1.2　考博常考难题详解

1判断：下列说法对吗？为什么？

（1）当利率上升时，原来的贷款者仍将贷款，而且贷款数量一定会增加；当利率下降时，原来的借款者将继续借款，而且借款数量至少不会减少。

（2）跨期消费的第一期和第二期的消费之间的边际替代率为1＋r。

（3）如果名义利率小于通货膨胀率，则一个理性的消费者不会选择存钱。

答：（1）第一个说法的前半句正确，后半句错误；第二个说法的前半句正确，后半句错误。理由如下：跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

①当利率上升时，原来的贷款者仍将贷款，但贷款数量不一定会增加。理由如下：如图1-26所示，利率上升后，预算线从CD变为AB，根据显示偏好弱公理，消费者的最优选择一定位于AF段，即消费者一定还是贷款者。但是具体位于AF段的哪一点，则依赖于效用函数的具体形式（在图1-26中，如果消费者的无差异曲线为S₁，那么消费者的贷款数量就会增加；但是如果消费者的无差异曲线为S₂，那么消费者的贷款数量就会减少）。

图1-26　利率上升时的预算线

②当利率下降时，原来的借款者将继续借款，但借款数量的变化不确定。理由和上述的分析类似，如图1-27所示。

图1-27　利率下降时的预算线

（2）这个说法正确。理由如下：跨期消费的效用最大化问题如（1）所示，拉格朗日函数为：L＝u（c₁，c₂）－λ[c₁＋c₂/（1＋r）－m₁－m₂/（1＋r）]。

效用最大化的一阶条件为：

∂L/∂c₁＝∂u（c₁，c₂）/∂c₁－λ＝0

∂L/∂c₂＝∂u（c₁，c₂）/∂c₂－λ/（1＋r）＝0

由此可得，

跨期消费的第一期和第二期的消费之间的边际替代率为1＋r。

（3）这个说法错误。理由如下：如果考虑通货膨胀的因素（假设通货膨胀率为π），那么跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

消费者在第一期是否储蓄取决于第一期的消费c₁和收入m₁的比较，这是由效用函数u（c₁，c₂）、利率r、第一期的收入m₁和第二期的收入m₂共同决定的，因此，不能说名义利率小于通货膨胀率消费者就一定不会储蓄。

以柯布-道格拉斯效用函数为例。若消费者效用函数为u（c₁，c₂）＝c₁^0.5c₂^0.5，则由柯布-道格拉斯效用函数的性质可知他在第一期的消费c₁＝0.5[m₁＋m₂×（1＋π）/（1＋r）]，则m₁－c₁＝0.5[m₂×（1＋π）/（1＋r）－m₁]，当m₁－c₁＞0时，消费者在第一期储蓄。

2常替代弹性效用函数u（x₁，x₂）＝（α₁x₁^ρ＋α₂x₂^ρ）^1/ρ，且α₁＋α₂＝1。请证明：

（1）当ρ＝1，该效用函数为线性。

（2）当ρ→0时，该效用函数趋近于。

（3）当ρ→－∞时，该效用函数趋近于u（x）＝min{x₁，x₂}。

证明：（1）当ρ＝1时，u（x₁，x₂）＝α₁x₁^ρ＋α₂x₂^ρ，此时函数是线性的。

（2）当ρ→0时，

又因为：

所以，

（3）当ρ→－∞时，

又因为：

分情况讨论：

①当x₁＞x₂时，有

则

②当x₁＜x₂时，同理有

。

③当x₁＝x₂时，有u（x）＝x₁＝x₂。

综上可知：

3现在是年终，又到了行善的时候，请问受到洪涝灾害的人是希望得到现金还是同等价值的棉被？用代数式来证明答案，并配以图示。提示：用x₁代表棉被，x₂代表其他用品，m代表收入，c表示得到的慈善现金的数额，g表示分得的棉被的数量。假定没有商品禀赋，得到的棉被不能买卖，并且灾区的商品价格和外面没有差异。

