期i的价格向量，xi是时期i的消费计划。而且消费者在时期1、2和3的价格和消费计划组合分别为p1＝（2，1，2），x1＝（1，2，2），p2＝（2，2，1），x2＝（2，1，2）和p3＝（1，2，2），x3＝（2，2，1）。那么（　　）。（上海财经大学2008研）

A．该消费者的偏好是理性的

B．该消费者的选择行为满足显示性偏好强公理

C．该消费者的选择行为满足显示性偏好弱公理而且其偏好是理性的

D．该消费者的选择行为满足显示性偏好弱公理但其偏好不是理性的

【答案】D

【解析】分析如下：

从（1）可看出，消费束x1偏好于x3，从（2）可看出，消费束x2偏好于x1，从（3）可看出，消费束x3偏好于x2，都满足显示偏好弱公理，但是根据偏好传递性由（2）（3）有x3＞x2＞x1，即x3＞x1，与（1）x1＞x3矛盾，并不满足显示偏好强公理，所以其偏好不是理性的。

24某消费者在价格为（7，4）时选择消费束为（6，6）；在价格为（5，5）时选择消费束为（9，0），那么我们可以推断（　　）。（中央财经大学2012研）

A．消费束（6，6）被显示偏好于（9，0），但是没有证据表明她违反了WARP

B．没有哪个消费束被显示偏好于另一个消费束

C．该消费者违反了显示偏好弱公理（WARP）

D．消费束（9，0）被显示偏好于（6，6），并且她违反了显示偏好弱公理（WARP）

【答案】A

【解析】显示偏好弱公理（WARP）用文字表述为：如果在购买消费束X时，有能力购买消费束Y，那么在购买消费束Y时，X就一定是无力购买的消费束。

当价格为（7，4）时，消费者选择了（6，6），此时的花费为7×6＋4×6＝66；在此价格下，消费者若选择（9，0）需要的花费为7×9＋4×0＝63；63＜66，这表明消费者在能选择（9，0）的情况下选择了（6，6），因此消费者相对更偏好（6，6）这个消费束；当价格变为（5，5）时，消费者选择了（9，0），而消费束（9，0）的花费是45，消费束（6，6）的花费是60，45＜60，因此消费者很可能因无力购买（6，6）而放弃了这一消费束，没有证据表明该消费者违反了WARP。

25市场需求曲线通常是（　　）。（上海财经大学2002研）

A．市场上最大购买者需求曲线之和

B．政府对某种商品的需求

C．与横轴平行的曲线

D．市场上所有个人需求曲线之和

【答案】D

【解析】市场需求曲线通常是市场上所有消费者对于某种商品的个人需求曲线的水平加总。但是，公共物品的市场需求曲线是所有个人需求曲线的垂直相加。

三、简答题

1消费者行为理论的三个假设公理是什么？（武汉大学2003研；中央财经大学2012研）

答：根据消费者偏好某一个商品组合，而不喜欢另一种商品组合，以及消费者对其所消费的商品组合间的关系的安排，西方经济学者提出了三个基本的假设。这些假设被称为消费者行为公理。

（1）完备性或顺序性。消费者总是有能力将多种商品的组合，按照其偏好大小而顺序排列和比较。

在这一公理的假设下，消费者对任何两组商品A与B，必须有能力辨别其偏好A优于B，或B优于A，或两者偏好相同，且此三者中只有一种状况能成立。

（2）传递性。假如某消费者面临A、B和C三个商品组合，消费者在商品组合A和B之间更偏好A，在B和C之间更偏好B，则该消费者在A和C之间就更偏好A。

在这一公理的假设下，消费者的偏好具有传递性。例如，某甲偏好西瓜优于香蕉，且偏好香蕉优于橘子，则判断某甲偏好西瓜优于橘子。

（3）非饱和性。在非饱和状态时，消费者对越多的物品偏好越大，即消费数量越多，所获满足越大。

在这一公理的假设条件下，若消费者达到饱和状态或超饱和状态（厌恶）时，消费者不愿再消费，否则他一定不是有理性的人。一般所设定的假定是未达饱和状态前所做的分析。

以上三个公理性假设构成了现代消费者行为理论的基础。它们并没有阐明消费者偏好本身，但它们的确使得这些偏好具有某种程度的合理性。

2如果预算线给定，一条无差异曲线U（Q_x，Q_y）与其相切，试证明切点E的坐标为最优商品组合，切点E为消费者均衡点。（上海财经大学2003研）

证明：假设消费者的偏好是性状良好的，并且无差异曲线严格凸。如图2-9所示，因为偏好是性状良好的，所以多总比少更受到偏好，因此，离原点越远，消费者效用水平越高。要使消费者的效用最大化，只需把注意力集中于预算线上的消费束，而不考虑预算线以下的消费束。

图2-9　最优选择

从预算线的右下角开始向左移动，预算线相交于越来越高的无差异曲线，当达到刚好与预算线相切的最高的无差异曲线时，将相切处的消费束标记为（x*，y*）。（x*，y*）就是消费者的最优选择，因为与（x*，y*）相比，他更偏好的消费束集（无差异曲线上的消费束集）并不和他能够负担的消费束相交，即更高效用水平的无差异曲线并不和预算线有交点；并且，如果无差异曲线与预算线不相切，那它就会穿过预算线，那么在预算线上就会有某个邻近的点处在无差异曲线的上方，这时的交点尚未处在最优消费束上。因此，只有切点处的消费束（x*，y*）才是消费者能够负担的最优消费束。

3张三与李四在同一家便利店购买牛奶和豆浆。他们对于牛奶和豆浆的偏好不同，收入也不同。他们两种商品都购买，但购买的两种商品的数量不同。对于他们两人的选择来说，牛奶和豆浆的边际替代率有什么关系？作图表示他们的预算约束线和无差异曲线，并解释你的结论。（中山大学2008研）

答：（1）对于他们两人的选择来说，牛奶和豆浆的边际替代率相等。

在同一家便利店里，张三和李四购买的牛奶和豆浆的价格分别都是相同的。设牛奶的价格为P₁，豆浆的价格为P₂，A代表张三，B代表李四。当达到均衡时，即消费者实现最优选择时，边际替代率必定等于交换比率，即有：MRS_A12＝P₁/P₂＝MRS_B12，即对于他们两人的选择来说，牛奶和豆浆的边际替代率相等。

（2）由于两人购买的牛奶和豆浆的价格分别都是相同的，所以两人预算线的斜率是一样的，由于收入不同，所以预算线离原点的距离远近不同，张三和李四的预算线及无差异曲线具体如图2-10所示。预算线AB平行于CD。张三的预算线AB与他的无差异曲线U_A切于E_A点，两种商品的购买量分别为x_A1和x_A2；李四的预算线CD与他的无差异曲线U_B切于E_B点，两种商品的购买量分别为x_B1和x_B2。

图2-10　张三和李四的预算约束线和无差异曲线

4一个消费者被观察到当她面临价格p₁＝2，p₂＝6时，购买量为q₁＝20，q₂＝10。另一次，当p₁＝3，p₂＝5，她的购买量为q₁＝18，q₂＝4。请问她的行为符合显示性偏好的弱公理吗？请给出解释。（中山大学2008研）

答：她的行为符合显示偏好弱公理。

显示偏好弱公理是指如果（x₁，x₂）被直接显示偏好于（y₁，y₂），且（x₁，x₂）和（y₁，y₂）不同，那么，（y₁，y₂）就不可能被直接显示偏好于（x₁，x₂）。换言之，假定一个消费束（x₁，x₂）是按价格（p₁，p₂）购买的，另一个消费束（y₁，y₂）是按照（q₁，q₂）购买的，那么只要p₁x₁＋p₂x₂≥p₁y₁＋p₂y₂就不可能再有q₁y₁＋q₂y₂≥q₁x₁＋q₂x₂。本题中2×20＋6×10＞2×18＋6×4，即在价格为（2，6）时，该消费者有能力购买（18，4）这个消费束，却选择（20，10）这个消费束，说明（20，10）比（18，4）更受消费者的喜欢。当价格为（3，5）时，她选择了（18，4），而3×18＋5×4＜3×20＋5×10，说明此时消费者无力购买（20，10）这个消费束，所以她的行为符合显示偏好弱公理。

5当价格是（p₁，p₂）＝（3，3），消费者需求是（x₁，x₂）＝（7，4）；当价格是（p₁，p₂）＝（4，2），消费者需求是（x₁，x₂）＝（6，6）；当价格是（p₁，p₂）＝（5，1），消费者需求是（x₁，x₂）＝（7，3）。这种行为同显示偏好强公理相一致吗？为什么？（中央财经大学2008研）

