第1章 消费者理论
1.1 名校考博真题详解
1.1.1 名词解释
1消费者剩余与生产者剩余[南京大学2001博；东北财经大学2004博；哈尔滨工业大学2010博]
答：消费者剩余和生产者剩余是经济福利分析的两个重要工具。
（1）在效用与经济福利分析中，消费者剩余是指消费者为获得一定数量的某种商品（或服务）所愿意支付的最高款额与其实际支付款额之间的差额。就单位商品（或服务）而言，消费者剩余是消费者愿意接受的最高价格与市场价格之间的差额，它被用以测度消费者从消费某种商品（或服务）中所获得的总的净收益。消费者剩余的产生是由于不同消费者对同一种商品的评价不同，因此他们对这种商品所愿意做出的最大支付也就不同。在厂商不能对消费者索取差别性价格的条件下，决定市场价格的是边际购买者（或边际购买量），他正是对这一产品评价最低的消费者。这样，那些非边际购买者（或边际购买量）就可以获得额外的“津贴”，这就产生了消费者剩余。
（2）在经济福利分析中，生产者剩余是指生产者销售某种商品（或服务）所获得的款额与其生产成本之间的差额。就单位商品（或服务）来说，它是指该单位商品（或服务）的销售价格与生产该单位商品（或服务）的边际成本之间的差额。它用以衡量生产者销售一定数量的某种商品（或服务）所获得的总的净收益。生产者剩余是分析生产者行为和生产者经济福利的一种工具。
生产者剩余和消费者剩余如图1-1所示。
图1-1 消费者剩余和生产者剩余
2补偿变化[华中农业大学2004博]
答：补偿变化是指在价格变化以后，为了使消费者在新的价格下，其效用水平仍然能够维持在原来的水平，所必须支付给消费者的货币量。
假设原来的价格水平为p0，对应的货币收入为y，会产生一个间接效用水平v（p0，y）＝u0，现在价格变化了，上升为p1，最低支出为e[p1，v（p0，y）]，肯定超过了y，超过的部分应补偿，才能使消费者维持原来的效用水平，这种变化称为补偿变化。记为：CV＝e[p1，v（p0，y）]－y。
某种商品x1的价格变化所引起的补偿变化如图1-2所示。
图1-2 商品x1的价格变化所引起的补偿变化
3效用函数[中科院农业政策研究中心2001、2004博]
答：效用函数是表示消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数。
在序数效用论中，效用函数为每个可能的消费束指派一个数字，使得指派给受较多偏好的消费束的数字大于指派给受较少偏好的消费束的数字。这就是说，对于消费束（x1，x2）的偏好超过对于消费束（y1，y2）的偏好，其充分必要条件是（x1，x2）的效用大于（y1，y2）的效用，这用符号表示就是：
效用指派的重要特征在于它对消费组合所进行的排列。效用函数的数值，只在对不同商品束进行排列时才有意义；而任意两个商品束之间的效用差额的大小是无关紧要的。因为这种效用强调商品束的排列次序，所以它被称作序数效用。
从几何上说，效用函数是一种给无差异曲线标明序数的办法。因为一条无差异曲线上的每一个商品束所带来的效用一定相同，所以效用函数就是一种通过使代表较高效用的无差异曲线得到较大指派数字的方式给不同的无差异曲线指派数字的方法。
4效用无差异曲线[中科院农业政策研究中心2001博；中国社会科学院2006博]
答：效用无差异曲线又称“等效用曲线”，是用来表示能使消费者获得相同满足程度的各种商品不同组合的曲线。在消费者仅消费两种商品的情况下，效用无差异曲线是表示能给消费者带来同等效用水平或满足程度的两种商品的不同数量的各种组合的曲线。
与无差异曲线相对应的效用函数为：U＝f（X1，X2）。其中，X1和X2分别为商品1和商品2的消费数量；U是常数，表示某个效用水平。由于无差异曲线表示的是序数效用，所以，这里的U只须表示某一个效用水平，而不在乎其具体数值的大小，有的西方经济学者称这种效用水平为效用指数。无差异曲线如图1-3所示。
图1-3 无差异曲线
无差异曲线具有如下特点：①由于通常假定效用函数的连续性，于是，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，存在着无数条无差异曲线。离原点越近的无差异曲线所代表的效用水平越低，离原点越远的无差异曲线所代表的效用水平越高；②在同一坐标平面上的任意两条无差异曲线不会相交；③一般而言，无差异曲线总是凸向原点的。这一特点是由商品的边际替代率递减规律所决定的。
5替代效应[华中农业大学2004博；西北大学2010博]
答：替代效应是指由商品的价格变动所引起的商品相对价格的变动，进而由商品的相对价格变动所引起的商品需求量的变动。一种商品的价格下降将引起消费者用该种商品去替代那些价格未下降或上升的商品。比如，X商品价格提高，而Y商品价格不变，这使两种商品比价发生变化，即Y商品的相对价格降低。由于Y商品与X商品有一定程度的替代性，消费者对价格变动的反应就是进行商品购买的替代，增加Y商品的购买量，减少X商品的购买量，这就是替代效应。假设消费者实际收入不变，则价格变动使需求量改变可以看成纯粹是由替代效应引起的。
如图1-4所示，X的价格上升后，预算线由AB变为AB′。作辅助线FG，使之平行于AB′，且与无差异曲线I1相切于c点，FG在AB′的右边，代表比AB′高的收入约束。从AB′到FG的变化，在于抵消因价格上升而使消费者实际收入下降对需求量的影响，从而可视为纯粹考察替代效应。因为在c点与初始的b点，消费者得到的效用相同，从而可以认为实际收入未变。这样，当商品X价格上升后，预算线的斜率改变，消费者均衡点由同一条无差异曲线I1上的b点变为c点，从而对X商品的消费量由X3减至X2，减少量为X2X3，这是在消费者实际收入不变情况下发生的，纯粹是由商品比价变化引起的，因而反映了X商品价格上升的替代效应。
图1-4 替代效应
6劣等品与吉芬商品[南京大学2001博；中科院农业政策研究中心2004博；中国社会科学院2009博]
答：劣等品是指需求量随收入变化而成反方向变化，即收入增加其需求量反而减少的商品。对于劣等品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动。而且，一般情况下，收入效应的作用小于替代效应的作用，从而总效应与价格成反方向的变动，使得其需求曲线向右下方倾斜。但是，在少数的场合，某些劣等品的收入效应的作用会大于替代效应的作用，于是，就会出现需求曲线向右上方倾斜的现象。这类物品就是吉芬商品。
吉芬商品是随着价格下降其需求量也下降，即需求量与价格同方向变化的商品。吉芬商品是一种特殊的劣等品。作为劣等品，吉芬品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动。其特殊性在于：它的收入效应的作用大于替代效应的作用，从而总效应与价格成同方向的变动，这使得吉芬商品的需求曲线向右上方倾斜。
7期望效用[华中农业大学2005博]
答：期望效用是指在不确定条件下，综合考虑各种结果所得效用的加权平均，其权数为各种结果发生的概率。在不确定情况下，由于消费者事先并不知道哪种结果事实上会发生，所以，他只是在事先做出最优的决策，以最大化他的期望效用。为了便于对不确定条件下的消费者行为进行分析，西方经济学家建立了期望效用的概念。
例如，对于一张彩票L＝（p；W1，W2）来说，彩票的期望效用函数为：
E[U（p；W1，W2）]＝pU（W1）＋（1－p）U（W2）
式中，p和1－p分别为W1和W2发生的概率。
期望效用函数也被称为冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数。由期望效用函数可知，消费者的期望效用就是消费者在不确定条件下可能得到的各种结果下的效用的加权平均数。
8风险厌恶、风险中性与风险爱好者[东北财经大学2004博]
答：（1）风险厌恶是指人们具有不愿承担风险的倾向。在面对具有相同预期收益的选择方案时，风险厌恶者喜欢结果比较确定的方案，而不喜欢结果不确定的方案。一般而言，风险厌恶者的效用函数满足：u′（w）＞0，u″（w）＜0（其中u代表效用函数，w代表财富水平）；风险厌恶者的效用函数曲线如图1-5（a）所示。
（2）风险中性是指人们不考虑结果是否确定，而只是根据预期收益的高低来进行选择，其追求的目标是预期收益最大化。一般而言，风险中性者的效用函数满足：u′（w）＞0，u″（w）＝0；风险中性者的效用函数曲线如图1-5（b）所示。
（3）风险爱好者是指面对具有相同预期收益的可选择方案时，总是喜欢结果不确定的方案，而不喜欢结果比较确定的方案的一类人。一般而言，风险爱好者的效用函数满足：u′（w）＞0，u″（w）＞0；风险爱好者的效用函数曲线如图1-5（c）所示。
图1-5（a） 风险厌恶者的效用函数
图1-5（b） 风险中性者的效用函数
图1-5（c） 风险爱好者的效用函数
9需求的变化与需求量的变化[东北财经大学2004博]
答：（1）需求的变化是指在某商品价格不变的条件下，由于其他因素变动所引起的该商品的需求数量的变动。这里的其他因素变动指消费者收入水平变动、相关商品的价格变动、消费者偏好的变化和消费者对商品的价格预期的变动等。需求的变化所引起的需求曲线的位置的移动，表示整体需求状态的变化。如图1-6所示，需求曲线从D1右移到D2为需求的变化。
图1-6 需求量的变化和需求的变化
（2）需求量的变化指在其他条件不变时，由某商品的价格变动所引起的该商品的需求数量的变动。在几何图形中，需求量的变化表现为商品的价格-需求数量组合点沿着同一条既定的需求曲线的运动。这种变动虽然表示需求数量的变化，但是并不表示整个需求状态的变化。因为，这些变动的点都在同一条需求曲线上。如图1-6所示，从需求曲线D1上的a到b的变动为需求量的变化。