答：受到洪涝灾害的人更希望得到现金。分析如下：

设棉被的价格为p，其他用品的价格为1（这样的假设可以方便分析，但并不影响结果），因为现金和棉被等值，即c＝gp，则灾区人民的预算约束为：

（1）当获得的捐赠为棉被时：m＋pg＝x₂＋px₁，其中x₁≥g。

（2）当获得的捐赠为现金时：m＋c＝x₂＋px₁。

若灾区人民获得的是棉被，则其最优化问题为：

　①

若灾区人民获得的是现金，则其最优化问题为：

　②

由于优化问题①和②的目标函数式相同，但是①的预算集（即x₁和x₂的取值范围）却比②小，这就意味着优化问题②的目标函数式的值至少和①一样大，即灾区人民在获得现金的条件下，有可能得到更高的福利，因此他们更希望得到现金。

在图1-28中，若灾民得到的捐助是数量为C的现金，灾民的最优选择点是图中的C点，则给予棉被捐赠后，灾民的最优选择不变。但是若灾民得到现金捐助时的最优选择为A点，则一旦改为棉被捐赠，灾民的预算线由虚线变为图中粗黑线，其最优选择也只能变为B点，效用U₂明显小于U₁，因此福利降低。所以总的来讲，灾民会更偏好于现金捐助。

图1-28　不同的捐赠对消费者预算集的影响

4设消费者的反需求函数为p＝a－bq，这里a、b＞0。假定政府开征消费税（从价税），因此，消费者支付的价格会从p上升到p（1＋t）（这里，t为税率）。证明：消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入。

证明：如图1-29所示，征税前，消费者的剩余为：

cs＝（a－p）q/2＝（a－p）²/（2b）

图1-29　征税对消费者的影响

征税后，消费者的剩余为：

他们所损失的消费者剩余为：

政府征税所获收入为：

因此，Δcs－T＝0.5p²t²/b＞0，即消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入。

5在现行税制下，一个人可以每年在个人退休账户中储蓄2000美元。个人退休账户是一个有税收优惠待遇的储蓄工具。考察一个在特定时点具有收入Y的消费者。他愿意将C部分用于消费，S₁用于I.R.A.储蓄，S₂用于普通储蓄。假设“简化型”效用函数的形式为：U（C，S₁，S₂）＝S₁^αS₂^βC^γ（这是一个简化型效用函数，因为这些参数并不是真正外生性质的参数，而且还包括资产税处理等问题）。该消费者的预算约束为：C＋S₁＋S₂＝Y。该消费者可在个人退休账户中储蓄的限度以L表示。

（1）推导一个限度L不受约束的消费者对S₁和S₂的需求函数。

（2）推导一个限度L存在约束的消费者对S₁和S₂的需求函数。

答：（1）这是一个普通柯布-道格拉斯需求，最大化效用为：

拉格朗日函数为：L（S₁，S₂，C，λ）＝S₁^αS₂^βC^γ－λ（C＋S₁＋S₂－Y）。

效用最大化的一阶条件为：

解得需求函数为：S₁＝αY/（α＋β＋γ），S₂＝βY/（α＋β＋γ）。

（2）在这种情况下，S₁＝L，因此最大化效用为：

拉格朗日函数为：F（L，S₂，C，λ）＝L^αS₂^βC^γ－λ（C＋L＋S₂－Y）。

效用最大化的一阶条件为：

解得需求函数为：S₂＝β（Y－L）/（β＋γ）。

6请画图说明政府决定对产品A征收消费税（从量税），并且将从该产品上征得的税收全部返还给消费者，这样做会对消费者的福利带来什么影响？政府为什么要这么做？

答：（1）如图1-30所示，横轴表示A商品，纵轴表示其他商品。政府对产品A征收从量税t，使得A商品的价格从p上升至p′＝p＋t，对应的消费者对A商品的消费从x减少为x′。因此，通过征税从消费者那里得到的收入为：R＝tx′＝（p′－p）x′。

令y表示消费者在所有其他商品上的支出，并规定它的价格为1，那么最初的预算约束为：px＋y＝m。

实行退税计划后的预算约束为：（p＋t）x′＋y′＝m＋tx′。

上式整理可得：px′＋y′＝m。

可以看出，（x，y）在最初的预算约束下是可以支付得起的，但消费者却最终选择了（x′，y′）。因此，如图1-30所示，这种税收政策使得消费者的福利水平下降。

图1-30　包含税收返还计划的征税

（2）通过对图1-30的分析可以看出，这种征税影响使得消费者的福利下降。政府之所以这么做，是希望通过征税的方式来调节资源配置，比如说希望通过对资源类产品如汽油等征税，从而减少消费者对该类产品的需求。

7斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的异同。

答：斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应是分别以两位经济学家斯勒茨基与希克斯的名字命名的。斯勒茨基替代效应是在商品相对价格变化后，在保持消费者实际收入不变（这里的实际收入不变是指消费者在价格变化后能够购买他想要购买的价格变动以前的商品购买量）情况下所引起的商品需求量的变化；希克斯替代效应是在商品相对价格变化后，在保持消费者实际收入不变（这里的实际收入不变是指使消费者在价格变化前后保持在同一条无差异曲线上）情况下所引起的商品需求量的变化。斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应之间既有相同点，也有不同点。

（1）斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的相同点

斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的相同点主要体现在以下两个方面：①斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应都是非正的，这可以用显示偏好理论证明；②对于无限小的价格变动来说，斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应是相等的，即有：

（2）斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的不同点

希克斯分解与斯勒茨基分解的区别在于替代效应的不同——希克斯替代效应不是保持购买力不变而是保持效用不变（即在同一条无差异曲线上）。这在图形中的表现就是平行与价格变化后的预算线的辅助线的画法不同，希克斯分解中的那条辅助线是与原来的无差异曲线相切，而斯勒茨基分解中的辅助线是经过价格变化前的需求束。斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应的不同点可借用图1-31予以说明。

图1-31　斯勒茨基替代效应与希克斯替代效应

8假定消费者的收入为m，他要消费两种商品1和2，其价格分别为p₁和p₂。这个消费者的效用函数为U（x₁，x₂）＝x₁²＋4x₂²，其中x₁和x₂分别为这两种商品的消费量，请计算消费者的消费决策。

解：由效用函数U（x₁，x₂）＝x₁²＋4x₂²得MU₁＝2x₁，MU₂＝8x₂，边际替代率MRS＝MU₁/MU₂＝x₁/（4x₂），可见随着x₁的增加边际替代率的绝对值是增加的，不满足无差异曲线凸向原点，所以不能根据消费者均衡条件MU₁/MU₂＝p₁/p₂去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足），此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得。

当消费者把所有的收入都用于购买商品1时，效用为（m/p₁）²，当消费者把所有的收入都用于购买商品2时，效用为4（m/p₂）²。因此，当p₂＞2p₁时，消费者把所有的收入都用于购买商品1；当p₂＜2p₁时，消费者把所有的收入都用于购买商品2；当p₂＝2p₁时，消费者既可选择把所有的收入都用于购买商品1，也可以选择把所有的收入都用于购买商品2。

9消费者消费X、Y两种商品，效用函数为U（X，Y）＝X²Y³，收入M＝100元。

（1）求对商品X的需求函数。

（2）设商品Y的价格P_Y＝3，商品X的价格P_X从2降为1，求替代效应和收入效应。

解：（1）设商品X、Y的价格分别为P_X、P_Y，根据消费者均衡条件MU_X/P_X＝MU_Y/P_Y得：2XY³/P_X＝3X²Y²/P_Y。

整理得：2P_YY＝3P_XX。

再结合约束条件M＝P_XX＋P_YY＝100，可求得商品X的需求函数为：X＝40/P_X。

（2）当P_Y＝3，P_X＝2时，根据上面求得的需求函数消费者均衡条件可以得到商品X的最优消费量为：X＝40/P_X＝20。

将数据代入预算约束中便得商品Y的最优消费量为：

Y＝（100－P_XX）/P_Y＝（100－2×20）/3＝20

因此，消费者的效用为U（X，Y）＝X²Y³＝20⁵。

当商品X的价格P_X从2降为1时，根据上面求得的需求函数消费者均衡条件，可以得到商品X的新最优消费量为：X^*＝40/P_X＝40。

因此，总的价格效应为40－20＝20。替代效应计算如下：

为保持原来的购买力不变，设在新价格体系下的新收入（补偿性收入）应为M′，于是有：M′＝P_X′X′＋P_Y′Y′＝80。设在新价格体系下消费者对两商品的最优消费量为X′、Y′，根据消费者均衡条件MU_X′/P_X′＝MU_Y′/P_Y′有：2X′Y′³/P_X′＝3X′²Y′²/P_Y′。

整理得：Y′＝0.5X′。

此时的补偿预算线为：M′＝P_X′X′＋P_Y′Y′＝X′＋3Y′＝80。

联立得X′＝32。

因此替代效应为32－20＝12，收入效应为40－32＝8。