答：这种行为同显示偏好强公理不相一致。分析如下：

显示偏好强公理是指：如果（x₁，x₂）被直接或间接显示偏好于（y₁，y₂），且（x₁，x₂）与（y₁，y₂）不同，则（y₁，y₂）不可能被直接或间接显示偏好于（x₁，x₂）。

根据m（p，x）＝m（p₁，p₂；x₁，x₂）＝p₁x₁＋p₂x₂，利用题中给定的数据，可得：

当商品价格（p₁，p₂）＝（4，2），该消费者的收入为36时，他会选择（x₁，x₂）＝（6，6）的消费组合，说明，对该消费者而言，对消费组合（6，6）的偏好大于（7，4）和（7，3）的偏好。

根据m（p，x）＝m（p₁，p₂；x₁，x₂）＝p₁x₁＋p₂x₂，利用题中给定的数据，可得：

按照之前的结论，在该消费者可以负担的情况下，他对（6，6）的偏好大于对（7，3）的偏好。因此，根据显示偏好公理，当商品价格（p₁，p₂）＝（5，1），消费者收入为38时，他仍会选择商品组合（x₁，x₂）＝（6，6）。这与题中所说，当商品价格变成（p₁，p₂）＝（5，1）时，消费者选择（x₁，x₂）＝（7，3）这一结论不符，所以题中所述不满足显示偏好强公理。

四、计算题

1已知月收入750，P_X＝50，P_Y＝30，给出了效用函数

求：

（1）边际效用函数；预算线；最优配置。

（2）在x实行配给，每月最多只能消费6单位时，求y的消费量，以及配给对消费行为的影响；计算配给对效用的影响。（厦门大学2017研）

解：（1）x的边际效用函数为：

y的边际效用函数为：

预算线为750＝50x＋30y。

消费者均衡的条件为MU_X/MU_Y＝P_X/P_Y，即y/x＝5/3，将其代入预算线得：x＝7.5，y＝12.5。

（2）对x实行配给意味着消费者的x消费量必须不大于x的配给量，于是，消费者的y消费量将不小于之前的消费量。在本题中，当x的消费量小于7.5时，y的消费量会大于12.5，此时MU_X/MU_Y＞P_X/P_Y，于是，此时消费者增加x的消费量，减少y的消费量就可以增加其效用。因此，当x实行配给时，消费者会选择他所能消费的最大数量的x，即消费6单位的x。

由预算线750＝50x＋30y，解得此时y的消费量为15，消费者此时获得的效用为：

该效用小于未实行配给时消费者的效用

即配给制使得该消费者获得的效用降低了。

2假定消费者的收入为m，他要消费两种商品1和2，其价格分别为p₁和p₂。这个消费者的效用函数为：U（x₁，x₂）＝x₁2＋4x₂2，其中x₁和x₂分别为这两种商品的消费量，请计算消费者的消费决策。（中山大学2012研）

解：由效用函数U（x₁，x₂）＝x₁2＋4x₂2，得MU₁＝2x₁，MU₂＝8x₂；边际替代率MRS＝MU₁/MU₂＝x₁/（4x₂）。

可见随着x₁的增加边际替代率的绝对值是增加的，所以不能根据消费者均衡条件MU₁/MU₂＝P₁/P₂去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足），此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得。

可计算得出，当消费者把所有的收入都用于购买商品1时，效用为（m/p₁）2，当消费者把所有的收入都用于购买商品2时，效用为4（m/p₂）2。因此，当p₂＞2p₁时，消费者把所有的收入都用于购买商品1；当p₂＜2p₁时，消费者把所有的收入都用于购买商品2；当p₂＝2p₁时，消费者既可选择把所有的收入都用于购买商品1，也可以选择把所有的收入都用于购买商品2。

3某人仅消费x和y两种商品，其效用函数为：U＝50x－0.5x2＋100y－y2，其收入I＝672，P_x＝4。

（1）推导出此人对y的需求函数。

（2）如果P_y＝14，此人将消费多少x？（上海交通大学2005研）

解：（1）设商品y的价格为P_y，则预算线方程为：4x＋P_yy＝672。

构造拉格朗日辅助函数：L＝50x－0.5x2＋100y－y2－λ（4x＋P_yy－672）。

效用最大化的一阶条件为：

解得：最优选择为

即此人对y的需求函数为

（2）如果P_y＝14，代入此人对x的需求函数x＝50－（4/P_y）（100－2y）；简化得：7x－4y＝150；结合预算线方程4x＋14y＝672，求得此人将消费42单位x。

4假设某消费者只消费两种商品（X和Y），其效用函数可以表示为U（x，y）＝min｛x，y｝，其中x代表商品X的数量，y代表商品Y的数量，min｛x，y｝代表x和y中较小的值。商品X的价格是p＞0，商品Y的价格是1。该消费者的收入为100。

（1）求该消费者的最优消费选择（x*，y*）。

（2）如果政府对该消费者征收占收入α%的个人所得税，0≤α≤100，求此时该消费者对商品X的需求函数是关于p与α的函数。

（3）假设个人收入所得税税率为20%，如果商品X的市场价格p从1上升2，该消费者在商品X的市场上的消费者剩余变化量是多少？

（4）现假设个人收入所得税税率为0，并假设商品X市场是供给无穷大的完全竞争市场。如果政府针对消费者对每消费1单位商品X征收不超过价格p的金额为τ的消费税（即τ≤p），并且变量最大化其来自该消费者的税收收入，那么政府应该如何设定消费税τ？最大化的税收收入是多少？（提示：最优的消费税和最大税收收入都是价格p的函数。）（清华大学2015研）

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

效用最大化的条件为x＝y，代入预算约束条件px＋y＝100，可得该消费者最优消费选择为（x*，y*）＝（100/（p＋1），100/（p＋1））。

（2）若政府对该消费者征收占收入α%的个人所得税，则消费者的效用最大化问题为：

利用效用最大化的条件x＝y，可得：此时该消费者对商品X的需求函数为x＝100（1－α%）/（p＋1）是关于p与α的函数。

（3）若个人所得税税率为20%，则消费者对X的需求函数为x＝80/（p＋1）。

如果商品X的价格p从1上升到2，则该消费者在商品X的市场上的消费者剩余变化量为：

（4）如果政府针对消费者对每消费1单位商品X征收不超过价格p的金额为τ的消费税，则消费者的效用最大化问题为：

利用效用最大化的条件x＝y，可得：此时该消费者对商品X的需求函数为x＝100/（p＋τ＋1）。

此时，政府税收收入为T＝τx＝100τ/（p＋τ＋1）。

则税收收入对税率的一阶导数为：

由题意可知p＞0，τ＞0，可知，一阶导数恒大于0。此时，政府的消费税收入随着税率τ的增加而不断增加。又因为τ≤p，所以当τ＝p时，政府税收最大，此时政府税收收入为100p/（2p＋1）。

5设一个消费者使用两种商品（x，y），效用函数为U＝10x3/4y1/4，商品价格P_x＝5元，P_y＝3元。

（1）设他的收入为40元，求消费者均衡；

（2）求恩格尔曲线。（华中科技大学2002研）

解：（1）当达到消费者均衡时，有：MU_x/P_x＝MU_y/P_y，即：[10×（3/4）x－1/4y1/4]/5＝[10×（1/4）x3/4y－3/4]/3，得：

5x＝9y①

另可得预算线方程为：

5x＋3y＝40②

联立①②式可得：x＝6，y＝10/3。

即达到消费者均衡时，消费者消费商品x数量为6个单位，消费商品y数量为10/3个单位。

（2）假设消费者收入为I，则消费者均衡时MU_x/P_x＝MU_y/P_y，即5x＝9y。

又根据预算约束线，有5x＋3y＝I；联立可得：x＝（3/20）I，y＝（1/12）I

恩格尔曲线表示消费者在每一收入水平对某商品的需求量，因此商品x的恩格尔函数为x＝（3/20）I，相应的商品x的恩格尔曲线为一条向右上方延伸的直线；商品y的恩格尔函数为y＝（1/12）I，相应的商品y的恩格尔曲线也为一条向右上方延伸的直线。

6在一个竞争性的市场上，一个消费者消费两种商品，她的效用函数和面临的预算约束分别是u（x₁，x₂）＝lnx₁＋lnx₂和3x₁＋4x₂＝100。

（1）求该消费者的最优需求，假定她是一个效用最大化的消费者。

（2）解释在求解（1）时用到的拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）λ的经济学意义。（中山大学2008研）

