六、计算题

1假定某市场由高收入者H和低收入者L构成，他们的需求函数和收入分别为：

Q_HD＝50－P＋0.2Y_H；Y_H＝200

Q_LD＝60－2P＋0.3Y_L；Y_L＝80

（1）求市场需求函数Q_D＝Q_D（P）。

（2）当P＝6时，高收入者H和低收入者L的购买量各是多少？整个市场的销售量又是多少？

（3）假定政府执行一项转移支付政策，向高收入者H征税20并全部支付给低收入者L。求市场需求函数。

（4）执行此项转移支付政策后，当P＝6时，高收入者H和低收入者L的购买量又各是多少？整个市场的销售量又是多少？

（5）比较以上（2）和（4）的结果，并分析政府此项执行转移支付政策的效果。

解：（1）根据题意，高收入者H和低收入者L的需求函数分别为：

Q_HD＝50－P＋0.2×200＝90－P

Q_LD＝60－2P＋0.3×80＝84－2P

由此得市场需求函数为：Q_D＝Q_HD＋Q_LD＝（90－P）＋（84－2P），即：Q_D＝174－3P。

（2）方法一：当P＝6时，高收入者H和低收入者L的购买量分别为：Q_HD＝90－6＝84，Q_LD＝84－2×6＝72。故整个市场的销售量为：Q_D＝Q_HD＋Q_LD＝84＋72＝156。

方法二：当P＝6时，整个市场的销售量Q_D＝174－3P＝174－3×6＝156。

（3）当政府执行转移支付政策后，高收入者H和低收入者L的需求函数分别为：

Q_HD′＝50－P＋0.2×（200－20）＝86－P，即Q_HD′＝86－P

Q_LD′＝60－2P＋0.3×（80＋20）＝90－2P，即Q_LD′＝90－2P

由此得市场需求函数为：Q_D′＝Q_HD′＋Q_LD′＝（86－P）＋（90－2P）＝176－3P，即Q_D′＝176－3P。

（4）方法一：执行此项转移支付政策后，当P＝6时，高收入者H和低收入者L的购买量分别为：Q_HD′＝86－6＝80，Q_LD′＝90－2×6＝78。整个市场的销售量为：Q_D′＝Q_HD′＋Q_LD′＝80＋78＝158。

方法二：执行此项转移支付政策后，当P＝6时，整个市场的销售量Q_D′＝176－3P＝176－3×6＝158。

（5）比较以上（2）和（4）的结果，可以发现，政府执行此项转移支付政策后，高收入者H的购买量减少4（＝84－80）单位，而低收入者L的购买量增加6（＝78－72）单位。此外，整个市场的销售量增加2（＝－4＋6）单位。