10需求的收入弹性[东北财经大学2001博]
答：需求的收入弹性是指在某一特定时间内，某商品的需求量变动的百分比与消费者收入变动的百分比之比。它被用来测度某种商品需求量的相对变动对于消费者收入的相对变动反应的敏感性程度。
假定某商品的需求量Q是消费者收入水平M的函数，即Q＝f（M）。
需求的收入弧弹性的计算公式为：
需求的收入点弹性的计算公式为：
根据商品需求的收入弹性系数值，可以将所有的商品分为两类：EM＞0的商品为正常品，正常品的需求量随收入水平的增加而增加；EM＜0的商品为劣等品，劣等品的需求量随收入水平的增加而减少。在正常品中，0＜EM＜1的商品为必需品，EM＞1的商品为奢侈品。
11需求的交叉弹性[吉林大学2004博]
答：需求的交叉弹性是指在某一特定时间内，某种商品或劳务需求量变动的百分比与另一种相关商品或劳务的价格变动的百分比之比。它被用来测度某种商品或劳务需求量的相对变动对于另一种商品或劳务的价格的相对变动反应的敏感性程度。相关商品价格是决定商品需求量的一个重要因素，相关商品价格的变化会引起商品需求量的变化。
需求的交叉价格弧弹性计算公式为：
需求的交叉价格点弹性计算公式为：
需求的交叉价格弹性系数的符号取决于所考察的两种商品的相关关系。交叉弹性系数的性质如下：①当EXY＞0时，X与Y两种商品间有替代关系。例如，大米与面粉，米价的上升会引起面粉消费量的增加；②EXY＜0时，X与Y两种商品间有互补关系。例如，汽车与汽油，汽油价格的上升将引起汽车消费量的减少；③当EXY＝0时，X与Y两种商品间无关系。例如，鸡蛋与灯泡即是两种无关的商品，鸡蛋价格的变化对灯泡的消费量无影响。
1.1.2 简答题
1简述边际效用递减规律、边际替代率递减规律的区别与联系。[南开大学2012博]
答：（1）边际替代率递减和边际效用递减规律的概念
边际替代率递减是指毎增加对一种商品的消费，为保持效用不变，消费者所减少的其他商品的消费量是递减的。边际效用递减是指随着一种商品的消费越来越多，额外数量的消费所带来的效用增量也越来越小。
（2）边际替代率递减和边际效用递减规律的联系
①两者都是建立在讨论消费者效用的基础之上。
②边际替代率递减规律的存在是典型的无差异曲线凸向原点的根本原因。
③从数值的意义上，边际效用递减能够推导出边际替代率递减规律。
（3）边际替代率递减和边际效用递减规律的区别
①边际效用递减规律中改变的只是一种商品的消费数量，因而效用是改变的。边际替代率递减规律中改变的是两种商品，但保持了效用的不变；
②边际效用递减规律在效用函数正单调变换下可能会发生改变，即它是基数性质，而不是序数性质（边际效用函数会发生改变）。边际替代率递减规律具有正单调变换不变性，即具有序数性质（边际效用函数不变）。
2请说明消费者偏好的五个公理[（完备性（completeness）、传递性（transitivity）、连续性（continuity）、严格单调性（strict monotonicity）、严格凸性（strict convexity）]中，每一个公理对于建立消费者理论在经济学上（而非数学上）的必要性。[上海财经大学2003博]
答：完备性：指消费者在任何情况下都可以按照自己偏好程度的强弱，有顺序地排列出各种不同的商品数量组合。
传递性：指如果消费者对商品组合A的偏好超过对商品组合B的偏好，对商品组合B的偏好又超过对商品组合C的偏好，则该消费者对于商品组合A的偏好超过对商品组合C的偏好。
偏好的完备性和传递性公理共同构成了一个消费者的理性偏好。即如果一个消费者的偏好是理性的，则此偏好必须同时满足完备性和传递性公理。
连续性：假设有两组消费束序列
和
，它们满足
那么就一定有
连续性说明消费者的偏好具有某种“惯性”，因此对于数量上非常接近的商品，消费者对它们的偏好程度也非常接近，而不会出现对它们的偏好差异非常大的情况。
严格单调性：指对所有的商品，消费者总是希望越多越好，即消费者总是偏好数量多的商品组合甚于数量少的商品组合。严格单调性使得偏好程度的强弱可以通过商品消费量的多少来反映，从而将偏好与商品数量联系起来，便于对消费者行为进行数量分析。
严格凸性：如果商品束A和B对消费者是没有差异的，那么它们的凸组合一定可以带给消费者更高的满足程度。严格凸性意味着消费者总是偏好多样化的消费方案。
3政府向消费者一次性征收等量消费税与所得税对消费者行为的影响是否相同？请以两种商品为例，用数理方法或画图加以说明。[辽宁大学2012博]
答：政府向消费者一次性征收等量消费税与所得税对消费者行为的影响不相同。一般来说，在政府向消费者征收相同数量的税收的条件下，消费者在课征所得税时的境况好于他在课征从量税时的境况，从这个意义上说，所得税肯定优于从量税。
首先分析征收从量税。假定初始的预算约束为：p1x1＋p2x2＝m。按税率t对商品1的消费课税，商品1的价格上升了t。因此，新的预算约束就是：（p1＋t）x1＋p2x2＝m。假定消费者在新的预算约束下的最优选择为（x1*，x2*），则必满足：（p1＋t）x1*＋p2x2*＝m。
通过这种课税，政府收入增加的数量为R*＝tx1*。
如果政府征收相同数量的所得税，此时的预算约束为：p1x1＋p2x2＝m－R*＝m－tx1*。
如图1-7所示，此预算线的斜率与不征税时的预算线斜率相同，并且此预算线经过点（x1*，x2*）。在（x1*，x2*）点上，边际替代率为－（p1＋t）/p2，但在所得税下，商品1和商品2却可以按－p1/p2的比率进行交换。这样，预算线与无差异曲线就在（x1*，x2*）相交，这意味着预算线上可能有一些点比（x1*，x2*）更受消费者的偏好。
图1-7 所得税与从量税
4什么是显示偏好弱公理？并举一个例子说明对该公理的应用。[北京大学2000博]
答：显示偏好弱公理：如果（x1，x2）是（y1，y2）的直接显示偏好，且（x1，x2）与（y1，y2）不同，则（y1，y2）不可能是（x1，x2）的直接显示偏好。即：如果一个商品束（x1，x2）是按照价格（p1，p2）购买的，另一个商品束（y1，y2）是按照价格（q1，q2）购买的，那么，只要p1x1＋p2x2≥p1y1＋p2y2，就不可能有q1y1＋q2y2≥q1x1＋q2x2。
显示偏好弱公理可以用于判断消费者的选择行为是否是最优的。下面提供两个正好相反的例子。如图1-8所示，消费者的选择行为不是最优的，因为他违反了显示偏好弱公理。
图1-8 违反了显示偏好弱公理
图1-9所示的情形，就没有违反显示偏好弱公理。
图1-9 满足显示偏好弱公理
5假设消费者的效用函数为一次齐次函数（homogeneous of degree one）。请问在这种情况下需求收入弹性系数（income elasticity）是否总是等于1？为什么？[对外经济贸易大学2004博]
答：（1）需求收入弹性系数并不总是等于1。
（2）举反例：若U（x1，x2）＝x1＋x2，当t＞0时，U（tx1，tx2）＝tU（x1，x2），显然满足一次齐次性，但是，当P1＞P2时，x1＝0，收入的变化不会引起x1的消费的变化，在这种情况下，x1的需求收入弹性为0。
6利用图简要说明在拟线性偏好情况下的收入-消费曲线（即收入提供曲线）和恩格尔曲线的特征。[北京大学1999博]
答：如图1-10所示，在拟线性偏好情况下，所有的无差异曲线都是一条无差异曲线的“平移”变形。等价地说就是，这些偏好的效用函数采取u（x1，x2）＝v（x1）＋x2的形式。如果把预算线向外移动，在这种拟线性偏好的情况下，如果一条无差异曲线在消费束（x1*，x2*）同预算线相切，那么对于任意的常数k来说，另一条无差异曲线一定也会在（x1*，x2*＋k）同新的预算线相切，收入增加完全不会改变商品1的需求，所有新增的收入将全部用于商品2的消费上。若偏好是拟线性的，有时就说商品1有“零收入效应”。因此，恩格尔曲线如图1-10（b）所示，是一条垂线——当收入变动时，商品1的需求保持不变。
图1-10 具有拟线性偏好的收入提供曲线和恩格尔曲线
7在完全替代偏好的情况下，假定商品1和商品2的固定比例为2:1。画出相应的价格提供曲线（即价格-消费曲线）和商品1的需求曲线x1＝x1（p1），并予以简单说明。[北京大学2000博]
答：由于消费者的偏好是完全替代的，并且商品1和2的固定替代比例为2:1，所以消费者的效用函数可以写作U（x1，x2）＝x1＋2x2，从而消费者的效用最大化问题为：
从约束条件中解出x1，然后代入目标函数式中得到：
解得：
从而：
图1-11中的粗线是商品1的价格变化时的价格-消费曲线，图1-12是商品1的需求曲线（假设商品2的价格不变）。
图1-11 价格-消费曲线
图1-12 商品1的需求曲线
8区分马歇尔非补偿需求曲线（或普通需求曲线）与希克斯补偿需求曲线。[北京大学2001博；华中农业大学2004博]
答：（1）马歇尔需求曲线是描述在收入给定的条件下，消费者对商品的需求量和商品价格之间的关系的轨迹，它是通过如下效用最大化问题得到的：
它具有如下性质：
①如果消费者的效用函数是严格凸的，那么需求是价格和收入的单值函数；
②马歇尔需求函数关于商品的价格和收入是零次齐次的；
③对于正常品而言，其价格效应为负，即该商品价格的上涨会引起对它的需求的下降。
（2）希克斯补偿需求曲线是在保持消费者效用不变的条件下，消费者对商品的需求量和商品价格之间的关系的轨迹，它是通过如下支出最小化问题得到的：
它具有如下性质：
①如果消费者的效用函数是严格凸的，那么需求是价格和效用的单值函数；
②希克斯补偿需求函数关于商品的价格是零次齐次的；