解：（1）构造拉格朗日函数为：L＝lnx₁＋lnx₂＋λ（100－3x₁－4x₂）

效用最大化的一阶条件为：

解得：x₁＝50/3，x₂＝25/2。

即假定消费者是一个效用最大化的消费者，则该消费者的最优选择是（50/3，25/2）。

（2）从经济学的角度来看，拉格朗日乘子λ代表当约束条件变动时，目标函数极值的变化。拉格朗日乘子就是效用函数在最优解处对收入的偏导数，也就是在最优解处增加一个单位收入带来的效用增加，或者说在最优解处由效用衡量收入的价值，称之为收入的边际效用。

拉格朗日乘子在经济学中被解释为影子价格，在这里为收入的边际效用。

7设一消费者的效用函数为U＝x₁a＋x₂a，其中a＞0。求消费者对商品1的需求作为消费者的收入和两种商品价格的函数。（x₁、x₂、p₁、p₂分别为商品1、2的数量和价格，收入为I）（华中科技大学2007研）

解：由消费者效用函数可得出相应的边际效用，即MU_x1＝ax₁a－1，MU_x2＝ax₂a－1

根据消费者效用最大化条件MU_x1/MU_x2＝p₁/p₂，即有：

　①

根据预算约束有：p₁x₁＋p₂x₂＝I②

联立①②两式可解得消费者对商品1的需求为：

8假设一个消费者的收入为I，该消费者把他的全部收入都用于商品X和商品Y的消费，商品X的价格为P_X，商品Y的价格为P_Y，该消费者的效用函数为U（X，Y）＝XaYb，其中a，b＞0。请说明该消费者的最优消费决策点，并在图上画出该消费者的收入消费曲线和恩格尔曲线。（中山大学2005、2012研）

解：（1）根据题意，可得出预算线方程为：P_XX＋P_YY＝I。

构造拉格朗日辅助函数：L＝XaYb－λ（P_XX＋P_YY－I）。

效用最大化的一阶条件为：

解得最优选择（X*，Y*）为：

（2）消费者的收入消费曲线

消费者的收入消费曲线是在消费者的偏好和商品的价格不变的条件下，与消费者的不同收入水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。根据消费者的最优选择，可得出消费者的收入消费曲线是一条经过原点的直线，如图2-11所示。

图2-11　消费者的收入消费曲线

（3）恩格尔曲线

恩格尔曲线表示消费者在每一收入水平下对某商品的需求量。由消费者的收入消费曲线可以推导出消费者的恩格尔曲线，如图2-12所示。可计算得出，对于柯布-道格拉斯需求函数，商品X和Y的恩格尔曲线是一条直线。

图2-12　商品X和商品Y的恩格尔曲线

9给定消费者的效用函数为u（x₁，x₂）＝x₁0.5x₂0.5，商品x₁和x₂的价格分别为p₁和p₂，消费者的收入为m。回答下列问题：

（1）求商品x₁和x₂的需求函数。

（2）假设m＝40，p₂一直为1不变化，p₁从2下降到1，计算p₁的变化对商品x₁的替代效应和收入效应。（北京师范大学2012研）

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

构造拉格朗日函数：L＝x₁0.5x₂0.5＋λ（m－p₁x₁－p₂x₂）

效用最大化的一阶条件为：

解得商品x₁和x₂需求函数分别为：x₁＝m/（2p₁），x₂＝m/（2p₂）。

（2）因为m＝40，x₂的价格一直不变化，x₁的价格从2下降到1，x₁的价格下降之前的x₁的最优购买量是x₁＝40/4＝10，价格变化后x₁最优购买量是x₁＝40/2＝20。

所以，总效应为10。

在保持原来效用不变的情况下，最优化问题是：

可得出

因此，替代效应为10－10，收入效应为20－10。

10我们用x₁和x₂表示消费者对商品X₁和X₂的消费数量，现给定消费者的效用函数为

U（x₁，x₂）＝x₁αx₂β

两种商品的价格分别为P₁和P₂，消费者的收入为m，求解下列问题：

（1）消费者将把收入的多大比例分别用于消费X₁和X₂？

（2）求出消费者对X₁和X₂的需求函数；

（3）消费者均衡时，两种商品的需求价格弹性是多少？（北京大学光华管理学院2010研）

解：（1）消费者面临的问题是：

消费者效用最大时：

即αx₂P₂＝βx₁P₁，所以x₁P₁＝αm/（α＋β），x₂P₂＝βm/（α＋β）。

收入用于商品X₁的比例为：（x₁P₁）/m＝α/（α＋β）。

收入用于商品X₂的比例为：（x₂P₂）/m＝β/（α＋β）。

即消费者将把收入的α/（α＋β）用于消费X₁，收入的β/（α＋β）用于消费X₂。

（2）两商品各自的需求函数为：x₁＝[α/（α＋β）]（m/P₁），x₂＝[β/（α＋β）]（m/P₂）。

（3）商品X₁的需求价格弹性为：

商品X₂的需求价格弹性为：

第五节　斯勒茨基方程

一、名词解释

斯勒茨基方程（厦门大学2015研）

答：该方程由尤金·斯勒茨基提出而得名，表示商品价格变化的影响的方程，这种影响可表示为：价格效应＝收入效应＋替代效应。在消费者行为理论中，消费者会在预算约束下选择一个商品束x（p，m）使他达到最大程度的效用满足，这个商品束x（p，m）便称为该消费者的需求函数。如果价格p和收入m发生一定的变化，那么对各种商品的需求量x_i（p，m），都会随着发生改变。斯勒茨基方程式就描述了需求变化率之间的关系。这个方程可以表示为：

u是在价格和收入既定情况下即（p，m）下消费者所达到的最大化的效用水平，h_j（p，u）是第j种商品的补偿需求函数。

上边的方程式也可以近似的写为：

左边的∆x_j表示由于第i种商品价格变动量为∆p_i所引起的对第j种商品的需求的变化，等式右边的第一项表示由于替代效用引起的需求量变化，第二项（为负值）表示由于收入效应而引起的需求变化。斯勒茨基方程式表明，一种价格变化引起的需求的变化是由替代效应和收入效应共同作用的结果。

二、单项选择题

1以下关于收入效应和替代效应的说法哪个是正确的？（　　）（中山大学2009研）

A．收入效应总是正的，替代效应总是负的

B．收入效应总是正的，替代效应可能是正的也可能是负的

C．替代效应总是负的，收入效应可能是正的也可能是负的

D．替代效应总是负的，收入效应总是负的

【答案】C

【解析】替代效应引起的需求变动方向总是与价格变动的方向相反；收入效应可能是正的也可能是负的，取决于考察的商品是正常商品还是低档商品。

2对于正常商品而言，当价格上涨时（　　）。（中央财经大学2010研）

A．替代效应为负，收入效应为负

B．替代效应为负，收入效应为正

C．替代效应为正，收入效应为负

D．替代效应为正，收入效应为正

【答案】A

【解析】当正常商品价格上涨时，替代效应使得需求更多倾向于其替代品，则替代效应为负；商品价格上涨使得收入水平相对下降，正常商品的需求量下降，则收入效应为负。因此，对于正常商品而言，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应也与价格成反方向的变动。

3替代效应是由于以下哪个因素导致的对需求的增加？（　　）（中山大学2008研）

A．所有价格的变化

B．由于一个替代品的广告引起的口味的改变

C．发现了新的替代品

D．以上都不是

【答案】D

【解析】替代效应是指当一种商品价格发生变化时，由该商品的价格变动引起的商品的相对价格的变动，进而由商品的相对价格的变动引起的商品的需求量的变动。当一种商品价格降低时，相对其他商品来说该商品更加便宜，所以消费者会增加对该商品的消费，使需求增加。

4下列哪种说法是对的？（　　）（上海财经大学2008研）

A．替代效应一定为负

B．Slutsky替代效应为正，希克斯替代效应为负

C．正常商品的替代效应为正，吉芬商品的替代效应为负

D．正常商品的替代效应为负，吉芬商品的替代效应为正

【答案】A

【解析】无论是正常商品还是低档商品或是吉芬商品，斯勒茨基分解后的替代效应都是负的，希克斯分解后的替代效应也是始终为负。

5当价格变化时，为使消费者达到价格变化后的效用水平所需要的收入补偿被称为（　　）。（上海财经大学2008研）

A．补偿变换（Compensation Variation）

B．等价变换（Equivalent Variation）

C．消费者剩余的变化量

D．Slutsky收入补偿

【答案】B

【解析】收入的补偿变化是指使消费者回到他初始的无差异曲线上所必须的收入变化。收入的等价变化是指消费者为了避免价格变动而愿意付出的最大收入量。补偿变化是补偿消费者一定收入后消费者回到价格变化前的效用水平，而等价变化是指减少消费者一定收入后使消费者得到价格变化后的效用水平，两种对收入的变化后所达到的目标效用水平是不同的。