假定政府执行此项转移支付政策的目的是为了缩小收入差距，提高低收入者的消费水平，并在一定程度上刺激整个市场的消费水平，那么，可以说该政策是有一定效果的。

2某地方苹果价格从32美分提高到40美分，涨价后苹果市场的均衡消费量减少12%，涨价后苹果市场的均衡消费量为880万公斤，试求需求的价格弧弹性。

解：由题设有P₁＝32，P₂＝40，Q₂＝880，Q₁＝880/（1－12%）＝880/88%＝1000。

根据需求的价格弧弹性定义，有：

因此，需求的价格弧弹性为0.57。

3已知消费者对某种商品的需求函数为Q＝100－2P，写出相应的总收益函数和边际收益函数。在什么价格水平上，需求价格弹性系数为1？

解：（1）由已知可得反需求函数为P＝（100－Q）/2，则可得：

总收益函数为：TR＝PQ＝Q（100－Q）/2＝50Q－0.5Q²；

边际收益函数为：MR＝50－Q。

（2）由需求价格弹性定义公式有：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）。

即：e_d＝－（－2）×[P/（100－2P）]＝1。

解得P＝25。故在价格水平为P＝25上，需求价格弹性系数为1。

4设某商品的需求价格弹性e_d＝2，并且当价格P＝1时，需求量Q＝10，求该商品的需求函数。

解：商品的需求价格弹性公式为：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝2。

即：dQ/Q＝－2（dP/P）。

在方程两边积分，可得lnQ＝－2lnP＋lnC，整理可得Q＝CP^－2。

由于价格P＝1时商品需求量Q＝10，把有关参数代入商品需求函数可得C＝10，因此需求函数为Q＝10P^－2。

5试构造需求收入弹性为常数的一个需求函数。

解：设需求收入弹性为常数K，根据需求收入弹性公式得：e_m＝（dQ/dM）×（M/Q）＝K。

可得：dQ/Q＝K×（dM/M）。

在方程两边积分，可得lnQ＝KlnM＋C（C为任意常数），求解可得需求函数为Q＝M^Ke^C，C＝0时该函数为Q＝M^K。

6假定对应价格P与需求量Q的需求函数为P（Q），且连续、可微，利用数理方法说明需求价格弹性与收益的关系。

解：总收益函数为TR＝PQ，总收益对价格的导数为：dTR/dP＝Q＋P×（dQ/dP）＝Q（1－e_d）。

其中需求价格弹性为：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）。

由该关系式可知：

（1）当需求价格弹性e_d＞1时，有dTR/dP＜0，从而总收益TR与商品价格P反方向变动。即当商品需求富有价格弹性时，降价会带来总收益的增加，涨价反而会引起总收益的减少。

（2）当需求价格弹性e_d＜1时，有dTR/dP＞0，从而总收益TR与商品价格P同方向变动。即当商品需求缺乏价格弹性时，涨价会带来总收益的增加，降价反而会引起总收益的减少。

（3）当需求价格弹性e_d＝1时，有dTR/dP＝0，从而商品价格P对收益TR没有影响。即当商品的需求为单位价格弹性时，涨价和降价对厂商的总收益没有影响。

（4）当需求价格弹性e_d＝0时，dTR/dP＝Q，从而总收益TR与商品价格P同比例变化。即当商品需求价格弹性为0时，厂商降价会使得总收益同比例于价格的下降而减少，涨价会使得总收益同比例于价格的上升而增加。

（5）当需求价格弹性e_d＝∞时，dTR/dP＝∞，商品价格P的微小变化会使总收益TR产生大幅度变化。即当商品需求弹性趋于无穷大时，在既定价格下，收益可以无限增加，因此，厂商不会降价，若涨价，则厂商的总收益会减少为零。

7若某商品的需求函数为

试求在价格P＝60的情况下，该商品的需求价格弹性，并说明对该商品应采取的涨价或降价的政策。

解：（1）当价格P＝60时，代入商品需求函数可得：

求解得到Q＝1600。

根据商品需求函数可得：Q＝（100－P）²，从而dQ/dP＝－2×（100－P）＝－80。

根据需求价格弹性的定义，有：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝－（－80）×（60/1600）＝3。

即该商品的需求价格弹性e_d＝3。

（2）上述计算表明，在价格等于60的情况下，商品的需求价格弹性大于1。由于当需求价格弹性大于1时，商品销售总收益与价格成反方向变动，因此需要对该商品采取降价政策，以便提高商品销售收入。

8已知某商品的需求价格弹性系数为0.5，当价格为每公斤3.2元时，销售量为1000公斤。若价格下降10%，销售量是多少？该商品降价后，总收益是增加了还是减少了？增加或减少了多少？

解：（1）假设该商品价格P＝3.2元，销售量Q＝1000公斤。若价格下降10%，即ΔP＝－0.32，把上述参数代入该商品的需求价格弹性系数公式，即：e_d＝－（ΔQ/ΔP）×（P/Q）＝0.5。

可得：－[ΔQ/（－0.32）]×（3.2/1000）＝0.5。

求解可得ΔQ＝50（公斤），即降价后的销售量为1050公斤。

（2）该商品在价格为3.2元、销售量为1000公斤的条件下，需求价格弹性系数为0.5，即价格下降1%、销售量上升0.5%，表明销售量的上升不足以弥补价格下降导致的总收益减少，因此降价后总收益减少了。