③对希克斯补偿需求函数而言，需求法则恒成立，即某种商品价格的上涨会引起对它的需求的下降。
（3）马歇尔需求和希克斯需求满足关系xih（p，u）＝xi[p，e（p，u）]。马歇尔需求曲线和希克斯需求曲线如图1-13所示。一般地，对于正常物品而言，马歇尔需求曲线比希克斯需求曲线平坦，这是因为马歇尔需求既包括替代效应，又包括收入效应；而希克斯需求仅仅包括替代效应。
图1-13 正常商品的马歇尔需求曲线和希克斯需求曲线
9某个消费者将他的全部收入花费在商品1和商品2两种商品上，其中商品1是吉芬商品。证明：如果吉芬商品的价格上升，那么他对商品2的需求必定随着商品1的价格上升而下降。[辽宁大学2008博]
证明：假定消费者的预算收入为m。商品1的价格和需求量分别为p1、x1，商品2的价格和需求量分别为p2、x2。由此可得预算约束条件：p1x1＋p2x2＝m①
将式①变换形式得：x2＝（m－p1x1）/p2②
对式②关于p1求导得：∂x2/∂p1＝（－∂x1/∂p1）×（p1/p2）－（x1/p2）③
商品1是吉芬商品，所以其价格与需求呈正相关的关系，即∂x1/∂p1＞0，因此∂x2/∂p1＝（－∂x1/∂p1）×（p1/p2）－（x1/p2）＜0。由此可得，x2是关于p1的减函数。也就是说，当吉芬商品价格p1上升，商品2的需求x2必然会下降。
10什么是马歇尔需求和希克斯需求？并请用斯勒茨基矩阵解释说明两者的联系。[上海财经大学2005博]
答：（1）有关马歇尔需求和希克斯需求参见第8题。
（2）假设马歇尔需求函数为：x（p，m），希克斯需求函数为：h（p，u），则斯勒茨基矩阵为：Dpx（p，m）＝Dph（p，u）－Dmx（p，m）。商品价格变化的总效应分为替代效应和收入效应。Dph（p，u）是替代效应，它表明希克斯需求如何变化，因为希克斯需求表示保持效用水平不变。－Dmx（p，m）是收入效应，表示购买力变化对需求的影响。价格变化对马歇尔需求的影响是总效应，是替代效应和收入效应之和。
11假设消费者只消费两种商品，即使收入增加，他也总是花光全部货币，在这种情况下，这两种商品都是低档商品吗？为什么？[辽宁大学2002博；东北财经大学2006博]
答：这两种商品不可能都是低档商品。分析如下：
低档商品是指随着消费者收入的增加，其需求量减少的商品。如果假设xi（p，m）是第i种商品的马歇尔需求函数，那么商品i是低档商品就意味着∂xi（p，m）/∂m＜0。对于消费两种商品的消费者，如下的预算约束恒成立：
p1x1（p1，p2，m）＋p2x2（p1，p2，m）＝m①
①式两边关于收入m求导，得到：
p1[∂x1（p1，p2，m）/∂m]＋p2[∂x2（p1，p2，m）/∂m]＝1②
对于消费两种商品的消费者，等式②恒成立。
下面来证明本题的结论，假设商品1和2都是低档商品，那么就有∂xi（p，m）/∂m＜0，i＝1或2，从而②式左边恒小于零，等式②不成立，矛盾！所以如果一个消费者只消费两种商品，那么它们不可能都是低档商品。
12何为需求价格弹性？说明需求价格弹性与总收入之间的关系？[西北大学2010博]
答：（1）需求价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量变动对于该商品的价格变动的反应程度。或者说，表示在一定时期内当一种商品的价格变化百分之一时所引起的该商品的需求量变化的百分比。其公式为：
当ΔP→0时，其公式为：
（2）需求价格弹性与总收入之间的关系可以用数理方法予以证明。证明如下：
由于TR＝PQ，所以
当ed＞1时，有dTR/dP＜0，从而总收益TR与商品的价格P反方向变动。
当ed＜1时，有dTR/dP＞0，从而总收益TR与商品的价格P同方向变动。
当ed＝1时，有dTR/dP＝0，从而总收益TR与商品的价格P的变动无关。
商品需求价格弹性和厂商的销售收入之间的综合关系如表1-1所示。
表1-1 需求价格弹性和销售收入
13社会保险金是很多退休人员的唯一的收入来源，保险金的数额往往根据物价指数而调整，这被称为指数化。一种指数化的方法是，选择某个年份作为基年，确定退休年龄公民的平均消费束，在随后的每年里面，社会保险系统调整付款，使得达到退休年龄的公民在新的价格水平上的保险金的收入恰好能够购买基年的消费束。画图说明不论价格下跌还是上升，只要各种商品的相对价格发生改变，这种指数化计划使得退休人员的效用水平比基年要高。[西南财经大学2007博]
答：指数化计划对退休人员的效用水平的影响可以利用预算线-无差异曲线分析工具来加以分析。如图1-14所示，不失一般性，同时也为了简化分析，假设消费者仅消费商品X和商品Y。假设退休人员的初始预算线为AB，初始的无差异曲线为U1，消费者的均衡点为F点。
（1）如图1-14（a）所示，当商品X的价格下跌时，消费者的预算线将变为AC，但是指数化计划将使退休人员在新的价格下恰好能买得起原来的消费组合，即指数化计划将使得退休人员最终面临的预算线为经过F点且平行于AC的直线DE。根据显示偏好原理，消费者不会选择DE上的EF段，因为它在原来的预算线AB下就是能够选择的。此时退休人员将在FD上选择一点G，预算线DE在G点与代表更高效用水平的无差异曲线U2相切。因而此时退休人员的效用水平将提高。
（2）如图1-14（b）所示，当商品X的价格上涨时，消费者的预算线将变为AC，但是指数化计划将使退休人员在新的价格下恰好能买得起原来的消费组合，即指数化计划将使得退休人员最终面临的预算线为经过F点且平行于AC的直线DE。根据显示偏好原理，消费者不会选择DE上的DF段，因为它在原来的预算线AB下就是能够选择的。此时退休人员将在EF上选择一点G，预算线DE在G点与代表更高效用水平的无差异曲线U2相切。因而此时退休人员的效用水平将提高。
综上所述，不论价格下跌还是上升，只要各种商品的相对价格发生改变，这种指数化计划使得退休人员的效用水平比基年要高。
图1-14 指数化对退休人员效用的影响
14为了应对当前的经济危机，各国政府纷纷采取不同的政策鼓励个人消费。一种政策是增加消费者的收入，另一种政策是直接向消费者发放等值的购物券。这两种政策哪种更为有效，为什么？[南开大学2009博]
答：（1）从刺激个人消费的角度讲，发放等值的购物券比增加消费者的收入更有效。
（2）这是因为：增加的消费券由于不具备除消费以外的其他功能，尤其是不具有价值储藏功能，因此相当于增加了消费函数中的强制消费部分，该部分会引致消费的等额增加。
而如果直接增加收入，则收入的一部分可能转化为储蓄，其余部分才用于消费，并且消费遵循边际消费递减规律，直接增加的收入可能会更多的转化为储蓄而不是消费，相当于增加了消费函数中与收入有关的自主消费部分。
1.1.3 计算与分析题
1考虑这样一个投资者，他必须决定自己应将初始财富w多少投入一种风险资产中。这种风险资产可能以概率pi（i＝1，…，n）产生或正或负的报酬率ri。问：
（1）写出该投资者的期望效用函数；
（2）分析该投资者在风险资产上最优配置情况；
（3）如果风险资产预期收益为正，如果该投资者初始财富水平增长，则他在风险资产上的配置会发生什么变化，试证明。[南京大学2007博]
解：（1）假设投资者的效用函数为u（x），投资者将x比例的财富投入风险资产，则投资者的期望效用函数为：
（2）投资者期望效用最大化的一阶条件为：
即：
或
由上式可以决定投资者的最优资产配置。上式表明，投资者的最优配置将使得其风险资产投资回报所带来的期望边际效用值为零。
（3）投资者在风险资产上的投资不会受到初始财富的影响。分析如下：
由（2）可得：
从而有：
由于效用函数的具体形式（投资者的风险偏好）未知，所以无法判断∂x/∂w的符号，因而如果投资者的初始财富增加，其在风险资产上的投资难以确定，风险资产上的投资水平并不像人们通常认为的那样受到其财富水平的影响，即并不是越有钱的人越敢于赌博。
2一位学生正在准备三门课的期末考试，他所拥有的总的复习时间为T。假设ti（i＝1，2，3）为这位学生用于复习第i门课的时间，那么，第i门课的考试成绩可表示为Gi（ti），Gi′（ti）＞0，Gi″（ti）＜0。这位学生最终所追求的是平均成绩最高。
（1）请把这位学生如何分配他的复习时间问题表述为一个带限制条件的优化问题。推导出这个优化问题的一阶条件（first order conditions）并给予经济意义上的解释。
（2）在什么情况下这位学生将不分配任何时间去复习某门课？
（3）请用比较静态分析方法讨论总的复习时间T的改变对这位学生用于复习某门课的时间的影响。[对外经济贸易大学2004博]
解：（1）该学生的时间分配问题为：
这个问题的拉格朗日函数为：L＝G1（t1）＋G2（t2）＋G3（t3）－λ（t1＋t2＋t3－T）。
相应的一阶条件为：G1′（t1）＝G2′（t2）＝G3′（t3）＝λ。
其经济含义是说，最合理的时间分配方案应当满足无论在哪门功课上额外增加一个单位的时间投入所带来的成绩的增加是相同的。
（2）如果存在某一门功课i满足
那么该学生就不会分配任何时间去复习这门功课。
（3）如果总的复习时间增加到T1，那么对任意的一门功课i，只要
不成立，那么该学生就一定会增加在这一门功课上的时间分配。如果总的复习时间减少到T2，那么对任意的一门功课i，只要
不成立，那么该学生就一定会减少在这一门功课上的时间分配。
3一位本科生即将参加三门课程的期末考试，他能用于复习的时间只有6小时，设每门课程占用的复习时间和相应会有的成绩如下表所示。为使三门课程总分最高，应如何分配时间，并说明您的依据。[天津大学2002博]
解：先把时间占用分为1、2、3、4、5、6小时，数学、政治、英语相应的边际成绩分别计算出来，如表1-2所示。