6一个学生每月从父母那里得到500元的生活费。假如他对大米的需求函数为x（p，m）＝20/p＋500/m，如果大米的价格从每公斤4元涨到6元，为了保证他的生活水平不下降，他的生活费应从500元增加到（　　）元。（上海财经大学2006研）

A．506

B．508

C．510

D．512

【答案】D

【解析】为了保证他的生活水平不下降，那么，应该保证该学生的实物消费量不变。当大米的价格为4元时，该学生的大米需求量为20/4＋500/500＝6，那么对大米的支出为4×6＝24元，对其他商品的支出为500－24＝476元。当大米的价格涨到6元，且购买量仍为6时，对大米的支出变为36元，加上对其他商品的支出476元，该学生的总支出为512元。也就是说，为了保证他的生活水平不下降，他的生活费应从500元增加到512元。

7当一种商品的价格上升时，需求的变化量与替代效应的关系为（　　）。（上海财经大学2006研）

A．前者比后者大

B．前者比后者小

C．前者与后者一样大

D．前者可能比后者大，也可能比后者小

【答案】D

【解析】由斯勒茨基恒等式∆x＝∆xs＋∆xn可知，当替代效应∆xs和收入效应∆xn符号一致时，总效应（即价格变动引起的需求变化量）大于替代效应的变化量；当∆xs与∆xn符号不相同时，则两者的比较关系是不确定的。

8某消费者消费两种商品x和y，他的效用函数式u（x，y）＝lnx＋2lny。假设商品y的价格和他的收入不变，商品x的价格下降，那么（　　）。（中山大学2011研）

A．商品y的替代效应为0，因为y的价格没有变化

B．商品y的收入效应为0，因为消费者的收入不变

C．价格变化引起的替代效应减少了商品y的需求，增加了商品x的需求

D．以上都不对

【答案】D

【解析】根据消费者效用最大化条件可得：（1/x）/（2/y）＝p_x/p_y，即yp_y＝2xp_x，联立预算约束方程可得需求函数为：x＝m/（3p_x），y＝2m/（3p_y）。可知商品的需求与其他商品的价格无关。商品y的价格不变，收入不变，则y的需求不变；x的价格下降，需求增加。

9对于完全替代型的偏好作希克斯（Hicks）分解（　　）。（中山大学2015研）

A．既有替代效应，也有收入效应

B．只有替代效应，没有收入效应

C．只有收入效应，没有替代效应

D．根据具体效用函数而定

【答案】C

【解析】替代效应是指某商品的价格变化时，保持效用水平不变，对该商品需求量的变化。对于完全替代型的偏好，其无差异曲线是一条直线。其最优点是边角解，即用所有财富去购买相对价格最低的那种商品。假设该商品为i，总财富为w，价格为p_i，则需求量为x_i＝w/p_i。当价格降低时，为了使效用水平不变，只要i的相对价格还是最低，对i的需求量仍是x_i，故替代效应为0，只有收入效应。

三、简答题

1作图说明低档商品的收入效应、替代效应和全部效应。（上海交通大学2003研）

答：低档商品是指需求量随着消费者收入水平的提高而减少，随着消费者收入水平的下降而增加的商品。下面通过图2-13来说明低档商品的收入效应、替代效应和全部效应。

图2-13　低档商品的收入效应、替代效应和全部效应

如图2-13所示，横轴和纵轴分别表示商品1和商品2的数量，其中商品1是低档商品。商品1的价格P₁变化前的消费者的效用最大化的均衡点为a点，P₁下降以后的消费者均衡点为b点，因此价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为X₁′X₁″，这便是全部效应或总效应。通过作出与预算线AB′平行且经过初始选择点a的补偿预算线FG，便可将总效应分解为替代效应和收入效应。具体来看，P₁下降引起的商品相对价格的变化，使消费者由均衡点a运动到均衡点c，相应的需求增加量为X₁′X₁‴，这就是替代效应。而P₁下降引起的消费者的实际收入水平的变动，使消费者由均衡点c运动到均衡点b，需求量由X₁‴减少到X₁″，这就是收入效应。其原因在于：价格P₁下降所引起的消费者的实际收入的提高，会使消费者减少对低档商品1的需求量。

图2-13中的商品1的价格P₁下降所引起的商品1的需求量的变化的全部效应为X₁′X₁″，它是替代效应X₁′X₁‴和收入效应X₁″X₁‴之和。由于替代效应X₁′X₁‴的绝对值大于收入效应X₁″X₁‴的绝对值，所以P₁下降的总效应使得对X₁的消费量增加。

综上所述，对于低档商品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动，而且在大多数场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，所以，全部效应与价格成反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的。

2请画出吉芬商品在其价格下降时的收入效应、替代效应和总效应。（中山大学2005研；中国海洋大学2012研；中央财经大学2014研）

答：吉芬商品是一种特殊的低档商品。作为低档商品，吉芬商品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应则与价格成同方向的变动。吉芬商品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格成同方向的变动。这也就是吉芬商品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。

如图2-14所示，横轴和纵轴分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是吉芬商品。商品1的价格P₁下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为a点和b点，相应的商品1的需求量的减少量为X₁′X₁″，这就是总效应。通过补偿预算线FG可得：X₁″X₁‴为替代效应，它是一个正值；X₁′X₁‴是收入效应，它是一个负值。而且，收入效应X₁′X₁‴的绝对值大于替代效应X₁″X₁‴的绝对值，所以，最后形成的总效应X₁′X₁″为负值。在图2-14中，a点必定落在b、c两点之间。

图2-14　吉芬商品的替代效应和收入效应

3利用替代效应与收入效应，作图说明低档商品与吉芬商品之间的相互联系。（上海交通大学2006研；中央财经大学2013研；上海大学2016研）

答：（1）低档商品的替代效应与收入效应

对于低档商品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动，而且，在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，所以，总效应与价格成反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的。

如图2-15所示，商品1是低档商品。初始最优选择点为a点，商品1的价格下降，最终最优选择点为b点。因此，价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为X₁′X₁″，这便是总效应。通过作与预算线AB′平行且经过初始选择点a的补偿预算线FG，便可将总效应分解成替代效应和收入效应。其中，X₁′X₁‴为替代效应，它与价格变动的方向相反；X₁″X₁‴为收入效应，它与价格变动的方向相同。由于替代效应X₁′X₁‴的绝对值大于收入效应X₁″X₁‴的绝对值，或者说，由于替代效应的作用大于收入效应，所以，总效应X₁′X₁″是一个正值。

图2-15　低档商品的替代效应与收入效应

（2）吉芬商品的替代效应与收入效应

吉芬商品是一种特殊的低档商品。作为低档商品，吉芬商品的替代效应与价格成反方向变动，收入效应与价格成同方向变动。其特殊性在于：它的收入效应的作用大于替代效应的作用，从而总效应与价格成同方向的变动，这样使得吉芬商品的需求曲线向右上方倾斜。

如图2-16所示，商品1是吉芬商品。初始最优选择点为a点，商品1的价格下降，最终最优选择点为b点。因此，价格下降所引起的商品1的需求量的减少量为X₁′X₁″，这便是总效应。通过作与预算线AB′平行且经过初始选择点a的补偿预算线FG，便可将总效应分解成替代效应和收入效应。其中，X₁″X₁‴为替代效应，它与价格变动的方向相反；X₁′X₁‴为收入效应，它与价格变动的方向相同。由于收入效应X₁′X₁‴的绝对值大于替代效应X₁″X₁‴的绝对值，或者说，由于收入效应的作用大于替代效应，所以，总效应X₁′X₁″是一个负值。

图2-16　吉芬商品的替代效应和收入效应

（3）低档商品与吉芬商品之间的相互联系

通过作图可以看出低档商品与吉芬商品之间相互联系，即吉芬商品是一种特殊的低档商品。吉芬商品的特殊性在于：它的收入效应的作用大于替代效应的作用，从而总效应与价格成同方向的变动。

4斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的异同。（上海交通大学2004研；厦门大学2006、2008研）

答：斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应是分别以两位经济学家斯勒茨基与希克斯的名字命名的。斯勒茨基替代效应是在商品相对价格变化后，在保持消费者实际收入不变（这里的实际收入不变是指消费者在价格变化后能够购买他想要购买的价格变动以前的商品购买量）情况下所引起的商品需求量的变化；希克斯替代效应是在商品相对价格变化后，在保持消费者实际收入不变（这里的实际收入不变是指使消费者在价格变化前后保持在同一条无差异曲线上）情况下所引起的商品需求量的变化。斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应之间既有相同点，也有不同点。

（1）斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的相同点

斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的相同点主要体现在以下两个方面：①斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应都是非正的，这可以用显示偏好理论证明；②对于无限小的价格变动来说，斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应是相等的，即有：