根据总收益公式可得，该商品降价前的总收益为：TR＝PQ＝3.2×1000＝3200（元）

降价后的总收益为：TR＝3.2×（1－10%）×1050＝3024（元）

因此商品降价导致的总收益减少为：3024－3200＝－176（元）。

9在某个市场上，需求方程为Q＝400－P，供给方程为Q＝P＋100。

（1）求均衡价格、均衡交易量和此时的需求价格弹性。

（2）若政府在消费者购买该商品时对每单位商品征收10元的消费税，求新的均衡价格、均衡交易量和相应的需求价格弹性。

解：（1）当供给等于需求时，市场达到均衡，则有：400－P＝P＋100；

解得均衡价格为P＝150（元），从而均衡交易量为Q＝250。

根据需求价格弹性公式，此时的需求价格弹性为：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝0.6。

（2）若政府在消费者购买该商品时对每单位商品征收10元的消费税，则供给函数为：Q＝（P－10）＋100＝P＋90。需求函数不变，解得此时的均衡价格为P＝155（元），均衡交易量为Q＝245。

此时的需求价格弹性为：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）≈0.63。

10已知某产品的需求函数为Q＝50－2P，供给函数为Q＝－25＋3P。

（1）求均衡点的需求价格弹性和供给价格弹性。

（2）如果政府对每单位产品征收5元的销售税，则买者与卖者各自承担了多少税额？

解：（1）联立求解需求函数和供给函数，即：50－2P＝－25＋3P。

可得均衡价格和均衡产量分别为P＝15，Q＝20。根据需求价格弹性公式和供给价格弹性公式，代入有关参数可得：

e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝2×（15/20）＝1.5

e_s＝（dQ/dP）×（P/Q）＝3×（15/20）＝2.25

（2）消费者的税收转嫁因子为：2.25/（2.25＋1.5）＝0.6，政府对每单位产品征收5元销售税，则消费者承担税额为5×0.6＝3（元/每单位）；生产者承担税额为5－3＝2（元/每单位）。

11据估计，居民消费的电力需求的长期价格弹性为1.2。电力与天然气需求的交叉弹性为0.2。如果长期中电力价格上升1%，天然气的价格需要变化多少才能抵消电力价格上升对电力需求量的影响？

解：（1）由于电力需求的长期价格弹性为1.2，因此电力价格上升1%将使电力消费减少1.2%。

（2）由于电力与天然气需求的交叉弹性为0.2，两者又是替代品，因此天然气的价格上升1%，将导致电力的消费量增加0.2%。所以，天然气的价格只有上升6%，才能抵消电力价格上升而减少的电力消费1.2%。

12对某钢铁公司某种钢的需求受到该种钢的价格P_X、钢的替代品铝的价格P_Y以及收入M的影响，所估计的各种价格弹性如下：钢需求的价格弹性e_d＝2.5；钢需求对于铝价格的交叉弹性e_XY＝2；钢需求的收入弹性e_m＝1.5。下一年，该公司打算将钢的价格提高8%。根据公司预测，明年收入将增加6%，铝的价格将下降2%。

（1）如果该公司今年钢的销售量是24000吨。在给定以上条件下，该公司明年钢的需求量是多少？

（2）如果该公司明年将钢的销售量仍维持在24000吨，在收入增加6%、铝的价格下降2%的条件下，钢铁公司将把钢的价格定在多高？

解：（1）根据题意，明年该种钢的需求变动率为：ΔQ/Q＝－e_d×8%＋e_m×6%＋e_XY×（－2%）。

代入有关参数可得：ΔQ/Q＝－2.5×8%＋1.5×6%＋2×（－2%）＝－15%。

因此明年该种钢的需求量为：Q_T＝24000×（1－15%）＝20400（吨）。

（2）若该公司明年将该种钢的销售量维持不变，即该种钢的需求变动率为0，则有：0＝－e_d（ΔP/P）＋e_m×6%＋e_XY×（－2%），代入有关参数可得：0＝－2.5（ΔP/P）＋1.5×6%＋2×（－2%）。