表1-2
根据表1-2所示，数学用3小时，相应的边际成绩是10分，政治用2小时，相应的边际成绩是10分，英语用1小时，相应的边际成绩也是10分。而且所用总时间＝3＋2＋1＝6，由消费者均衡条件可知，他把6小时作如上的分配时，总分最高。
注意，如果数学用4小时，政治用3小时，英语用2小时，相应的边际成绩虽也相等，都是8分，但所用总时间＝4＋3＋2＝9小时，超过6小时。因此，此方案不可取。
4设一个消费者对两种商品X和Y的效用函数是柯布-道格拉斯形式（Cobb-Douglas form of the utility function）：U（X，Y）＝XaYb，a＋b＝1。请对任意大于0的价格（pX，pY）与收入I，求出效用最大时的X与Y，并证明X的需求弹性eX＝－1，X的收入弹性eXI＝1，X的替代弹性
。[上海财经大学2003博]
解：消费者的效用最大化问题为：
这个问题的拉格朗日函数为：L＝XaYb－λ（pXX＋pYY－I）。
相应的一阶条件为：
解得：X＝aI/pX，Y＝bI/pY。
X的需求价格弹性：
X的收入弹性：
X的替代弹性：
5对于需求函数Q1＝bp1αIβp2γ，试证明：
（1）α是对商品1的需求价格弹性；
（2）β是需求收入弹性；
（3）γ是需求的交叉价格弹性。[上海理工大学2003博]
证明：由需求函数得：
（1）对商品1的需求价格弹性为：
（2）对商品1的需求收入弹性为：
（3）需求的交叉价格弹性为：
6假定消费者对商品1、商品2以及商品3的间接效用函数（indirect utility function）为
其中，Y为收入，P1、P2和P3分别为商品1、商品2以及商品3的价格。
（1）请导出商品2的普通需求函数（ordinary demand functions）。
（2）请导出商品2的补偿需求函数（compensated demand functions）。
（3）假设商品2的价格上升10%。请问该消费者用于商品2上的支出有何变化？
（4）假设商品2的价格上升10%。请问该消费者的收入必需增加多少才能够弥补价格上升的影响？[对外经济贸易大学2008博]
解：（1）此消费者的最优化问题为：
构造拉格朗日辅助函数：
效用最大化的一阶条件为：
解得：
此即为商品2的普通需求函数。
（2）补偿需求函数又称为希克斯需求函数，它是商品的价格Pi和效用水平U的函数，一般用h（Pi，U）来表示。
此消费者的最优化问题为：
构造拉格朗日辅助函数：
支出最小化的一阶条件为：
解得：
此即为商品2的补偿需求函数。
（3）由（1）知，
是一个常数，因此商品2价格的变化不会影响消费者用于商品2上的支出。
（4）设商品2价格上升10%以后，消费者收入至少增加为Y′，才能弥补价格上升的影响。即：
解得：
整理得：
此即为收入增加的百分比。
7已知某消费者对某商品的需求函数为Q（P，M）＝4－2P＋0.01M，其中P为该商品的价格，M为收入水平，如果P＝1，M＝100，那么对该商品的需求价格弹性和收入弹性各为多少？[辽宁大学2002博]
解：已知P＝1，M＝100，由Q（P，M）＝4－2P＋0.01M得：Q＝3。
商品的需求价格弹性为：eP＝－（∂Q/∂P）×（P/Q）＝－[－2×（1/3）]＝2/3；
商品的收入弹性为：eM＝（∂Q/∂M）×（M/Q）＝0.01×（100/3）＝1/3。
81997年美国的糖产量是15.6（10亿磅），而糖的消费量是21.1（10亿磅）。美国的糖价是每磅21.9美分，而世界市场上的糖价是每磅11.1美分。
（1）如果美国糖的供给的价格弹性在上述价格与产量时是1.5，试求美国糖的供给函数（假定为线性函数）。
（2）如果美国糖的需求的价格弹性在上述价格与销量时是－0.3，试求美国糖的需求函数（假定为线性函数）。
（3）由于美国的糖价与世界糖价的不接轨而导致的消费者剩余的损失是多少？
（4）由于美国的糖价与世界糖价的不接轨而导致的生产者剩余的增加是多少？[浙江工商大学2004博]
解：（1）假设糖的供给曲线为q＝ap＋b，那么根据题意可知：
15.6＝21.9a＋b
εS＝（dq/dp）×（p/q）＝21.9a/15.6＝1.5
联立两式解得：a＝1.07，b＝－7.8，即q＝1.07p－7.8。
（2）假设糖的需求曲线为q＝c－dp，那么根据题意可知：
21.1＝c－21.9d
εD＝（dq/dp）×（p/q）＝－21.9d/21.1＝－0.3
联立两式解得：c＝27.429，d＝0.289，即q＝27.429－0.289p。
（3）美国糖的需求函数为q＝27.429－0.289p。将q＝0代入需求函数可得需求曲线与纵轴交于p≈94.91，故美国糖价与世界糖价不接轨（即美国糖价高于世界糖价）时的消费者剩余为（94.91－21.9）×21.1/2≈770.26。
如果美国糖价与世界糖价接轨（即美国糖价等于世界糖价），将p＝11.1代入需求函数可得此时的需求量q≈24.22，消费者剩余为（94.91－11.1）×24.22/2≈1014.94。
则美国糖价与世界糖价不接轨导致的消费者剩余的损失是1014.94－770.26＝244.68。
（4）美国糖的供给函数为q＝1.07p－7.8。将q＝0代入供给函数可得供给曲线与纵轴交于p≈7.29，故美国糖价与世界糖价不接轨（即美国糖价高于世界糖价）时的生产者剩余为（21.9－7.29）×15.6/2＝113.958。
如果美国糖价与世界糖价接轨（即美国糖价等于世界糖价），将p＝11.1代入供给函数可得此时的供给量q＝4.077，生产者剩余为（11.1－7.29）×4.077/2≈7.77。
则美国糖价与世界糖价不接轨导致的生产者剩余的增加是113.958－7.77＝106.188。
9一个个体对当前消费（C0）和未来消费（C1）的偏好可以用一个严格的拟凹（quasi-concave）的效用函数U（C0，C1）＝ln（C0C1）来表示，其中C0和C1代表消费的货币总量。这个个体当前和未来的收入为Y0和Y1，且可以按利率r自由借贷来满足对当前消费和未来消费的需求，但在未来时期结束时，不得有任何的储蓄或负债。
（1）请把这个个体的选择问题表述为一个带限制条件的优化问题。
（2）推导出这个优化问题的一阶条件（first order conditions），并给予经济意义上的解释。
（3）这个个体当前消费的需求函数的解释变量是什么？
（4）这个个体的间接效用函数是什么？
（5）请用图分析利率（r）的下降对这个个体当前消费的影响（替代效应和收入效应），假定当前消费和未来消费均为正常消费品（normal goods）。[对外经济贸易大学2003、2005博]
解：（1）此消费者的最优化问题为：
（2）由（1）可得最优化问题的拉格朗日函数为：
最优化的一阶条件为：
∂L/∂C0＝1/C0＋λ＝0
∂L/∂C1＝1/C1＋λ/（1＋r）＝0
∂L/∂λ＝[C0＋C1/（1＋r）]－[Y0＋Y1/（1＋r）]＝0
从而可得：C1/（1＋r）＝C0，其经济学含义为：两时期经过贴现后的货币总量相等。
（3）由（2）可得：
C0＝[Y0＋Y1/（1＋r）]/2①
C1＝[Y0（1＋r）＋Y1]/2②
由于消费者两期的收入Y0和Y1固定，所以此消费者的需求函数的解释变量是利率r。
（4）将①②两式代入效用函数，可得间接效用函数为：
（5）当前利率r下降对当前消费的影响要视消费者原来是贷出者还是借入者而定。
如果消费者原来是贷出者，则在利率下降后消费者有可能变成借入者。如图1-15所示，此时跨时期预算约束线由AB变为CD，最优消费选择由a点变为c点。C′D′为补偿线，e为禀赋点。利率下降后，当前消费的替代效应为：C0′－C0，收入效应为：C0″－C0′。
图1-15 消费者原为贷出者，利率下降后的替代效应和收入效应
如果消费者原来是借入者，则在利率下降后消费者有可能借得更多。如图1-16所示，此时跨时期预算约束线由AB变为CD，最优消费选择由a点变为c点。C′D′为补偿线，e为禀赋点。利率下降后，当前消费的替代效应为：C1－C0，收入效应为：C2－C1。
图1-16 消费者原为借入者，利率下降后的替代效应和收入效应
10已知某君消费两种商品X、Y的效用函数为TU＝X1/3Y1/3，商品价格分别为pX和pY，收入为M，试求：该君对X、Y的需求函数。[上海理工大学2003博]
解：消费者的效用最大化问题是：
拉格朗日函数为：L＝X1/3Y1/3－λ（pXX＋pYY－M）。
相应的一阶条件为：
解得：X＝0.5M/pX，Y＝0.5M/pY。
11消费者月收入1000元，购买X、Y商品，其中pX＝5元，pY＝4元，总效用函数为TU＝2XY，求：
（1）获得效用最大化时X、Y各购买多少？
（2）效用最大化时其总效用、单位货币的边际效用是多少？
（3）如果pX提高10%，pY不变，在总效用不变的条件下，收入应增加多少？[上海理工大学2004、2005博]
解：（1）令m表示消费者的总收入，由于消费者的效用函数是柯布-道格拉斯型的，所以消费者的需求函数为：X＝0.5m/pX，Y＝0.5m/pY。
把m＝1000和pX＝5，pY＝4代入上式中得到：X＝0.5m/pX＝100，Y＝0.5m/pY＝125。
（2）消费者实现效用最大化的必要条件是：MUX/PX＝MUY/PY，这意味着消费者关于每一种商品的单位货币的边际效用相等，都等于MUX/PX＝2Y/PX＝50，相应地总效用为：TU＝2XY＝2×100×125＝25000。
（3）消费者的间接效用函数为：v（pX，pY，m）＝0.5m2/（pXpY），由此可知，当pX提高10%，pY不变和总效用不变的条件下，收入应增加到原来的
倍，即增加：