（2）斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的不同点

希克斯分解与斯勒茨基分解的区别在于替代效应的不同——希克斯替代效应不是保持购买力不变而是保持效用不变（即在同一条无差异曲线上）。这在图形中的表现就是平行于价格变化后的预算线的辅助线的画法不同，希克斯分解中的那条辅助线是与原来的无差异曲线相切，而斯勒茨基分解中的辅助线是经过价格变化前的需求束。斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的不同点可借用图2-17予以说明。

图2-17　斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应

四、计算题

1小明在A城市的一家企业工作，每期的收入为12个单位，他每月主要消费两种产品x和y。他的效用函数为U（x，y）＝x0.5y0.5。A城市的两种产品x，y的价格分别是1和1，小明所在的企业往城市B发展，并设立分支机构。上司希望小明到城市B去上班，在城市B，两种产品x，y的价格分别为2和1。

（1）如果在两个城市，小明的收入相同，问在城市A和城市B对商品x的需求变化是多少，其中有多少可以归结为替代效应，有多少归结为收入效应？

（2）小明从城市A到城市B工作，要保证他福利不变，需要对他的收入进行多少补偿？（上海财经大学2009、2013研）

解：（1）由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，小明花在商品x和花在商品y上的钱是一样多的，即都为6单位。小明在城市A每月对商品x的需求为6，在城市B每月对商品x的需求为3。

当商品x的价格变为2时，为了使原先的消费束仍能支付得起，则收入必须作出变动，即要使购买力保持不变，所需的收入水平为m′＝2×6＋1×6＝18。

由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，此时小明将消费4.5单位商品x，9单位商品y。所以，替代效应为：

∆x₁s＝4.5－6＝－1.5

收入效应为：

∆x₁n＝3－4.5＝－1.5

（2）保证小明的效用水平不变，即要给予消费者足够多的货币补偿使他恰好能够回到原先的无差异曲线，从而保证福利不变，是希克斯收入效应中的收入补偿，所以按希克斯收入效应来计算。

原先效用水平U＝60.5×60.5＝6。

两种产品x，y的价格分别为2和1时，由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，要保证福利不变，此时小明将消费3单位商品x，6单位商品y。

此时收入水平为：

可以求得需要补偿的收入为：∆m＝m′－m＝16.97－12＝4.97。

2假设某个学生的月收入为m＝1000元，他对面包的需求函数为x（p，m）＝20/p＋1000/m，面包的价格为p＝4。

（1）当价格从4上涨到p′＝5时，为使该学生仍买得起原来的面包消费量，他的收入应增加多少？

（2）请计算斯勒茨基（Slutsky）替代效应。

（3）请计算收入效应。（上海财经大学2007研）

解：（1）由题意得，该学生对面包的需求函数为：x（p，m）＝20/p＋1000/m。

当m＝1000元，p＝4时，该学生对面包的需求量x＝20/4＋1000/1000＝6。

当价格从4上涨到p′＝5时，为使该学生仍买得起原来的面包消费量，他的收入应增加∆m＝x∆p＝6×（5－4）＝6。

（2）为使该学生仍买得起原来的面包消费量，该学生所需的收入水平为m′＝m＋∆m＝1000＋6＝1006。

将p′＝5和m′＝1006代入需求函数，可得：x（p′，m′）＝20/5＋1000/1006≈4.994。

所以，斯勒茨基替代效应为：∆xs＝x（p′，m′）－x（p，m）＝4.994－6＝－1.006。

（3）将p′＝5和m＝1000代入需求函数，可得：x（p′，m）＝20/5＋1000/1000＝5。

所以，斯勒茨基收入效应为：∆xn＝x（p′，m）－x（p′，m′）＝5－4.994＝0.006。

3某消费者具有效用函数U（X，Y）＝X1/2Y1/2，X和Y的单位价格均为4元，该消费者的收入为144元。试问：

（1）为使消费者的效用最大化，消费者对X和Y的需求应该各为多少单位？（要求写出最优化问题，然后求解。）

（2）消费者的总效用是多少？每单位货币的边际效用是多少？

（3）若X的单位价格上升为9元，对两种商品的需求有何变化？此时总效用为多少？

（4）X的单位价格上升为9元后，若要维持当初的效用水平，消费者的收入最少应该达到多少？（要求写出最优化问题，然后求解。）

（5）求X的价格上升为9元所带来的替代效应和收入效应。（中山大学2005研）

解：（1）根据题意，可得出预算线方程为：4X＋4Y＝144；

构造拉格朗日辅助函数L＝X1/2Y1/2－λ（4X＋4Y－144）；

效用最大化的一阶条件为：

解得最优选择（X*，Y*）为（18，18）。

即为使消费者的效用最大化，消费者对X和Y的需求应该各为18单位。

（2）总效用U＝X1/2Y1/2＝181/2181/2＝18；

每单位货币的边际效用λ＝MU_X/P_X＝1/8。

（3）若X的单位价格上升为9元，则相应的预算方程变为9X＋4Y＝144；

按照（1）的计算方法，构造拉格朗日辅助函数L＝X1/2Y1/2－λ（9X＋4Y－144）；

解得最优选择（X*，Y*）为（8，18），即购买8单位X商品，购买18单位Y商品。

总效用U＝X1/2Y1/2＝81/2181/2＝12。

（4）最优化问题为：

min 9X＋4Y

s.t. X1/2Y1/2＝18

构造拉格朗日辅助函数L＝9X＋4Y－λ（X1/2Y1/2－18）；

效用最大化的一阶条件为：

解得最优选择（X*，Y*）为（12，27）。

将X＝12，Y＝27代入预算方程，可得收入I＝9X＋4Y＝9×12＋4×27＝216（元）。

即X的单位价格上升为9元后，若要维持当初的效用水平，消费者的收入最少应该达到216元。

（5）P_X＝4，P_Y＝4，U＝18时，商品X的需求量为18。

P_X＝9，P_Y＝4，U＝12时，商品X的需求量为8。

P_X＝9，P_Y＝4，U＝18时，商品X的需求量为12。

所以，X的价格上升为9元所带来的替代效应为（12－18）＝－6，收入效应为（8－12）＝－4。

4某消费者的效用函数是u＝xy，P_x＝1元，P_y＝2元，收入m＝40元。现在如果P_y下降到1元，请回答下列问题：

（1）y价格下降的替代效应使y的购买量变化多少？

（2）y价格下降的收入效应使y的购买量变化多少？（上海大学2009研）

解：消费者效用最大化的问题是：

max u＝xy

s.t. P_xx＋P_yy＝m

由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知消费者的最优消费束为：

（x*，y*）＝（m/（2P_x），m/（2P_y））

当P_x＝1、P_y＝2、m＝40时，可得出最优消费束为（x*，y*）＝（20，10）；

当P_y下降到1元时，可得出此时最优消费束为（x*，y*）＝（20，20）。

所以，当P_y从2元下降到1元时，总效应为（20－10）＝10。

当P_y从2元下降到1元时，为了使原先所消费的商品组合在新价格下能支付得起，收入应为20×1＋10×1＝30；

将P_x＝1、P_y＝1和m＝30代入需求函数，可得y＝15。因此，替代效应为15－10＝5，收入效应为20－15＝5。

5考虑一消费者，其效用函数为u（x₁，x₂）＝lnx₁＋lnx₂，进一步假定消费者的收入，商品1和商品2的价格分别为m，p₁和p₂。

（1）分别求出x₁和x₂的需求函数。

（2）假设商品1的价格下降，最优的消费组合将如何变化？请在图形上画出商品1消费变化的Slutsky分解和Hicks分解。两种分解的替代效应和收入效应有何区别吗？（中山大学2014研）

解：（1）该消费者面临的最优化问题为：

max u（x₁，x₂）＝lnx₁＋lnx₂

s.t. p₁x₁＋p₂x₂＝m

构造拉格朗日函数：L＝lnx₁＋lnx₂＋λ（m－p₁x₁－p₂x₂）；

效用最大化的一阶条件为：

解得：x₁＝m/（2p₁），x₂＝m/（2p₂）。

（2）当商品1的价格下降时，消费组合中商品1的数量将增加，商品2的数量保持不变。

一种商品的替代效应是指价格变化引起商品需求量的总变化当中，仅仅因为该商品和其他商品之间的相对价格变化而引起的需求量的变化。收入效应是指价格变化引起消费者的实际收入发生变化，从而引起的需求量的变化。替代效应包括希克斯替代效应和斯拉茨基替代效应。希克斯替代效应是指保持消费者的效用不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图2-18所示）；斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图2-19所示）。希克斯替代效应拿走消费者足够多的货币使他恰好能回到原先的无差异曲线，斯拉茨基替代效应则拿走消费者足够多的货币使他恰好能回复到原先的消费水平；两种分解法的替代效应均为负。