求解可得ΔP/P＝2%，即公司将把该种钢的价格提高2%。

13表2-1是B物品的价格（P_B）为8元和12元时A物品的需求表。

表2-1　A物品需求表

计算A物品为6、7、8三种价格时，A物品与B物品之间需求的交叉弹性e_AB，然后判断A物品和B物品是互补品还是替代品？

解：根据需求交叉弹性公式：e_AB＝（ΔQ_A/Q_A）/（ΔP_B/P_B）。

则当P_A＝8时，需求交叉价格弹性为：e_AB＝（ΔQ_A/Q_A）/（ΔP_B/P_B）＝（2000/2000）/（4/8）＝2。

当P_A＝7时，需求交叉价格弹性为：e_AB＝（ΔQ_A/Q_A）/（ΔP_B/P_B）＝（2000/4000）/（4/8）＝1。

当P_A＝6时，需求交叉价格弹性为：e_AB＝（ΔQ_A/Q_A）/（ΔP_B/P_B）＝（2000/6000）/（4/8）＝2/3。

由于商品B价格的提高会导致商品A需求量的增加，且交叉价格弹性系数为正数，因此商品A和商品B互为替代品。

14假设某市场由个人1和个人2组成，他们对商品X的需求函数分别为：Q₁＝（P_y＋K₁R₁）/P_x，Q₂＝（K₂R₂）/P_x。其中，P_y为商品Y的价格，R₁、R₂为个人1、个人2的收入。

（1）求商品X的市场需求函数。

（2）计算对商品X的市场需求价格弹性，商品X和商品Y的需求交叉弹性。

（3）在个人1和个人2收入总和不变的条件下，通过收入再分配使得个人2的部分收入转移到个人1，会对商品X的需求产生什么影响？

解：（1）商品X的市场需求为个人1和个人2对商品X的需求量加总之和，即：

Q_x＝Q₁＋Q₂＝（P_y＋K₁R₁）/P_x＋（K₂R₂）/P_x＝（P_y＋K₁R₁＋K₂R₂）/P_x

（2）根据商品X的市场需求函数可得：

dQ_x/dP_x＝－[（P_y＋K₁R₁＋K₂R₂）]/P_x²

dQ_x/dP_y＝1/P_x

根据需求价格弹性定义可得，商品X的市场需求函数为：

e_x＝－（dQ_x/dP_x）×（P_x/Q_x）＝1

根据需求交叉弹性定义可得，商品X和商品Y的需求交叉弹性为：

e_xy＝（dQ_x/dP_y）×（P_y/Q_x）＝P_y/（P_y＋K₁R₁＋K₂R₂）

（3）若个人2转移到个人1的收入用ΔR≥0表示，那么收入再分配后，个人1、个人2的需求函数分别为：

Q₁¹＝[P_y＋K₁（R₁＋ΔR）]/P_x

Q₂¹＝K₂（R₂－ΔR）/P_x

商品X的市场需求为个人1和个人2对商品X的需求量加总之和，即：

Q_x¹＝Q₁¹＋Q₂¹＝[P_y＋K₁（R₁＋ΔR）]/P_x＋K₂（R₂－ΔR）/P_x＝Q_x＋ΔR（K₁－K₂）/P_x

收入再分配以后，商品X的市场需求变化为：

ΔQ_x＝Q_x¹－Q_x＝（K₁－K₂）ΔR/P_x

因此，当K₁＞K₂时，商品X的需求量增加；当K₁＝K₂时，商品X的需求量不变；当K₁＜K₂时，商品X的需求量减少。

15若一国粮食市场的需求函数为Q^d＝6－0.5P，供给函数为Q^s＝3＋P。为支持粮食生产，政府决定对粮食进行每千克0.5元的从量补贴（产量单位为亿吨，价格单位为元/千克）。试问：

（1）实施补贴后，粮食的均衡价格和均衡产量分别是多少？

（2）每千克0.5元的补贴在生产者和消费者之间是如何分配的？

（3）补贴之后的财政支出增加额是多少？

解：（1）当政府对厂商进行补贴后，供给函数变为：Q^s＝3＋（P＋0.5）＝3.5＋P。

市场均衡条件为：Q^d＝Q^s，代入需求函数和供给函数可得：6－0.5P＝3.5＋P。

求解可得均衡价格和产量分别为：P＝5/3（元/千克），Q＝31/6（亿吨）。

（2）假设无政府补贴，市场均衡条件为：6－0.5P＝3＋P。

求解可得均衡价格和均衡产量为：P＝2（元/千克），Q＝5（亿吨）。

尽管政府补贴了厂商，但是消费者从中也可以得到好处。从两个均衡价格的差价来看，消费者每千克粮食节省了1/3元，厂商每千克粮食多收1/6元。即在政府每千克0.5元的补贴中，消费者获得了1/3元，厂商获得了1/6元。

（3）补贴之后，政府财政支出的增加额为：（1/2）×（31/6）×1000≈2583（亿元）。