12某位消费者将全部收入用于X、Y这两种商品的消费，他的效用函数为U＝XY。设该消费者的收入为M，两种商品的价格分别为PX和PY。
（1）求消费者关于这两种商品的普通需求函数。
（2）证明消费者将一半的收入用于商品X的消费，一半收入用于商品Y的消费；
（3）假设M等于160元，PX为每单位5元，消费者将消费多少单位商品X？如果PX下降到了每单位4元，他现在将消费多少单位商品X？对商品X消费的变化，有多少是替代效应，有多少是收入效应？
（4）X的价格下降的替代效应使他购买更多Y还是更少Y？收入效应呢？[辽宁大学2009博]
解：（1）消费者面临的问题可表示为：
构造拉格朗日辅助函数为：L＝XY－λ（PXX＋PYY－M）。
消费者效用最大化的一阶条件为：
∂L/∂X＝Y－λPX＝0
∂L/∂Y＝X－λPY＝0
∂L/∂λ＝M－PXX－PYY＝0
联立解得：X＝M/（2PX），Y＝M/（2PY）。
（2）由（1）可知，PXX＝M/2，PYY＝M/2，因此消费者将一半的收入用于商品X的消费，一半的收入用于商品Y的消费。
（3）将M＝160、PX＝5代入X的普通需求函数，可得X＝16。当PX下降到了每单位4元，将M＝160、PX＝4代入X的普通需求函数，可得X＝20。因此，总效应为4。
在新的价格下，购买原先的消费束所需要支付的费用为160－（5－4）×16＝144。替代效应为ΔXS＝X（4，144）－X（5，160）＝18－16＝2，因此收入效应为4－2＝2。
（4）随着X商品价格的下降，按照替代效应，消费者会减少对Y商品的消费；按照收入效应，消费者会增加对Y商品的消费。但是，由（1）可知，Y＝M/（2PY），消费者对Y的总消费量与商品X的价格无关，只与总收入M和商品Y的价格有关。因此，商品X的价格下降，消费者既不会增加也不会减少对Y的购买。
13假设某人拥有100万元的财富，其中包括一辆36万元的汽车；由于他所在的地区较乱，这辆车被盗的概率为10%。他的效用函数为U（w）＝w1/2。
（1）他的期望效用是多少？
（2）如果他向保险公司支付一定数额的保险费，那么在车被盗之后，他会获得与车价相等的赔偿。他最多愿意为这种保险支付多少保险费？
（3）对于这一保险而言，“公平”的保险费是多少？如果保险公司索取“公平”的保险费，而这个人购买了这种保险，他的财富的确定性等价是多少？[辽宁大学2009博]
解：（1）期望效用为：EU＝10%×U（100－36）＋90%×U（100）＝9.8。
（2）设该户居民愿意支付的最高保险费为R，则有：（100－R）1/2＝EU＝9.8，解得：R＝3.96。
（3）公平的保费率等于投保人财产遭受损失的概率，即10%，从而公平的保险费为10%×36＝3.6（万元）。一旦该人购买了这种保险，他的财富的确定性等价为100－3.6＝96.4（万元）。
14消费者的效用函数为u＝2x11/2＋4x21/2，
（1）求马歇尔需求函数；
（2）求希克斯需求函数；
（3）求支出函数；
（4）求间接效用函数。[复旦大学2005博]
解：（1）消费者的效用最大化问题为：
构造拉格朗日函数为：L＝2x11/2＋4x21/2－λ（p1x1＋p2x2－m）。
一阶条件为：
解得马歇尔需求函数为：
（2）消费者的支出最小化问题为：
构造拉格朗日函数为：L＝p1x1＋p2x2－λ（2x11/2＋4x21/2－u）。
一阶条件为：
解得希克斯需求函数为：
（3）支出函数为：
（4）间接效用函数为：
15假定某消费者相对于消费品q1和q2的效用函数为：u（q1，q2）＝q1q23。而这两种产品的价格分别为p1和p2，收入为y，请求出下列方程函数，并讨论。
（1）消费者对消费品q1和q2的直接需求函数。
（2）消费者的间接效用函数。
（3）消费者的支出函数。[中科院农业政策研究中心2001博]
解：（1）由于消费者的效用函数是柯布-道格拉斯型效用函数，所以可以直接写出消费者的直接需求函数：q1＝0.25y/p1，q2＝0.75y/p2。
（2）消费者的间接效用函数为：v（p1，p2，m）＝0.25×0.753y4/（p1p23）。
（3）由间接效用函数可以直接得出消费者的支出函数为：e（p1，p2，u）＝4×3－3/4u1/4p11/4p23/4。
16假定消费者对商品1和商品2的补偿需求函数（compensated demand functions）分别为h1（p，u）＝p2/p1，h2（p，u）＝u－ln（p2/p1）。请导出商品1和商品2的普通需求函数（ordinary demand functions）。[对外经济贸易大学2004博]
解：由商品1和商品2的补偿需求函数可得，该消费者的支出函数为：
e（p，u）＝p1h1（p，u）＋p2h2（p，u）＝p2＋p2u－p2ln（p2/p1）＝m
利用对偶性原理，可得消费者的间接效用函数为：v＝m/p2－1＋ln（p2/p1）。
根据Roy恒等式可得：
x1＝－[（∂v/∂p1）/（∂v/∂m）]＝p2/p1
x2＝－[（∂v/∂p2）/（∂v/∂m）]＝m/p2－1
17假定消费者对商品1和商品2的补偿需求函数（compensated demand functions）分别为：h1（P，u）＝u－aln（aP1/P2）和h2（P，u）＝aP1/P2。
（1）请导出商品1和商品2的普通需求函数（ordinary demand functions）。
（2）请问消费者的偏好是位似（homothetic）的吗？为什么？[对外经济贸易大学2005博]
解：（1）由商品1和2的补偿需求函数可得此消费者的支出函数为：
e（P，u）＝P1h1＋P2h2＝uP1＋aP1－aP1ln（aP1/P2）＝m
利用对偶性原理可得，消费者的间接效用函数为：v＝m/P1－a＋aln（aP1/P2）＝m。
根据Roy恒等式，可得：
x1＝－[（∂v/∂P1）/（∂v/∂m）]＝m/P1－a
x2＝－[（∂v/∂P2）/（∂v/∂m）]＝aP1/P2
（2）效用函数是位似的，当且仅当它是齐次函数的正单调变换。
由（1）可知u（x1，x2）＝v（P1，P2，m）＝x1＋alnx2，则t＞0时，u（tx1，tx2）＝tx1＋aln（tx2）＝tx1＋alnt＋alnx2≠tλu（x1，x2），则该效用函数不是齐次的，消费者的偏好不是位似的。
18假定消费者对商品1和商品2的间接效用函数（indirect utility function）为V（P，I）＝I2/（4P1P2）。
（1）请导出商品1和商品2的普通需求函数（ordinary demand functions）。
（2）请导出商品1和2的补偿需求函数（compensated demand functions）。[对外经济贸易大学2006博]
解：（1）对于间接效用函数V（P，I）＝I2/（4P1P2）有：
∂V（P，I）/∂P1＝－I2/（4P12P2）
∂V（P，I）/∂P2＝－I2/（4P1P22）
∂V（P，I）/∂I＝I/（2P1P2）
运用Roy恒等式可以求得两种商品的普通需求函数分别为：
（2）由u＝V（P，I）＝I2/（4P1P2）可得支出函数为：e（P1，P2，u）＝2（P1P2u）1/2。
根据支出函数的性质可得消费者的补偿需求函数分别为：
19一个消费者拥有一个效用函数u（x1，x2）＝－1/x1－1/x2。
（1）计算出普通的需求函数；
（2）计算出间接效用函数；
（3）计算支出函数；
（4）计算补偿需求函数（即希克斯需求函数）。[南京大学2007博]
解：（1）假设商品x1和x2的价格分别为p1和p2，消费者拥有的收入为m。消费者的效用最大化问题为：
最优化问题的拉格朗日函数为：L＝（－1/x1－1/x2）－λ（p1x1＋p2x2－m）。
一阶条件为：
∂L/∂x1＝（1/x1）2－λp1＝0
∂L/∂x2＝（1/x2）2－λp2＝0
∂L/∂λ＝－（p1x1＋p2x2－m）＝0
从而可以解得普通需求函数为：
x1＝m/（p1＋p11/2p21/2）
x2＝m/（p2＋p11/2p21/2）
（2）间接效用函数为：
（3）利用对偶性原理可得支出函数为：e（p，u）＝－（p11/2＋p21/2）2/u。
（4）补偿需求函数为：
20对于制造品和农产品两大类产品，已知消费者效用函数为u＝MαA1－α，其中M是代表制造品消费量的综合指数，A是农产品的消费量，α是常数，表示制成品的支出份额。
0≤ρ≤1，m（i）是M大类产品的一个种类，ρ表示消费者对制造品多样性的偏好程度，给定收入Y和一组价格，pA是农产品价格，以p（i）是每种制造品价格，求第j种制造品的补偿需求函数。[南京大学2007博]
解：消费者的支出最小化问题为：
因为商品种类是离散形式的，所以有：
因而上述支出最小化问题的拉格朗日函数为：
一阶条件为：
因而可以解得补偿需求函数为：
21假设消费者的偏好由柯布-道格拉斯效用函数表示：u（x1，x2）＝Ax1αx2β。其中，0＜α，β＜1并且A＞0。消费者的收入为I，两种商品的价格分别为P1、P2。分别求出马歇尔需求函数和希克斯需求函数，并画图加以解释。[中国人民大学2007博]
解：消费者的效用最大化问题为：
求解上述规划问题，可以解得马歇尔需求函数为：
消费者的支出最小化问题为：
求解上述规划问题，可以解得希克斯需求函数为：
商品x1的马歇尔需求函数和希克斯需求函数如图1-17所示。马歇尔需求函数之所以比希克斯需求函数平坦，是因为马歇尔需求函数既考虑了价格变化的替代效应，又考虑了价格变化的收入效应，而希克斯需求函数仅仅考虑了价格变化的替代效应。
图1-17 马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线