图2-18　希克斯替代

图2-19　斯拉茨基替代

6某消费者的效用函数为

商品x₁和x₂的价格为p₁和p₂，收入为y。

（1）假设商品x₁和x₂的价格为p₁＝1和p₂＝2，该消费者收入为y＝100。求该消费者对两种商品的需求量。

（2）若商品x₁价格升至2，即此时p₁＝p₂＝2，该消费者收入不变。求此价格变化对商品x₁产生的替代效应和收入效应。（厦门大学2014研）

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

构造拉格朗日函数：

一阶条件为：

由上述三式解得消费对两种商品的需求函数分别为：x₁＝y/（2p₁），x₂＝y/（2p₂）。

当p₁＝1、p₂＝2、y＝100时，消费者对商品x₁的消费量为：x₁＝y/（2p₁）＝100/（2×1）＝50；对商品2的消费量为：x₂＝y/（2p₂）＝100/（2×2）＝25。

此时消费者效用为：

（2）当商品x₁的价格为p₁′＝2时，有：

由此可知，价格变化对x₁产生的总效应为－25。

为保持原有的效用水平（），消费者在新的价格水平（2，2）下的支出最小化问题为：

求解可得：

所以，x₁价格上升的替代效应为：

收入效应为：

7某人喜欢喝葡萄酒，当其他商品价格不变时，他对葡萄酒的需求函数为q＝0.02m－2p，目前他的收入m为7500元，葡萄酒价格p为30元/瓶。假设葡萄酒价格上升为40元/瓶，试问：价格上涨的总效应是多少瓶酒？其中替代效应是多少瓶？收入效应是多少瓶？（厦门大学2010研）

解：当葡萄酒价格为30元/瓶时，他对葡萄酒的需求量为0.02×7500－2×30＝90瓶；当葡萄酒价格上升为40元/瓶时，他对葡萄酒的需求量为0.02×7500－2×40＝70瓶。所以，价格上涨的总效应为70－90＝－20瓶。

当价格从30元/瓶上升到40元/瓶后，为了使原先消费的葡萄酒量仍能消费得起，收入的变化应为：∆m＝90×（40－30）＝900。

因此，要使购买力保持不变，收入应该调整为7500＋900＝8400元。

将新的价格水平40元/瓶和收入水平8400元代入需求函数，可得需求量为0.02×8400－2×40＝88。所以，替代效应为88－90＝－2瓶，收入效应＝总效应－替代效应＝－20－（－2）＝－18瓶。

第六节　跨时期选择

一、单项选择题

1投资A的第一年收益为100元，第二年的收入为50元。假设利率为10%，下列（　　）的现值比投资A高。（上海财经大学2006研）

【答案】D

【解析】由贴现公式

可以得到投资A的收益现值为100/1.1＋50/1.12，同理可以算出ABCD各选项的贴现值，经过比较得出D项的现值比投资A高。

2考虑李先生的一个两期模型。在第一阶段，他获得收入一百万元。第二阶段，他退休并依靠在第一阶段的储蓄生活。李先生的效用函数为柯布-道格拉斯函数U（c₁，c₂）＝c₁2c₂，其中c₁是他在第一期的消费，c₂是他在第二期的消费。实际利率为r，那么（　　）。（上海财经大学2012、2016研）

A．如果利率上升，则李先生会储蓄更多

B．如果利率上升，则李先生会储蓄更少

C．利率的变化不会影响李先生的储蓄额

D．李先生在第一期和第二期的消费相等

【答案】C

【解析】李先生面临的效用最大化问题为：

解得c₁＝2y₁/3，从而李先生的储蓄为s＝y₁－c₁＝y₁/3，因此李先生的储蓄额与利率无关。

二、简答题

1一个消费者，最初他是一个贷款人，在利率上升后，这个消费者是否会转变为借款者？在利率上升后，这个消费者的境况是变好，变坏，还是没有变化？请结合图形给出解释。（中山大学2009研）

答：（1）在利率上升后，这个消费者不会转变为借款者，必定还会选择做一个贷款者。分析如下：

如图2-20所示，消费者最初是一个贷款人，其消费束位于禀赋点的左边。利率上升使预算线绕禀赋点转动到一个更陡峭的位置。运用显示偏好原理可以看出，消费者一定不会移到禀赋点右边的新的消费点上去，新的最优消费束一定是初始预算集外面的一点，即它一定位于禀赋点的左边。所以，在利率上升后，这个消费者不会转变为借款者，必定还会选择做一个贷款者。

图2-20　跨时期选择

（2）如果消费者一开始是贷款者，在利率上升后，他决定仍然做一个贷款者，按照新的利率，他的境况一定会变好。这个论点可以用图2-20来说明。如果消费者仍然是一个贷款者，在初始消费的点上，消费者的禀赋是能够支付得起的，相同的禀赋条件下，消费者选择了新的消费点而不是原来的消费点，这就证明，消费者的境况一定得到了改善。

2请画图说明一个借款者当利率上升以后是否一定还是一个借款者，并简要说明原因。（中山大学2012研）

答：当利率上升以后，一个借款者可能仍然做一个借款者，也有可能使借款者变成一个贷款者。理由如下：

图2-21　利率上升对借款者的影响

如图2-21所示，在初始消费点E₀，c₁＞m₁，表明消费者是一个借款者。原有的跨期预算约束线为AB，利率的上升会使得跨期预算约束线围绕初始禀赋点（m₁，m₂）点顺时针旋转到EF，变得更陡峭。当利率上升后，消费者可以选择新的最优消费束为E₁，表明消费者从一个借款者变成一个贷款者；消费者也可以选择新的最优消费束为E₂，表明消费者仍然是一个借款者。

3考虑费雪两期消费模型：如果消费者可以以r_b＞0的利率储蓄，以r_s＞0的利率借贷，并且r_s＞r_b，那么

（1）在消费者第一期收入大于第一期消费的情况下，其预算约束是什么？

（2）在消费者第一期收入小于第一期消费的情况下，其预算约束是什么？

（3）画出消费者可以选择的第一期和第二期消费的组合。

（4）加上消费者的无差异曲线。说明三种可能的结果：一是消费者有储蓄，二是消费者有借贷，三是消费者既无储蓄也无借贷。（上海财经大学2012研）

解：（1）在消费者第一期消费小于第一期收入的情况下，该消费者是一个储蓄者，它面临着利率r_b。他的预算约束是C₁＋C₂/（1＋r_b）＝Y₁＋Y₂/（1＋r_b）。

（2）在消费者第一期消费大于第一期收入的情况下，该消费者是一个借贷者，它面临着利率r_s。他的预算约束是C₁＋C₂/（1＋r_s）＝Y₁＋Y₂/（1＋r_s）。

（3）图2-22中画出了两条预算约束线，它们在点（Y₁，Y₂）相交，在这点，消费者既不是储蓄者也不是借贷者。阴影部分代表消费者可以选择的第一期与第二期的消费组合。

图2-22　借贷制约

（4）图2-23描绘了三种情况。图2-23（a）显示了一个储蓄者的无差异曲线与点（Y₁，Y₂）左边的预算线相切的情况。图2-23（b）显示了一个借贷者的无差异曲线与点（Y₁，Y₂）右边的预算线相切的情况。图2-23（c）显示了一个既无储蓄又无借贷的消费者的情形：消费者可以达到的最高的无差异曲线是经过点（Y₁，Y₂）的。

（a）消费者是储蓄者

（b）消费者是借贷者

（c）消费者既无储蓄又无借贷

图2-23　三种可能的结果

如果消费者是储蓄者，则第一期的消费取决于[Y₁＋Y₂/（1＋r_b）]，即两个时期的收入Y₁、Y₂和利息率r_b。

如果消费者是一个借贷者，则第一期的消费取决于[Y₁＋Y₂/（1＋r_s）]，即两个时期的收入Y₁、Y₂和利息率r_s。

如果消费者既不是储蓄者又不是借贷者，则第一期的消费只取决于Y₁。

第七节　风险与不确定性

一、名词解释

期望效用（华中科技大学2005研；中央财经大学2009研；对外经济贸易大学2010研；北京大学2010研）

答：期望效用是指消费者在不确定条件下可能获得的各种结果的效用的加权平均数。如果用P和1－P表示两种结果W和Q发生的概率，则期望效用函数可记作：EU＝PU（W）＋（1－P）U（Q）。可以看出，消费者的期望效用就是消费者在不确定条件下可能得到的各种结果的效用的加权平均数。由于期望效用函数的建立，于是，对不确定条件下的消费者面临风险的行为的分析，就成了对消费者追求期望效用最大化的行为的分析。