22若消费者偏好满足完备性、传递性、连续性、严格单调性、严格凸性五个公理，预算集为B＝{x|x∈R＋n，px≤y}（x、p为商品和价格向量，y为给定收入）。试证明这一消费者问题若有解x*，则
（1）x*是唯一的；
（2）相应于x*，消费者收入将用尽，即有y＝px*。[上海财经大学2004博；厦门大学2008博]
证明：（1）（反证法）假设x*不唯一，那么存在x**，使得x*～x**，并且对任意的x∈B，都有
考虑x*和x**的凸组合tx*＋（1－t）x**，那么：
p×[tx*＋（1－t）x**]＝tpx*＋（1－t）px**≤tm＋（1－t）m＝m
即tx*＋（1－t）x**∈B。又因为消费者的偏好是严格凸的，所以：tx*＋（1－t）x**≻x*。
这就和x*是消费者的最优选择相矛盾。因此x*是唯一的。
（2）（反证法）如果y＝px*不成立，那么就有y＞px*。考虑消费束
这里
是所有分量都为1的向量，那么只要ε（ε＞0）足够小，就有
由于消费者的偏好是严格单调的，所以必有：
这就和x*是消费者的最优选择相矛盾。因此y＝px*一定成立。
23消费者的效用函数为：
其中，γ∈（0，1），θ＞0，C1，C2分别为商品1和商品2的消费量；商品1的价格标准化为1，商品2相对于商品1的价格为p。
（1）计算商品1与商品2之间的替代弹性。
（2）假设预算为1，计算商品1和商品2的最优消费量。
（3）定义消费指数：
请证明C的价格指数为：P＝[γ＋（1－γ）p1－θ]1/（1－θ）。[南京大学2009博]
解：（1）先计算商品1和商品2之间的边际替代率：
则商品1和商品2之间的替代弹性为：
即商品1和商品2之间的替代弹性为常数θ。
（2）由题意知消费者面临的预算约束为C1＋pC2＝1，则C1＝1－pC2。
代入效用函数得：
对C2求一阶导数，为：
解得：
此即为商品2的最优消费量。
进而有商品1的最优消费量为：
（3）当预算为1时，PC＝1，即价格指数P是消费指数C的倒数。
将（2）中所得C1和C2代入，得：
24假设一个消费者有一个两期的效用函数U（x1，x2）＝αlnx1＋（1－α）lnx2，其中x1是第1期的消费数量。该消费者拥有的资源禀赋是A，包括两个部分，第一期消费其中的一部分，其余部分留在第二期消费，但是在第二期他将其余部分当作资产进行投资，投资的收益率是r。问：
（1）计算最优的消费配置（x1，x2）；
（2）指出参数α的含义；
（3）解释随着A、r和α的变化，最优消费配置将发生什么样的变化。[南京大学2009博]
解：（1）消费者的跨期最优选择为：
设拉格朗日函数为：L＝αlnx1＋（1－α）lnx2－λ[x1＋x2/（1＋r）－A]。
跨期效用最大化的一阶条件为：
∂L/∂x1＝α/x1－λ＝0
∂L/∂x2＝（1－α）/x2－λ/（1＋r）＝0
∂L/∂λ＝A－x1－x2/（1＋r）＝0
因而可以解得最优的跨期消费配置为：x1*＝αA，x2*＝（1－α）（1＋r）A。
（2）由（1）可知，α＝x1*/A，因而α的经济含义是该消费者用于第一期消费的资源占总资源禀赋的比例。
（3）因为∂x1*/∂α＝A＞0，∂x2*/∂α＝－（1＋r）A＜0，所以α的提高将导致第一期消费的提高，第二期消费下降；反之亦然。
因为∂x1*/∂A＝α＞0，∂x2*/∂A＝（1－α）（1＋r）＞0，所以A的提高将导致第一期和第二期最优消费的提高；反之亦然。
因为∂x1*/∂r＝0，∂x2*/∂r＝（1－α）A＞0，所以r的提高对第一期的最优消费没有影响，但会导致第二期最优消费的提高；反之亦然。
25根据人们的实际观察，消费者对两种商品的需求分别为x1＝1/（p1＋p2），x2＝1/（p1＋p2）。假定存在两组不同的价格（p1，p2）和（q1，q2）：
（1）请分别写出在价格（p1，p2）条件下的需求是价格（q1，q2）条件下的需求的直接显示偏好的数学表达式，以及在价格（q1，q2）条件下的需求是价格（p1，p2）条件下的需求的直接显示偏好的数学表达式；
（2）如果上述两个表达式同时成立，所观察到的需求函数是否满足显示偏好弱公理？消费者在上述两种不同价格条件下的需求量是否会不同？[南开大学2009博]
解：（1）消费者在价格为（p1，p2）时购买的商品束为[1/（p1＋p2），1/（p1＋p2）]，如果在价格为（q1，q2）时购买的商品束为[1/（q1＋q2），1/（q1＋q2）]，如果在价格为（p1，p2）时，[1/（p1＋p2），1/（p1＋p2）]是[1/（q1＋q2），1/（q1＋q2）]的直接显示偏好，则满足关系式：
p1×1/（p1＋p2）＋p2×1/（p1＋p2）≥p1×1/（q1＋q2）＋p2×1/（q1＋q2）
在这种情况下，若消费者总是在他能够购买的商品束中选择他最偏好的商品束，则一定有他对[1/（p1＋p2），1/（p1＋p2）]的偏好大于[1/（q1＋q2），1/（q1＋q2）]，即[1/（p1＋p2），1/（p1＋p2）]是[1/（q1＋q2），1/（q1＋q2）]的直接显示偏好。
同理：若价格为（q1，q2）时购买的商品束[1/（q1＋q2），1/（q1＋q2）]为[1/（p1＋p2），1/（p1＋p2）]的直接显示偏好，则满足关系式：
q1×1/（q1＋q2）＋q2×1/（q1＋q2）≥q1×1/（p1＋p2）＋q2×1/（p1＋p2）
（2）显示偏好弱公理是指如果（x1，x2）直接显示偏好于（y1，y2），且（x1，x2）和（y1，y2）是两个不同的商品束，则（y1，y2）就不可能直接显示偏好于（x1，x2），如果上述两个表达式同时成立，则可以证明（x1，x2）和（y1，y2）实际上是相同的商品束，所观察到的需求函数满足显示偏好弱公理。消费者在上述两种不同价格下的需求量不会有所不同，否则必然违背显示偏好弱公理。
26某人财产期望效用函数Eu（w），期望财产为w，方差v，且方差较小，问他愿意交多少保费（泰勒展开式），经济含义是什么？[北京大学2007博]
解：假设在风险状态中的财产为随机变量z，相应的均值和方差为w和v，再假设消费者为了避免风险最多愿意支付a元保费。从而有如下的恒等式：
u（w－a）＝Eu（z）①
对u（z）作近似的泰勒展开得到（注意，这只是一个小风险，所以二阶泰勒展开足以逼近原函数）：u（z）≈u（w）＋u′（w）（z－w）＋u″（w）（z－w）2/2，从而Eu（z）≈u（w）＋u″（w）v/2，把此式代入①式中得到：
u（w－a）≈u（w）＋u″（w）v/2②
又因为u（w－a）－u（w）≈－u′（w）a，结合②式可知：
其经济含义是，其愿意缴纳的保费取决于风险规避的程度。
27某消费者的效用函数为u（c0，c1）＝c0c11/2，其中c0表示消费者在时期0的消费支出，c1代表其在时期1的消费支出。银行存贷款利率相等且为r，该消费者在时期0的收入为I0＝60，在时期1的收入为I1＝100。问，如果r＝0，消费者该储蓄还是借贷？[南京大学2015博]
解：消费者效用最大化问题为：
构建拉格朗日函数：L＝c0c11/2－λ[c0＋c1/（1＋r）－I0－I1/（1＋r）]。
最优化一阶条件为：
∂L/∂c0＝c11/2－λ＝0
∂L/∂c1＝c0c1－1/2/2－λ/（1＋r）＝0
∂L/∂λ＝I0＋I1/（1＋r）－c0－c1/（1＋r）＝0
将I0＝60，I1＝100，r＝0代入上述方程，并解方程得：c0＝320/3，c1＝160/3。
因为c0＝320/3＞60，所以消费者应该借贷。
1.1.4 论述题
1比较边际效用分析方法与无差异曲线分析方法。[东北财经大学2008、2010博]
答：（1）边际效用分析法和无差异曲线分析法的相同之处
①两种分析方法都是基于如何度量消费者的效用和推导消费者需求曲线的问题而提出的微观经济学的分析方法。
②两种分析方法针对的分析对象都是微观主体消费者的行为。
③两种分析方法都从消费者在消费商品时的满足程度——效用入手进行分析，推导出了基本一致的向右下方倾斜的消费者需求曲线。
④两种分析方法都借用了边际效用递减规律，即在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增加量即边际效用是递减的。在边际效用分析法中比较直接地借用了这一规律，在无差异曲线分析法中则是通过转化为商品的边际替代率递减规律来借用的，其根本的内容都是在借用边际效用递减规律来做微观分析。
⑤“替代”“边际”等概念在两种分析方法中均得到了有效的运用，这也是经济学本质思想的具体运用。
⑥两种分析方法都是均衡分析方法，都从消费者在既定预算约束条件下效用最大化的角度进行微观均衡分析，并且最后得到的分析结果也是基本一致的。
（2）边际效用分析法和无差异曲线分析法的不同之处
①假设不同。基数效用论假设消费者消费商品所获得的效用是可以度量的，可以用基数表示。每个消费者都可以准确地说出自己所获得的效用值。序数效用论则认为消费所获得的效用只可以进行排序，只可以用序数来表示。效用的大小及特征表现在无差异曲线中。
②使用的分析方法不同。基数效用论使用边际效用作为工具，而序数效用论则使用无差异曲线作为分析工具。
③均衡条件的表达不同。基数效用论的均衡条件的表达式为MU/P＝λ，序数效用论的均衡条件的表达式为MRS12＝P1/P2。
2试述消费者均衡与需求曲线。[中国人民大学2000、2008博]
答：（1）消费者均衡
消费者均衡是指消费者的效用达到最大并维持不变的一种状态，其研究的是单个消费者如何把有限的货币收入分配在各种商品的购买中以获得最大的效用。也可以说，它是研究单个消费者在既定收入下实现效用最大化的均衡条件。这里的均衡指消费者实现最大效用时既不想再增加、也不想再减少任何商品购买数量的一种相对静止的状态。
①在基数效用论中，消费者实现效用最大化的均衡条件是：如果消费者的货币收入水平是固定不变的，市场上各种商品的价格是已知的，那么，消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等。或者说，消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱所带来的边际效用相等。即MU/P＝λ，其中λ为货币的边际效用。
②序数效用论者把无差异曲线和预算线结合在一起说明消费者的均衡。任何一个理性的消费者在用一定的收入购买商品时，其目的是为了从中获得尽可能大的消费满足。消费者偏好决定了消费者的无差异曲线，一个消费者的关于任何两种商品的无差异曲线簇可以覆盖整个坐标平面；消费者的收入和商品的价格决定了消费者的预算线，在收入既定和商品价格已知的条件下，一个消费者关于两种商品的预算线只能有一条。那么，当一个消费者面临一条既定的预算线和无数条无差异曲线时，只有既定的预算线和其中一条无差异曲线的相切点，才是消费者获得最大效用水平或满足程度的均衡点，此时满足MRS12＝P1/P2。
（2）从消费者均衡推导需求曲线
①基数效用论者以边际效用递减规律和建立在该规律上的消费者效用最大化的均衡条件为基础推导消费者的需求曲线。
消费者愿意为商品支付的价格取决于商品的边际效用，商品的边际效用大，则商品的需求价格就高，相反就越低。由于边际效用递减规律的作用，随着商品的消费量的增加，该商品的边际效用递减，则消费者为购买这种商品所愿意支付的价格就随之递减。又由于消费者为了达到效用最大，就必须使他的商品购买量符合效用最大化的均衡条件，即：MU/P＝λ，假设货币的边际效用不变，则需求曲线可以通过边际效用曲线得到。如图1-18所示：在（a）中，横坐标为某商品的消费量，纵坐标为商品的边际效用；图（b）中横坐标为商品的需求量，纵坐标为价格。在图（a）中A点消费量为Q1，边际效用为MU1，则相对应在图（b）中得到A′点，在A′点，需求量为Q1，商品的价格为P1＝MU1/λ，按照此办法可以根据边际效用曲线得到向右下方倾斜的需求曲线，它表示商品的需求量随着商品的价格的上升而减少，随着商品的价格的下降而增加。
图1-18 需求曲线的推导
②序数效用论者从价格-消费曲线推导出消费者的需求曲线。
价格-消费曲线指在消费者的偏好、收入以及其他商品价格不变的条件下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。在图1-19（a）中，假定商品1的初始价格为P11，相应的预算线为AB，它与无差异曲线U1相切于效用最大化的均衡点E1。如果商品1的价格由P11下降为P12，相应的预算线由AB移至AB′，于是，AB′与另一种较高无差异曲线U2相切于均衡点E2。如果商品1的价格再由P12继续下降为P13，相应的预算线由AB′移至AB″，于是，AB″与另一条更高的无差异曲线U3相切于均衡点E3，不难发现，随着商品1的价格的不断变化，可以找到无数个诸如E1、E2和E3那样的均衡点，它们的轨迹就是价格-消费曲线。
图1-19 价格-消费曲线和消费者的需求曲线
由消费者的价格-消费曲线可以推导出消费者的需求曲线。如图1-19所示：分析图（a）中价格-消费曲线上的三个均衡点E1、E2和E3可以看出，在每一个均衡点上，都存在着商品1的价格与商品1的需求量之间一一对应的关系。这就是：在均衡点E1，商品1的价格为P11，则商品1的需求量为X11。在均衡点E2，商品1的价格由P11下降为P12，则商品1的需求量由X11增加为X12。在均衡点E3，商品1的价格进一步由P12下降为P13，则商品1的需求量由X12再增加为X13。根据商品1的价格和需求量之间的这种对应关系，把每一个P1数值和相应的均衡点上的X1数值绘制在商品的价格-数量坐标图上，便可以得到单个消费者的需求曲线。这便是图1-19（b）中的需求曲线X1＝f（P）。在图1-19（b）中，横轴表示商品1的数量X1，纵轴表示商品1的价格P1。图1-19（b）中需求曲线X1＝f（P1）上的a、b、c点分别和图1-19（a）中的价格-消费曲线上的均衡点E1、E2、E3相对应。
3试述劳动力供给曲线的特点及其形成原因。[中国人民大学2003博]
答：劳动力供给曲线是反映人们提供的劳动和对劳动所支付的报酬之间关系的一条曲线。
（1）劳动力供给曲线的特点是当工资超过一定的水平后，劳动力供给曲线将向后弯曲。当工资较低时，随着工资的上升，消费者为较高的工资吸引将减少闲暇，增加劳动力供给量。在这个阶段，劳动力供给曲线向右上方倾斜。但是，工资上涨对劳动力供给的吸引力是有限的。当工资涨到某一工资水平时，消费者的劳动力供给量达到最大。此时如果继续增加工资，劳动力供给量非但不会增加，反而会减少。
（2）假设每一个劳动力的供给只取决于工资，则劳动力供给曲线可用图1-20表示。
图1-20 劳动力供给曲线
此图是向后弯曲的劳动力供给曲线。这是因为，当工资较低时，随着工资的上升，消费者为较高的工资所吸引将减少闲暇，增加劳动力供给量。在这个阶段，劳动力供给曲线向右上方倾斜。但是，工资上涨对劳动力供给的吸引是有限的。当工资涨到足够高（例如W0）时，消费者的劳动力供给量达到最大，此时，如果继续增加工资，劳动力供给量不会继续增加，反而会减少，例如，当工资从W0提高到W1时，劳动力供给则从L0减少到L1。具体理由从以下三方面来阐述：
①劳动力供给曲线之所以向后弯曲，是劳动工资率产生的替代效应和收入效应综合影响的结果。劳动者在不同的工资率下愿意供给的劳动力数量取决于劳动者对工资收入和闲暇所带来效用的评价。消费者的总效用由收入和闲暇所决定。收入通过消费品的购买为消费者带来满足：收入越多，消费水平越高，效用满足越大。同样，闲暇也是一种特殊的消费，闲暇时间越长，效用水平越高。然而，可供劳动者支配的时间是既定的，所以劳动者的劳动力供给行为可以表述为：在既定的时间约束条件下，合理地安排劳动和闲暇时间，以实现最大的效用满足。
②一般而论，工资率越高，对牺牲闲暇的补偿也就越大，劳动者宁愿放弃闲暇而提供劳动的数量也就越多。换言之，工资率提高，闲暇的机会成本相应也就越大，劳动者的闲暇时间也就越短。因此，工资率的上升所产生的替代效应使得劳动力数量增加。同时，工资率的提高，使得劳动者收入水平提高。这时，劳动者就需要更多的闲暇时间。也就是说，当工资率提高以后，劳动者不必提供更多的劳动就可提高生活水平。这说明，工资率提高的收入效应使得劳动力数量减少。
③替代效应和收入效应是工资率上升的两个方面，如果替代效应大于收入效应，那么，工资率提高使得劳动力数量增加，即劳动力供给曲线向右上方倾斜；反之，工资率的提高会使劳动数量减少，劳动力供给曲线向左上方倾斜。在工资率较低的条件下，劳动者的生活水平较低，闲暇的成本相应也就较低，从而，工资提高的替代效应大于收入效应，劳动力供给曲线向右上方倾斜。但是，随着工资率的进一步提高和劳动时间的增加，闲暇的成本增加，替代效应开始小于收入效应，结果劳动力供给数量减少。
基于以上原因，劳动的供给曲线呈现出向后弯曲的形状。
4试从个人理性选择角度，利用收入效应和替代效应概念解释个人的劳动供给决策并绘出可能的个人劳动供给曲线。[上海财经大学2004博]
答：用L表示劳动者休息的时间，C表示劳动者消费的商品数量（方便起见，假设其价格为1），w表示工资率。那么劳动者的效用最大化问题就是：
假设工资率提高，这会产生三个方面的影响：
（1）替代效应：预算约束条件表明，工资率是休闲的价格（工资率可以视为休闲的机会成本），所以工资率的提高使得休闲变得更加昂贵，因而劳动者会减少休闲。
（2）普通的收入效应：工资率提高使得消费者的实际收入减少（在保持名义收入不变的条件下），所以如果休闲是正常品，那么收入的减少会导致休闲减少。
（3）禀赋收入效应：工资率的提高使得劳动者的名义收入增加，这又会引起对休闲需求的增加。
在以上三方面的影响中，前两个效应在工资率增加的情况下会减少休闲需求，从而增加劳动力供给；禀赋收入效应在工资率增加的情况下会增加对休闲的需求，从而减少劳动供给，所以最终的劳动供给曲线的形状取决于这三个因素中的哪个占主导地位。一般而言，当工资率较低时，替代效应和普通的收入效应对劳动供给的影响较大；当工资率较高时，禀赋收入效应的影响较大。所以可能的劳动供给曲线如图1-21所示，随着工资的增加，劳动供给先增加后递减。
图1-21 劳动供给曲线
5绘图分析劳动供给曲线。[华中农业大学2004博]
答：劳动者在生产要素市场上提供劳动的最优化行为是：在既定的时间约束下，选择收入与闲暇时间，使获得的满足为最大。在一天24小时的约束下，用I表示闲暇时间，L表示劳动时间，r表示每小时工资率，m表示每天的劳动收入，则劳动者的预算约束方程为：m＝Lr＝（24－I）r，即：m＝24r－Ir。
以横轴I表示闲暇时间，以纵轴m表示劳动收入，可画出劳动者的预算约束线，如图1-22所示。其在纵轴上的截距为24r，在横轴上的截距为24，斜率为－r。
在图1-22中画出劳动者的（闲暇，收入）无差异曲线，在预算线与无差异曲线的切点处，劳动者获得最大化满足，切点对应的闲暇时间为劳动者的最佳闲暇时间，其与24之间的差距即为劳动者的最佳劳动时间。
图1-22 预算约束下的效用最大化
随着劳动工资率提高，劳动者的预算线向外移动，预算线与无差异曲线的切点随之变动，最佳劳动时间也随之变动。例如，当工资率由r1提高到r2时，劳动时间由L1增加到L2。用横轴表示劳动时间，用纵轴表示工资率，在图1-23中找出每一个工资率对应的最佳劳动时间，把各个对应点连接起来，即可得出劳动者的劳动供给曲线。