二、单项选择题

1凹的（concave）的期望效用函数曲线对应消费者的风险偏好应该是（　　）。（中山大学2014研）

A．风险喜好

B．风险厌恶

C．风险中性

D．不能确定

【答案】B

【解析】凹的期望效用函数曲线对应的斜率随着财富的增加越来越平坦，该消费者对财富的期望值的效用大于财富的期望效用。

2消费者的目的是使收入最大化，他有两个选择，一个是选择确定的收入Z，另外一个在赌博中选择，这个赌博有0.4的概率获得2500，0.6的概率获得900元，当Z大于多少选择确定的收入？（　　）（上海财经大学2013研）

A．Z≥1444

B．Z≥1540

C．Z≥900

D．Z≥1172

【答案】B

【解析】若消费者始终选择确定的收入，则Z≥E（Z）＝2500×0.4＋900×0.6＝1540，故当Z≥1540时才会选择确定的收入。

3考虑一个抛硬币赌博，当“正面”出现时，你获得2元；当“反面”出现时，你获得0元。如果你是风险规避（Risk-averse）的，则你为参加这一赌博的投资（　　）。（电子科技大学2010、2011、2012研）

A．小于1

B．等于1

C．大于1

D．不能确定

【答案】A

【解析】由于硬币正面朝上和背面朝上的概率均为0.5，所以期望收益为0.5×2＋0.5×0＝1，即风险中立者愿意支付的投资为1元，而风险规避者所愿支付的投资小于风险中立者，即小于1元。

4在下列效用函数中，哪一个具有风险规避（risk-aversion）倾向，这里x代表财富水平？（　　）（上海财经大学2009研）

A．u（x）＝100＋3x

B．u（x）＝lnx

C．u（x）＝x2

D．以上都不是

【答案】B

【解析】效用函数为x的高阶函数为风险偏好，为x的同阶函数为风险中性，为x的低阶函数为风险规避。具体而言u′（x）＝1/x，u″（x）＝－（1/x2）＜0。

5一家企业必须决定是否对生产技术进行更新投资。企业的利润不仅取决于技术更新投资，还取决于市场需求的高低，在以下四种情况下，企业的利润w分别为

假设市场状况为高需求的概率为1/2，现在有三个老板，他们的效用函数分别为：（1）u（w）＝w1/2，（2）u（w）＝w，（3）u（w）＝w2。请问谁可能会选择投资技术更新？（　　）（上海财经大学2009研）

A．（1）

B．（2）

C．（1）和（3）

D．（2）和（3）

【答案】D

【解析】从企业的利润分布图表可以得出投资的期望收益值和不投资的期望收益值都为12.5。效用函数为w的高阶函数则为风险偏好，为w的同阶函数则为风险中性，为w的低阶函数则为风险规避，老板（1）具有风险规避倾向，在期望收益相等的情况下，选择不投资；而风险中性的老板（2）和风险偏好的老板（3）会选择投资技术更新。

6假设你去买一张彩票，而且你知道你将以0.1的概率得到2500元，0.9的概率得到100元。假设你的效用函数为

那么你从所购买的彩票中所得到的期望效用为（　　）。（上海财经大学2008研）

A．360

B．14

C．46

D．1300

【答案】B

【解析】将效用函数以及π₁＝0.1，u（w₁）＝50，π₂＝0.9，u（w₂）＝10代入期望效用计算式u（g）＝π₁u（w₁）＋π₂u（w₂）可得期望效用u（g）＝14。

7假设一个消费者的效用函数为U（w）＝w2，那么该消费者是（　　）。（上海财经大学2007研）

A．风险规避的

B．风险中性的

C．风险喜爱的

D．都不是

【答案】C

【解析】效用函数为w的高阶函数则为风险偏好，为w的同阶函数则为风险中性，为w的低阶函数则为风险规避。

8假定你是一个风险厌恶型的投资者，当你面对以下四种资产做选择时，根据“高风险，高回报”的原则，你会选择（　　）。（中山大学2005研）

A．期望回报＝0.15；方差＝0.20

B．期望回报＝0.10；方差＝0.20

C．期望回报＝0.10；方差＝0.25

D．期望回报＝0.15；方差＝0.25

【答案】A

【解析】四种资产中，较高回报的是AD两项资产组合，而对于同样的回报，由于A项资产组合方差较小，即风险较小，所以作为一个风险厌恶型的投资者，该投资者会选择A项这种资产组合。

9以下哪一种说法不符合风险规避者的特性？（　　）（中山大学2007研）

A．在期望收入相同的工作中，更愿意选择确定性收入的工人

B．对于具有同一期望收入的不确定性工作和确定性工作不加区别

C．收入的边际效用往往递减

D．更倾向于购买保险

【答案】B

【解析】对于具有同一期望收入的不确定性工作和确定性工作不加区别是风险中性者的特性。

三、计算题

1逃税是一种常见的犯罪。假设某个纳税人的固定收入为w，他必须向税务机关申报收入，并缴纳一个固定的税率t，0＜t＜1。该纳税人可以选择隐瞒其一部分收入。假定申报的收入为x，0≤x≤w。如果x＜w，就意味着纳税人隐瞒了收入。税务机关审计该纳税人收入的概率为p，0＜p＜1。一旦审计，纳税人是否隐瞒收入就一清二楚了。如果纳税人被发现有收入隐瞒行为，税务机关将要求纳税人补齐应缴税款，并支付罚款，罚款等于应追缴税款乘以某个常数θ的数额。正常情况下，我们假定θ＞0。

（1）假定纳税人对收入的效用函数U＝ln（w），请问他最优申报的收入x*为多少（假设0＜x*＜w）？x*如何随w而变化？

（2）如果θ＝0，纳税人的最优申报收入是多少？请解释其中的经济学直觉。

（3）如果θ＞0，且纳税人是风险中性，纳税人会选择申报零收入吗？在什么条件下他会这样做？（北京大学光华管理学院2012研）

解：（1）假设纳税人申报收入x。在概率（1－p）下，该纳税人不会被审计，最终收入为w－tx；在概率p下，该纳税人会被审计，最终收入为（1－t）w－θt（w－x）；

于是，纳税人面临效用最大化问题：

对x求导，得到一阶条件：

解得最优申报收入：

可以看出，在x*有意义条件下，申报收入随着w的增大而增大，即固定收入增加，纳税人选择申报的收入也会增加。

（2）当θ＝0，问题转化为：

E（U）随x增大而减小，故最优申报收入x*＝0。这从直觉上是很好理解的，因为隐瞒收入后并不会遭受惩罚，纳税人在被审计后效用为一固定值。造成纳税人效用变化的只有未被审计时的最终收入。此时，纳税人有动机尽量隐瞒自己的收入。

（3）若纳税人风险中性。问题转化为：

对上式关于x求一阶导数，容易分析出当pθ－（1－p）≥0时，纳税人效用随x增大而增大，最优申报收入应该是w；当pθ－（1－p）≤0时，纳税人效用随x增大而减小，此时最优申报收入为0。综合之，最优申报收入不一定为0，当且仅当pθ－（1－p）≤0，风险中性的纳税人会选择申报零收入。

2王先生对财富w的效用函数为lnw，他目前有1万元，他的地里可以种植某种作物，旁边有条小河，有10%的概率可能发生灾害，发生灾害了就会颗粒无收，如果没有发生灾害就会得到两倍的毛收益，问：

（1）王先生会投资多少？

（2）有提供竞争性保险的保险公司，保费是多少？（上海财经大学2010研）

解：（1）设王先生投资x元，则剩余10000－x元。如果发生灾害，他这一部分的效用为ln（10000－x）；如果没有发生灾害，则投资的收益为2x元，总财富变为10000－x＋2x＝10000＋x；他这一部分的效用为ln（10000＋x）。

要使总效用最大，则根据一阶条件得：－0.1×[1/（10000－x）]＋0.9×[1/（10000＋x）]＝0。

解得：x＝8000。

因此，王先生会投资8000元。

（2）假如王先生投资8000元，则发生灾害的话，其损失为8000元。设定保费为y元，则保险公司的收益为（y－8000）元，而假如没有发生灾害的话，保险公司的收益为y元，因此保险公司的期望收益为：0.1×（y－8000）＋0.9y＝y－800。