图1-23 劳动供给曲线
6试用图分析正常商品、劣等商品和吉芬商品的替代效应和收入效应，并进一步说明这三类商品的需求曲线的特征。[华中科技大学2004博；武汉大学2005博；对外经济贸易大学2008博；中国人民大学2013博]
答：（1）正常商品的替代效应和收入效应
如图1-24（a）中，横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是正常商品。商品1的价格P1下降前的消费者的效用最大化的均衡点为a，P1下降后消费者的均衡点为b。价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为X1′X1‴，这便是价格下降所引起的总效应。这个总效应可以被分解为替代效应和收入效应两个部分。
替代效应：作一条平行于预算线AB′且与无差异曲线U1相切的补偿预算线FG。FG与U1相切，表示假设的货币收入的减少（预算线的位置由AB′向左平移到FG表示）刚好能使消费者回到原有的效用水平。FG与AB′平行，则以这两条预算线的相同的斜率，表示商品1价格和商品2价格的一个相同的比值P1/P2，而且，这个商品的相对价格P1/P2是商品1的价格P1变化以后的相对价格。补偿预算线FG与U1相切于均衡点c，与原来的均衡点a相比，需求量的增加量为X1′X1″，这个增加量就是在剔除了实际收入水平变化影响以后的替代效应。进一步地，就预算线AB和补偿预算线FG而言，它们分别与无差异曲线U1相切于a、c两点，但斜率却是不相等的。预算线AB的斜率绝对值大于补偿预算线FG，AB所表示的商品的相对价格P1/P2大于FG，当AB移至FG时，随着商品的相对价格P1/P2的变小，消费者为了维持原有的效用水平，会沿着既定的无差异曲线U1由a点下滑到c点，增加对商品1的购买而减少对商品2的购买，即用商品1去替代商品2。于是，由a点到c点的商品1的需求量的增加量X1′X1″，便是P1下降的替代效应。
收入效应：把补偿预算线FG再推回到AB′的位置上去，于是，消费者的效用最大化的均衡点就会由无差异曲线U1上的c点回复到无差异曲线U2上的b点，相应的需求量的变化量X1″X1‴就是收入效应。
对于正常商品来说，替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应也与价格呈反方向的变动。在它们的共同作用下，总效应必定与价格呈反方向的变动。正因为如此，正常商品的需求曲线是向右下方倾斜的。
图1-24（a） 正常商品的替代效应和收入效应
（2）劣等商品的替代效应和收入效应
如图1-24（b）中，横轴OX1和OX2分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是劣等商品。商品1的价格P1下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为a、b点，因此，价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为X1′X1″，这是总效应。作与预算线AB′平行且与无差异曲线U1相切的补偿预算线FG，将总效应分解成替代效应和收入效应。P1下降引起的商品相对价格的变化，使消费者由均衡点a运动到均衡点c，相应的需求增加量为X1′X1‴，这就是替代效应，它是一个正值。而P1下降引起的消费者的实际收入水平的变动，使消费者由均衡点c运动到均衡点b，需求量由X1‴减少到X1″，这就是收入效应，它是一个负值。
对劣等商品来说，替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应与价格呈同方向的变动，而且，在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，总效应与价格呈反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的。但是，在少数场合下，某些劣等商品的收入效应的作用会大于替代效应。
图1-24（b） 劣等商品的替代效应和收入效应
（3）吉芬商品的替代效应和收入效应
如图1-24（c）中，横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是吉芬商品。商品1的价格P1下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为a点和b点，相应的商品1的需求量的减少量为X1′X1″，这就是总效应。通过补偿预算线FG可得：X1″X1‴为替代效应；X1′X1‴是收入效应，它是一个负值。而且，负的收入效应X1′X1‴的绝对值大于正的替代效应X1″X1‴的绝对值，所以，最后形成的总效应X1′X1″为负值。在图1-24（c）中，a点必定落在b、c两点之间。对吉芬商品来说，替代效应与价格成反方向变动，收入效应与价格成同方向变动，是收入效应的作用大于替代效应的作用，总效应与价格是同方向变动，相应的需求曲线就呈现向右上方倾斜的特殊形状。
图1-24（c） 吉芬商品的替代效应和收入效应
72003年我国发生了“非典”疫情，在“非典”期间，商品零售业、旅游业、交通运输业及餐饮等行业受到了很大影响，主要表现是消费需求不足，试用微观经济学中“理性人”原理及消费者预算线模型来分析这种现象产生的原因。[吉林大学2004博]
答：（1）理性人是西方经济学在进行经济分析时的一个基本假设，也称为经济人。理性人是经济生活中一般人的抽象，其本性被假设为是利己的，总是力图以最小的经济代价去追逐和获取自身最大的经济利益。这样人们做出经济决策的出发点，就是私人利益，每个人都寻求个人利益最大化，而不会做出于己无利的事。
理性人假设包括以下内容：
①在经济活动中，个人所追求的唯一目标是自身经济利益的最大化。例如，消费者所追求的是最大限度的自身满足；生产者所追求的是最大限度的自身利润；生产要素所有者所追求的是最大限度的自身报酬。这就是说，理性人主观上既不考虑社会利益，也不考虑自身非经济的利益。
②个人所有的经济行为都是有意识的和理性的，不存在经验性和随机性的决策。
③理性人拥有充分的经济信息，每个人都清楚地了解其所有经济活动的条件与后果。因此，经济中不存在任何不确定性，获取信息不需要支付任何成本。
④各种生产资料可以自由地、不需要任何成本地在部门之间、地区之间流动。
（2）作为理性人的消费者在面临决策时，会充分考虑各种条件，从而使其效用水平最大化。在非典时期，消费者的预算约束没有较大的变化，但是，由于健康受到威胁，人们的偏好在短期内发生了改变。昔日人们比较偏好于消费、旅游等活动，此时，人们为了自身的生命和健康考虑，不得不减少旅游等活动的支出，增加健康方面的支出。
如图1-25所示，在非典前，人们的无差异曲线为L1，此无差异曲线表明消费者较为偏好旅游等休闲活动，在这方面的支出较多，最优消费选择为A点。在非典期间，人们更加关注健康，短时期内偏好发生了改变，无差异曲线变为L2。人们在健康保健方面的支出较多，最优消费选择为B点。
图1-25 非典引起人们偏好的暂时改变
2003年我国发生了“非典”疫情，在“非典”期间，由于消费者出于健康的考虑，减少了外出旅游、外出就餐的次数，所以，商品零售业、旅游业、交通运输业及餐饮等行业受到了很大影响，消费需求不足。
8我国许多大城市自来水供应紧张，请根据边际效用递减规律的原理，设计一种方案供政府缓和或解决这一问题，并分析这种措施对资源配置产生的有利和不利影响。[辽宁大学2004博]
答：（1）边际效用递减规律是指随着人们在一定时间内对某一商品（或服务）消费数量的增加，从消费该商品（或服务）的单位增量中所获得的满足程度的增加量呈递减趋势。
在中国北方许多大城市，由于水资源不足造成居民用水紧张，在这种情况下，不能实现水资源的最优分配，即最想用水的居民并不一定获得足够的用水，所以帕累托经济效率不能实现。为解决这一问题，应该对水资源的价格的征费标准、范围进行调整改革，实行水资源分部定价，具体来讲：
①扩大水资源费征收范围，除农业灌溉暂不征收外，其他取用水均纳入征费范围。
②一定幅度提高征费标准，以体现水资源的稀缺性。
③按照取水许可权限，实行分级征收和管理，体现取水审批与取用水监督管理工作的统一。对不同的需求量级别实行不同的价格，即实行分部定价（二级价格歧视）。对需求量处于较大级别的用户制定较低的价格，对需求量处于较小级别的用户制定较高的价格。
④确定税务代收方式，地税部门依照水利部门出具的缴费通知单征收水资源费。
⑤规范水资源费征收与使用管理，实行收、管分离，票、款分离，水资源费在收缴过程中直接缴入国库，征收金额全部用于水资源开发利用和管理保护。
⑥改革部分项目的征费计量方式，对煤炭、石油开采行业，按煤和石油开采量计征水资源费。
（2）对生产资源配置的有利影响
进行价格的有效调整后，水资源便不再是准公共产品，从而具有了竞争性和排他性。在分部定价情况下，消费者支付的价格取决于他的需求量，需求量越大支付的价格越低。这一方面是边际效用递减规律的体现，又使得水资源流向需求欲望最大的用户那里，即提高了水资源的配置效率，有利于实现帕累托最优配置。对生产资源配置的有利作用是节约了用水，可使之用于人们更需要的途径上，从而使水资源得到更合理有效的使用。
（3）对资源配置的不利影响
在分部定价情况下，造成了其他资源的浪费。比如，工厂里本来用水来冷却物体，现在要改用电来冷却，增加了对电和有关装置的需求。如果自来水价格提高过度，必然会带来更多其他资源的消耗。这是不利的一面。