因为保险市场是竞争性的，因此保险公司的期望收益为零，于是有y＝800，因此保险费y为800元。

3抛一枚硬币，正面朝上的概率是p；你连续抛硬币，直到第一次出现正面为止（连续抛j次，在第j次第一次出现正面），这时候你的回报是$2j。

（1）如果p＝1/2，计算你的期望回报；

（2）假定你的期望效用函数为u（x）＝ln（x），用级数求和的形式表示抛硬币带来的期望效用；

（3）计算该预期效用值。（中央财经大学2009研）

解：（1）第j次出现正面的概率是p_j＝（1－p）j－1p（j＝1，2，3，…）；期望回报为：

当p＝1/2时，期望回报为：

（2）期望效用函数为u（x）＝ln（x）；则在第j次第一次出现正面的时候，效用u_j＝ln（2j）＝jln2；则期望效用为：

（3）

令

即该预期效用值E＝2ln2。

4假设王五的效用函数为U（I）＝I3/2，其中I代表以千元为单位的年收入。

（1）王五是风险中性的，风险规避的还是风险爱好型的，请解释。

（2）假设王五现在的年收入为10000元，该工作是稳定的，他可以获得另一份工作，收入为15000元的概率为0.5，收入为5000元的概率为0.5，王五将作何选择？（中山大学2004研）

解：（1）王五的货币边际效用MU（I）＝（3/2）I1/2。

可以看出，货币的边际效用是递增的，所以王五是风险爱好型的。

（2）王五获得另一份工作的期望收益为：E＝15000×0.5＋5000×0.5＝10000。

期望收益和现在的年收入一样。因为王五是风险爱好型的，在期望收益相同时，财富的期望效用大于财富期望值的效用，即：0.5u（5000）＋0.5u（15000）＞u（0.5×5000＋0.5×15000）＝u（10000）。

王五将辞掉目前的工作，而找另一份工作。

5老王开了一家冰粥店，冰粥的价格非常依赖于天气状况。如果天气晴朗，每碗冰粥要卖30元：如果下雨，每碗冰粥只能卖20元。而且，冰粥必须头一天晚上熬制，第二天卖掉，否则就会变质。冰粥店每天的成本函数为C＝0.5q2＋5q＋100，其中，q为冰粥的产量（单位为碗）。在当晚生产第二天的冰粥之前，老王并不清楚第二天的天气情况，只能推测第二天是晴天和雨天的概率各为50%。

（1）为了实现期望利润最大化，老王每天应该生多少碗冰粥？

（2）假设老王的效用函数为

其中π为利润。请问，老王的风险态度是什么类型？他的期望效用水平为多少？

（3）假设老王通过天气预报可以准确地知道第二天的天气状况，但是不能改变冰粥的价格。请问在这种情况下，他的期望效用水平是多少？天气的不确定性给他带来了多少效用损失？（中国人民大学2014研）

解：（1）晴天时，老王的利润为：π₁＝pq－C＝30q－（0.5q2＋5q＋100）＝－0.5q2＋25q－100；

雨天时，老王的利润为：π₂＝20q－（0.5q2＋5q＋100）＝－0.5q2＋15q－100；

因此，老王的期望利润函数为：E（π）＝（1/2）（π₁＋π₂）＝－0.5q2＋20q－100。

期望利润最大化的一阶条件为：

解得：q＝20。

且

故老王每天应该生产20碗粥。

（2）由效用函数

可得：

故老王的风险态度为风险规避型。

由（1）可知，晴天时，老王利润水平为π₁＝－0.5×202＋25×20－100＝200；

雨天时，老王利润水平为π₂＝－0.5×202＋15×20－100＝0；

因此老王的期望效用为：

（3）晴天时，老王利润函数为：π₁＝－0.5q2＋25q－100；

利润最大化的一阶条件为：dπ₁/dq＝－q＋25＝0

解得：q₁＝25；

此时π₁＝－0.5q2＋25q－100＝212.5；

同理可得：π₂＝－0.5q2＋15q－100＝12.5；

故老王的期望效用水平为：

因此，天气的不确定性给老王带来的效用损失为：

第八节　消费者剩余

一、名词解释

消费者剩余（北京大学2010研；中国人民大学2013研；华中科技大学2007、2013研；中央财经大学2008、2010、2013研；北京师范大学2009、2014、2016研；中国海洋大学2016研；湘潭大学2006、2008、2017研）

答：消费者剩余是指消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额。由于消费者消费不同数量的同种商品所获得的边际效用是不同的，所以，他们对不同数量的同种商品所愿意支付的价格也是不同的。但是，消费者在市场上所面临的同种商品的价格往往却是相同的，这样，消费者为一定数量的某种商品所愿意支付的价格和他实际支付的价格之间就会有一定的差额，这一差额就构成消费者剩余。消费者剩余可以用图2-24来表示。

图2-24　消费者剩余

如图2-24所示，反需求函数Pd＝f（Q）表示消费者对每一单位商品所愿意支付的最高价格。消费者剩余可以用消费者需求曲线以下、市场价格线之上的面积来表示，即图2-24中的阴影部分面积所示。

二、单项选择题

1下列关于消费者剩余的陈述，不正确的是（　　）。（电子科技大学2009研）

A．它是消费者获得的总效用

B．它是消费者总的支付意愿与实际支付之差

C．它可用于消费者消费的福利结果

D．它描述了消费者消费所获得的超额好处

【答案】A

【解析】消费者获得的总效用是由无差异曲线来表示，和消费者剩余无关。

2导致消费者剩余严格大于0的原因，最合适的是（　　）。（电子科技大学2008研）

A．边际效用递减

B．商品价格由消费的最后一个单位决定

C．由A和B共同决定

D．目前还不清楚

【答案】C

【解析】消费者剩余是消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额。消费者对每一单位商品所愿意支付的最高价格取决于这一单位商品的边际效用，边际效用是递减的，消费者愿意支付的最高价格是递减的，需求曲线向右下倾斜；并且商品的价格是由消费的最后一单位商品的边际效用决定的，那么消费者的意愿支付和实际支付肯定有差别，消费者剩余严格大于零。

3假设一个公园采用两部收费制的策略，而且它面对的是具有相同偏好的消费者，那么公园的门票费应等于（　　）。（上海财经大学2008研）

A．边际成本

B．边际收益

C．市场价格

D．消费者剩余

【答案】D

【解析】两部收费制是指先向消费者收取一定数量的固定费用，然后再按消费数量向消费者收取使用费。公园采取两部收费制，当公园里的娱乐项目价格等于娱乐项目的边际成本时，同时在收取门票费等于此时消费者的全部消费者剩余时，公园获得全部消费者剩余，获得最大利润。

4等价变化（Equivalent Variation）是指（　　）。（上海财经大学2007研）

A．当价格变化时，为使消费者维持原来的效用水平所需的收入

B．当价格变化时，为使消费者在原来的价格水平下达到价格变化后的效用水平所需的收入

C．当价格变化时，为使消费者维持原来的购买力所需的收入

D．价格变化所引起的效用变化

【答案】B

【解析】等价变化EV是指维持变化后效用水平所需的收入补偿；补偿变化CV是指维持原效用水平在新价格时的收入补偿。

5如果效用函数是拟线性（quasilinear）的，那么（　　）。（上海财经大学2006研）

A．补偿性收入变化可以用消费者剩余的变化量来衡量

B．收入效应不等于零

C．补偿性收入变化不等于等价性收入变化

D．补偿性收入变化等于等价性收入变化，但不等于消费者剩余的变化量

【答案】A

【解析】ACD三项，拟线性效用函数的无差异曲线是互相平行的，无论从哪个角度，两条无差异曲线之间的距离都相等，因此补偿变化、等价变化以及消费者剩余的变化三者是相等的，是对价格变化的货币值的同一测度；B项，在拟线性效用函数u（x₁，x₂）＝x₂＋v（x₁）下，总效用水平与商品2是线性关系，与商品1是非线性关系，此时商品1的收入效应等于0，收入增加完全不改变商品1的需求。

6消费者效用u（x，y）＝min（2X，Y），收入m＝60，初始时X和Y的价格水平为（2，1），价格变化后为（3，1），则有（　　）。（上海财经大学2010、2013研）

A．补偿变化减等价变化为3

B．补偿变化减等价变化为－3

C．补偿变化减等价变化为0

D．条件不足，无法判断

【答案】A

【解析】初始时，最优选择应满足2X＝Y且2X＋Y＝60，可得初始消费束为（15，30），初始效用水平为u＝30。为维持原有效用水平，则此时预算约束为3×15＋30＝75，故补偿变化为：CV＝75－60＝15。

在新的价格水平下，预算约束为3X＋Y＝60，则可得此时消费束为（12，24），则等价变化为：EV＝60－（2×12＋24×1）＝12，故补偿变化减等价变化为：CV－EV＝15－12＝3。

7下述哪种情况中，消费者剩余为零？（　　）（上海财经大学2004研）

A．需求弹性大于1

B．需求弹性小于1

C．所购买的最后一个单位的商品